初中學生解題思維能力培養的三重境界

江宋標

[摘 ?要] 解題是一個系統工程，這個工程的提升和優化關聯著許許多多的因素，并不是一個單純的由量變積累到質變的必然過程. 解題過程是一個思維過程，學生良好的解題能力的形成與提升，必須要加強學生解題思維能力的培養. 教師在實際教學中，要有意識地創設問題情境，組織學生參與并體驗探究過程，提示問題解決的思維方向，引導學生解題后再反思，不間斷地培養學生數學解題思維的自然性、深刻性和創造性.

[關鍵詞] 學生;解題;思維;問題

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維;要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法[1]. 其中解題教學是初中數學教學的首要任務. 著名數學家G·波利亞指出：掌握數學意味著什么？這就是說善于解題.

解題是一個系統工程，這個工程的提升和優化關聯著許許多多的因素，并不是一個單純的由量變累積到質變的必然過程. 解題過程是一個思維過程，學生良好的解題能力的形成與提升，必須要加強學生解題思維能力的培養. 文章就如何培養學生的解題思維能力，優化思維品質，讓學生體味解題的樂趣，提升學生的數學核心素養作一些探討，供各位教師教學時參考.

（1）心如浮云常自在，意似流水任東西——培養解題思維的自然性. 單墫教授指出：思維的自然性就是抓住問題的實質，題目該怎么解就怎么解，不故弄玄虛，樸實自然. 筆者認為，自然性是指大多數學生能夠自然想到的，運用基本性質、定義和基本圖形就能解答出來;就是從知識點的原點出發，向外進行思維擴展.

例題 ?如圖1所示，直線y=2x-2與x軸、y軸分別相交于點A，B，將此直線繞點B順時針旋轉45°，旋轉后的直線與x軸相交于點C，求點C的坐標.

思路解析 ?問題表征既有文字也有圖形，就要用數形結合思想進行分析. 題中提到了一次函數，自然想到求函數與兩坐標軸的交點的坐標，條件中出現了一個斜角45°，這是處理本題的關鍵. 教師要引導學生對45°產生直接聯想，即由45°可以自然地聯系到什么樣的幾何基本圖形或幾何模型. 相信經過教師的啟發和學生的聯想，應該很快會想到等腰直角三角形. 教師進一步啟發：圖形沒有直角，怎么辦？學生自然地會想到構造等腰直角三角形來嘗試解決問題. 下面就構建等腰直角三角形作簡要解答.

解法1 ?從點A出發構圖（∠A為銳角）. 如圖2所示，過點A作AD⊥BC于D，過點D作EF⊥x軸于E，過點B作BF⊥EF于F. 設AE=m，易證△AED≌△DFB，則DF=m，BF=ED=2-m. 由OE=1+m=BF =2-m，解得m=，得D，-. 由B，D兩點的坐標可得直線BD的解析式為y=x-2，于是得點C（6，0）.

解法2 ?從點A出發構圖（∠A為直角）. 如圖3所示，過點A作AD⊥BA交BC于點D，過點D作DE⊥x軸于E. 同解法1，易證△OAB≌△EDA，得D（3，-1），則直線BD的解析式為y=x-2，于是得點C（6，0）.

同樣地，分別從B，C兩點出發建構等腰直角三角形，可以分別得到兩種解法，在此不再一一列出.

（2）不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層——培養解題思維的深刻性. 思維的深刻性是從思維的縱向反映思維的品質. 它是指通過表面現象來把握問題的實質，達到對問題深刻理解的能力. 看清問題的本質，把握內在變化規律，等等，這是思維深刻性的特質，需要我們在問題教學中加以相機培養.

思路解析 ?（例題同上）從題目的審視情況來看，條件只有兩個：一條直線y=2x-2和一個斜角45°;求解的是點C的坐標. 通過數學三語言（文字語言、符號語言、圖形語言）的翻譯，求解的就是線段OC或AC的長. 而求線段的長，初中數學教師教給學生的解題方向是：“要求線段多長，勾股相似常用上. ”有了解題方向，學生就會考慮建構相似三角形，從而獲得問題的解答方法.

解法3 ?構造“母子”相似三角形. 如圖4所示，在線段OC上取點D，使得OD=OB，則∠ODB=45°. 設DC=m，由△ABD∽△ACB，得AB2=AD·AC，即（）2=1×（1+m），解得m=4. 于是OC=6，得點C（6，0）.

解法4 ?構造“一線三等角”相似三角形. 如圖5所示，在y軸的正半軸上取點E，使得OE=OA，連接AE;在y軸的負半軸上取點D，使得OD=OC，連接CD. 可知△AOE，△COD均為等腰直角三角形，于是∠BEA=∠BDC=∠ABC=45°，得到△EAB∽△DBC. 后同解法3，得點C（6，0）.

（3）山重水復疑無路，柳暗花明又一村——培養解題思維的創造性. 創造性思維是以新穎、獨特的方式解決問題的思維過程，不但能揭露問題的本質與規律，而且在此基礎上能用新的思維解決過去沒有解決的問題，從而發現新事物、提示新規律、取得新成果，是一種高級思維活動[2]. 教師在解題教學的實踐活動中，要創造情境、展示思維過程、進行知識溯源和變式訓練，培養學生解題思維的創造性，提升學生的數學核心素養.

思路解析 ?（例題同上）由條件中的斜角45°，聯想到構造正方形半角模型來解決問題. 如圖6所示，四邊形ABCD為正方形，∠EAF=45°，則EF=DF+BE，于是形成了解法5.

由于線段AC的長以及∠ABC為定值，聯想到“定邊定角”，于是構造輔助圓，把條件和結論放在圓的背景下，實現條件與結論之間的關聯，便得到了解法6.

運用條件中的斜角45°以及動態視角，借助于旋轉的眼光看問題，將點旋轉看成該點所在的直角三角形的旋轉，再用“化斜為直”的模型求解，于是得到了解法7，整個過程不失此法的通用性與普適性.

解法5 ?構造正方形半角模型. 如圖7所示，以OB為邊作正方形OBED，設DF=m，則EF=2-m. 由正方形半角模型的性質，得AF=3-m. 由勾股定理，得（3-m）2=12+m2，解得m=，于是F2，-. 所以直線BF的解析式為y=x-2，得點C（6，0）.

解法6 ?構造輔助圓. 如圖8所示，作△ABC的外接圓D，取AC的中點G，連接DG，DA，DC，DB，過點D作DE⊥y軸于E. 因為∠ABC=45°，所以△ADC為等腰直角三角形. 設AG=GC=m，則DE=OG=m+1，BD=AD=m，BE=OE-OB=DG-OB=m-2. 由勾股定理，得（m）2=（m-2）2+（m+1）2，解得m=，所以OC=6，得點C（6，0）.

解法7 ?整體旋轉. 如圖9所示，將△BOA繞點B順時針旋轉45°，得△BDH，則BD=BO=2，DH=OA=1，過點D作x軸的平行線EF，與y軸相交于點E，過點H作HG⊥x軸于G，EF交HG于點F. 于是∠OBD=∠HDF=45°，于是DE=EB=，DF=HF=，得H，-2. 于是直線BH的解析式為y=x-2，得點C（6，0）.

綜上所述，數學思維能力是學生解題的核心能力，也是學生數學學科的核心素養. 教師在實際教學中，要有意識地創設問題情境，組織學生參與并體驗探究過程，提示問題解決的思維方向，引導學生解題后再反思，不間斷地培養學生數學解題思維的自然性、深刻性和創造性，優化學生的思維品質，提升解題能力，促進學生的思維深度高階發展.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]張俊忠. 數學開放題的起源、價值與運用[J]. 教學與管理，2020（31）：43-45.

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