對一類二次函數(shù)應用問題的錯誤成因的思考

劉曉蘭

[摘 ?要] 文章通過對幾個典型的中考二次函數(shù)應用問題的錯誤成因的分析，發(fā)現(xiàn)運用二次函數(shù)的相關知識解決實際問題，要把二次函數(shù)所有的基礎知識掌握透徹. 在實際應用中，要注意考慮自變量的取值范圍等各種因素.在解決二次函數(shù)應用題時要根據(jù)題意，靈活應用函數(shù)的有關性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想求解，避免取值范圍方面的誤區(qū)所導致的問題產(chǎn)生.

[關鍵詞] 二次函數(shù);應用問題;錯誤成因

二次函數(shù)是初中數(shù)學重要內(nèi)容之一，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中明確要求“學生能用二次函數(shù)解決簡單的實際問題”.為此，筆者查閱了部分中考試卷后注意到二次函數(shù)應用題中存在一類與二次函數(shù)單調(diào)性相關的題目，如果對二次函數(shù)圖像的對稱軸的認識不充分，非常容易走入陷阱，誤將其當作二次函數(shù)應用題中的“最值問題”來處理. 文章對該類問題的錯誤成因及解決策略進行了一些剖析和探究.

機械套用公式導致錯誤

問題1 ?（2017年湖北省荊州市）荊州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p（元/千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關系為p=t+16（1≤t≤40，t為整數(shù)），-t+46（41≤t≤80，t為整數(shù)），日銷售量y（千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關系如圖1所示.

在實際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈m（m<7）元給村里的特困戶.在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求m的取值范圍.

錯解 ?設日銷售利潤為w元，由題意得w=t+16-6-m（-2t+200）=-t2+（2m+30）t+2000-200m，其函數(shù)圖像的對稱軸為t=2m+30.

因為w隨t的增大而增大，且1≤t≤40，所以由二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)可知2m+30≥40，解得m≥5.又m<7，所以m的取值范圍是5≤m<7.

分析 ?錯解忽略了本題中的t為整數(shù)、實際的函數(shù)圖像是拋物線上的一些散點這個事實.簡單地根據(jù)1≤t≤40且日銷售利潤隨時間t的增大而增大，錯誤地認為在t=40時取得最大值，從而簡單判斷了函數(shù)圖像的對稱軸與直線t=40的位置關系，最終得出了錯誤的結(jié)論.實際上，對于自變量取值范圍內(nèi)最后兩個函數(shù)值的比較，應正確判斷對稱軸的位置，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案.下面再看一題更為典型：

問題2 ?（2016年江蘇省揚州市）某電商銷售一款夏季時裝，進價40元/件，售價110元/件，每天銷售20件，每銷售1件需繳納電商平臺推廣費用a元（a>0）.未來30天，這款時裝將開展“每天降價1元”的夏令促銷活動，即從第1天起，每天的單價均比前一天降1元.通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該時裝單價每降1元，每天銷售量增加4件.在這30天內(nèi)，要使每天繳納電商平臺推廣費用后所得利潤隨天數(shù)t（t為正整數(shù)）的增大而增大，則a的取值范圍應為______.

錯解 ?設未來30天每天獲得的利潤為y，由題意得y=（110-40-a-t）（20+4t），化簡后得y=-4t2+（260-4a）t+1400-20a.

因為每天繳納電商平臺推廣費用后所得利潤隨天數(shù)t（t為正整數(shù)）的增大而增大，所以y隨t的增大而增大，且1≤t≤30，所以由二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)可知-=≥30，解得a≤5. 又a>0，所以a的取值范圍是0

分析 ?本題的錯解原因在于忽略了題中的t為整數(shù)、實際的函數(shù)圖像是拋物線上的一些散點這個事實，簡單判斷了函數(shù)圖像的對稱軸與直線t=30的位置關系，最終得出了錯誤的結(jié)論.可見，以上兩題的錯誤原因非常相似.

回顧解題全程，思考其本質(zhì)

運用二次函數(shù)的相關知識解決實際問題，要把二次函數(shù)所有的基礎知識掌握透徹. 在實際應用中，要注意考慮自變量的取值范圍等各種因素.在解決二次函數(shù)應用題時要根據(jù)題意，靈活應用函數(shù)的有關性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想求解.本文章的例題，由于自變量取的是整數(shù)，使得圖像為拋物線上的一些散點，就不能盲目套用“開口向下的拋物線，圖像在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞增”這一結(jié)論.“離散”與“連續(xù)”是數(shù)量關系中一對極為深刻的矛盾，它們之間的對立與統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的重要原動力之一.

需要指出的是，通過幾何直觀更能準確地把握問題的本質(zhì).幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助于幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索問題解決的思路，預測結(jié)果.幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用. 所以在教學中，要注意培養(yǎng)學生借助于幾何直觀解決實際問題的思維能力，切實發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人思維能力和創(chuàng)新能力等方面不可替代的作用.

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