兩類差分方程組非雙曲零平衡點的漸進穩(wěn)定性

查明鑫，謝 濤，司文曉

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

差分方程作為現(xiàn)實世界中描述離散現(xiàn)象的模擬，在生物數(shù)學(xué)，生物工程，種群動力學(xué)，統(tǒng)計學(xué)，遺傳學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域有重要應(yīng)用。近年來，一些特殊的差分方程的解的性質(zhì)引起了人們研究的興趣[1～17]。2000年G.Ladas在文獻[1]中研究了一類生物模型解的全局行為，即指數(shù)型差分方程

xn+1=axn+bxn-1e-xn,n=0,1,…

解的穩(wěn)定性和半循環(huán)性,這個方程刻畫了多年生草地凋落物的數(shù)量。隨后，文獻[2]又將這一數(shù)量模型用于研究生物數(shù)量,得到了a為人口遷移率,b為人口凈增長率時的人口數(shù)量模型。

2003年文獻[3]基于離散的流行病模型，研究了差分方程

正解的振動性,全局漸近穩(wěn)定性等性質(zhì)。2010年文獻[4]從自動控制理論出發(fā)，研究了一類極大值型差分方程正解的有界性。隨后2012年文獻[5]中給出了一類三階差分方程組的解的表達式，進而對解的全局行為進行了分析。文獻[6]提出了一種二維乘積型差分方程組，給出了其封閉形式的通解公式。2015年文獻[7]首次利用穩(wěn)定性理論的已知結(jié)果考慮了具有隨機擾動的指數(shù)型非線性差分方程系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)的正解收斂于系統(tǒng)的兩個平衡點中的某一個時，得到了一個具有隨機擾動的初始非線性系統(tǒng)的兩平衡點的概率穩(wěn)定性的充分條件。文獻[8]提出了帶時滯的Lotka-Voltera離散型競爭系統(tǒng)，給出了一個系統(tǒng)持久性的充要條件。差分方程的發(fā)展經(jīng)歷了由單個方程到差分方程組的過程[3～9]，參數(shù)個數(shù)和方程數(shù)目的增加對方程解討論的難度增大，改進后的模型能更近似地描述實際問題，但方程的具體形式變得復(fù)雜多樣，其研究方法并未統(tǒng)一，文獻[10～14]分別對差分方程作出了定性分析，直到中心流形理論的出現(xiàn)，方程解的性質(zhì)才得到更精確的刻畫。

文獻[9]開始研究一些耦合的差分方程，擴展了原來的生物數(shù)學(xué)模型。文獻[10]中給出了一類描述經(jīng)濟模型的差分方程組，討論了經(jīng)濟領(lǐng)域中離散模型系統(tǒng)的全局定性行為。文獻[11,12]對一維生物模型進行了自然推廣，研究其唯一非負(fù)平衡的存在性和穩(wěn)定性。

在文獻[13]中,作者研究了

xn+1=axn+byne-xn,yn+1=cyn+dxne-yn

(1)

和

xn+1=ayn+bxne-yn,yn+1=cxn+dyne-xn

(2)

在平衡點是雙曲型的條件下的解的性質(zhì)，其中a,b,c和d是實數(shù),x0,y0為正數(shù)。一個自然的問題是, 若上述系統(tǒng)的零平衡是非雙曲型的, 則(1)和(2)的解的漸進行為與參數(shù)a,b,c和d的關(guān)系會是怎樣的?

本文運用中心流形定理研究了這一問題，分別給出了系統(tǒng)(1)和(2)的平衡點是非雙曲型條件下漸進穩(wěn)定的若干充分條件。

1 預(yù)備知識

考慮差分方程

xn+1=F(xn)

(3)

其中函數(shù)F∶k→k連續(xù)。 設(shè)u*是F的一個不動點, 即F(u*)=u*.經(jīng)過平移，不失一般性，設(shè)u*=0k. 用C=DF(0k)表示方程(3)的線性化方程在0k處的系數(shù)矩陣。設(shè)C有t個特征值位于復(fù)平面的單位圓周上，有s個特征值位于單位圓內(nèi)部，則方程(3)可以改寫成如下的方程組

(4)

其中

(5)

是方程(3)的雅可比矩陣，A為t×t矩陣且其所有特征值位于復(fù)平面單位圓周上，B為s×s矩陣且其所有特征值位于單元圓內(nèi)部,t+s=k；f∶k→t，g∶k→s是非線性函數(shù)且滿足f(0t,0s)=0t,g(0t,0s)=0s,Df(0t,0s)=0t,k,Dg(0t,0s)=0s,k.

引理1 (文獻[17])方程(4)存在中心流形，即存在函數(shù)h∶t→s滿足h(0t)=0s,

Dh(0t)=0s×t且方程

yn+1=Ayn+f(yn,h(yn)),n=0,1,…

(6)

的動力學(xué)性質(zhì)決定了方程(2)的動力學(xué)性質(zhì)。具體為若是方程(6)的穩(wěn)定(漸進穩(wěn)定，不穩(wěn)定)的不動點，則0k是方程(3)的穩(wěn)定(漸進穩(wěn)定, 不穩(wěn)定)的不動點。

一般地, 不易得到函數(shù)h(x)的具體表達式, 但是由下面的引理可知, 可以得到h(x)的一個近似表達式。

引理2 (文獻[17]) 設(shè)ψ∶t→s是一階光滑函數(shù)且滿足ψ(0t)，=0s，Dψ(0t)=0s×t,F是方程(3)中所給函數(shù), 若存在r>1使得F(ψ(x))=o(‖x‖r)(x→0), 則

h(x)=ψ(x)+o(‖x‖r)

其中h是引理1中所定義的函數(shù)。

關(guān)于一維差分方程的穩(wěn)定性，有如下結(jié)論：

引理3 (文獻[3]) 設(shè)方程(3)的函數(shù)F∶→存在不動點u*，以下兩條成立：

1) 若F′(u*)=-1且SF(u*)<0，這里S是施瓦茲導(dǎo)數(shù), 定義如下

則u*是漸近穩(wěn)定的。

2)若F′(u*)=1且F″(u*)≠0，則u*是不穩(wěn)定的。

引理4 若a,b,c,d∈且滿足

(1+a)(1+c)=bd,-2

(7)

則方程中由系數(shù)a,b,c,d組成的雅可比矩陣

(8)

有一個特征值λ1=-1和另一特征值λ2<1.

證明 由J的特征方程p(λ)=λ2-λ(a+c)+ac-bd=0，又因為(7)式中兩條件成立，得到λ1=-1是J的一個特征根。其次,將λ1=-1代入特征方程p(λ)中,分解因式可得多項式

p(λ)=(λ+1)(λ-a-c-1),因此λ2=a+c+1也是J的一個特征根。又由于(7)式中第二個不等式成立，易得|λ2|<1.

2 主要結(jié)論

2.1 方程(1)零平衡點的漸進穩(wěn)定性

下面利用中心流形定理，給出方程(1)零平衡點漸進穩(wěn)定的若干充分條件。

定理1 假設(shè)差分方程由(1)給出，其中初始值x0,y0∈，若a,b,c,d滿足下列條件1或條件2,則方程(1)的零平衡點是漸進穩(wěn)定的，其中

條件1a,b,c,d滿足(7)式及

(9)

條件2a,b,c,d滿足(7)式及

(10)

這里

和

則方程(1)的零平衡點是漸近穩(wěn)定的。

證明 初始方程(1)可以寫成如下形式

(11)

其中

f(x,y)=by(e-x-1),g(x,y)=dx(e-y-1)

現(xiàn)令

其中T是J的對角化矩陣

(12)

那么(11)式可寫成

(13)

這里

db2(u+v)(e(a+1)u-(1+c)v-1))

db2(u+v)(e(a+1)u-(1+c)v-1))

(14)

作變換v=h(u)，用ψ(u)作為h(u)的逼近，即令h(u)=ψ(u)+O(u4)和ψ(u)=Au2+Bu3，其中A和B是實數(shù)。根據(jù)引理2，結(jié)合式(13)和(14),研究方程組(1)零平衡點的穩(wěn)定性轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯肯铝胁罘址匠痰姆€(wěn)定性

(15)

計算函數(shù)G得

G(un)=-u+(c1+c2u2+c3u3)(ec4c5u2+c6u3-1)+(c7+c8u2+c9u3)(ec10c11u2+c12u3-1)

(16)

其中ci，i=1,2,…,12是與a,b,c,d,A有關(guān)的參數(shù), 形式如下

(17)

由(13)式得

即

那么

因此

(18)

由(16)式,得G′(0)=-1且

(19)

根據(jù)式(17)～(19)和方程(7),有

其中

h(b)=(3a2+4a+c2)b2-2(a+1)(a-c)2b+(a+1)2(3c2+4c+a2)

(20)

現(xiàn)討論第一種情況：若(7)式和條件(1)成立，注意到h(b)是關(guān)于b的一元二次函數(shù)，ρ2為h(b)的一個根，下證

h(b)>0

(21)

令(20)中根的判別式為

Δ=(a-c)4-(3a2+4a+c2)(3c2+4c+a2)

整理得

Δ=-2(2+a+c)(a3+a2c+c3+4ac+ac2)

(22)

3a2c+4ac+c3<0

(23)

因a<0，由(23)可得

a3+a2c+c3+4ac+ac2=a(a-c)2+3a2c+4ac+c3<0

(24)

由(7)式中條件-20,表明ρ2為一實根.最后由(9)式中的第三個不等式,得(21)式成立。結(jié)合(7)(9)和(20)式有G?(0)>0,即

其中SG(0)是施瓦茲導(dǎo)數(shù)。這說明線性差分方程(15)的零平衡點是漸近穩(wěn)定的,根據(jù)引理3,初始系統(tǒng)(1)的零平衡點也是漸近穩(wěn)定的。

第二種情況若(7)式和條件2成立,注意到ρ1和ρ2是(20)式中h(b)的兩根。(10)式中有

2.2 方程(2)零平衡點的漸進穩(wěn)定性

下面，利用中心流形定理研究方程(2)零平衡點的漸進穩(wěn)定性。

引理5 若a,b,c,d∈，且滿足

(1+b)(1+d)=ac,-2

(25)

則方程中由系數(shù)a,b,c,d組成的雅可比矩陣

有一個特征值λ1=-1和另一特征值λ2<1.

證明 由J的特征方程p(λ)=λ2-λ(b+d)+bd-ac=0，又因為(7)式中兩條件成立，得到λ1=-1是J的一個特征根。其次,將λ1=-1代入特征方程p(λ)中,分解因式可得多項式

p(λ)=(λ+1)(λ-b-d-1),因此λ2=b+d+1也是J的一個特征根。又由于(7)式中第二個不等式成立，易得|λ2|<1.

定理2 假設(shè)差分方程由(2)給出,其中初始值x0,y0∈,若a,b,c,d滿足下列條件3或條件4或5,則方程(2)的零平衡點是漸進穩(wěn)定的,其中

條件3a,b,c,d滿足引理4及

(26)

條件4a,b,c,d滿足引理4及

(27)

條件5a,b,c,d滿足引理4及

(28)

則方程(2)的零平衡點是漸近穩(wěn)定的。

證明 原始方程(2)可寫成

(29)

其中

f(x,y)=bx(e-y-1),g(x,y)=dy(e-x-1)

令

其中T是J的對角化矩陣

(30)

則(29)式可寫成

(30)

這里

(31)

作變換v=h(u)，用ψ(u)作為h(u)的逼近, 令h(u)=ψ(u)+O(u4)和ψ(u)=Au2+Bu3，其中A和B是實數(shù)。根據(jù)引理2,(30)和(31)式,研究方程組(2)式零平衡點的穩(wěn)定性轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯肯铝胁罘址匠痰姆€(wěn)定性。

(32)

計算得函數(shù)G為

G(u)=-u+(c1+c2u2+c3u3)(ec4c5u2+c6u3-1)+(c7+c8u2+c9u3)(ec10c11u2+c12u3-1)

(33)

其中ci，i=1,2,…,12是與a,b,c,d,A有關(guān)的參數(shù), 形式如下

(34)

由(30)可得

即

整理后得

經(jīng)計算

(35)

由(33)式,可見G′(0)=-1且(19)式成立,那么根據(jù)(19)(34)和(35)式,有

(36)

首先假設(shè)(7)式和條件3成立。現(xiàn)證明G?(0)>0.由(26)式,有b-d>0,1+b>0,因為

(37)

(38)

因此，結(jié)合(36)～(38)式,可得G?(0)>0.

現(xiàn)假設(shè)(7)式和條件4成立,則有b-d<0,1+b<0,2+b+d>0,那么

(39)

因此G?(0)>0.

a2d+b(1+b)(1+d)<0.即G?(0)>0.

因此,可得SG(0)<0,其中SG(0)是施瓦茲導(dǎo)數(shù)。這說明差分方程(32)式的零平衡點是漸近穩(wěn)定的。由引理2～3,差分方程(2)式的零平衡點也是漸近穩(wěn)定的。

3 應(yīng)用舉例

考慮如下差分方程組

xn+1=axn+byne-xn

yn+1=cyn+dxne-yn

(40)

取a=-0.7,c=0.5,在定理3中計算出D=0.7082,ρ2=-1.0555 ,ρ1=0.2556, 得到b的范圍-1.0555

在(40)式中令初值,x0=0.2,y0=-0.2 ,畫出其對應(yīng)圖像，見圖1和圖2.

圖1為迭代100次時的方程組解曲線，圖2為迭代2 500次時的方程組解曲線。通過計算a,b,c,d可得G?(0)>0, 即SG(0)<0,從圖1和圖2中可以看出差分方程(40)式的零平衡點是漸近穩(wěn)定的。