關于近擬常曲率空間中2-調和子流形

葉 聞， 宋衛東,2， 耿 杰

(1.安徽信息工程學院，安徽 蕪湖 241000；2.安徽師范大學 數學與統計學院，安徽 蕪湖 241000)

引言

以n+p表示其黎曼曲率張量取為如下形式

KABCD=a(gACgBD-gADgBC)+b(gACfBD+gBDfAC-gADfBC-gBCfAD)，

∑gACgBDfABfCD=1，

(1)

的n+p維單連通完備的黎曼流形，稱為近擬常曲率空間[1].其中g是n+p的黎量度量，a,b是Nn+p的C∞—函數，{fAB}是Nn+p的一個單位向量函數。

顯然，1)當a=1,b=0時，近擬常曲率空間就是單位球面Sn+p(1)。

2)當fAB可分解為λA·λB，即fAB=λA·λB時，近擬常曲率空間就是擬常曲率空間[2]，此時，其黎曼曲率張量具有如下形式

KABCD=a(gACgBD-gADgBC)+b(gACλBλD+gBDλAλC-gADλBλC-gBCλAλD)，

∑gACgBDλAλB=1，

(2)

同時文獻[1]還給出了非擬常的近擬常曲率空間的例子。

在[2]中，Z.B.Bai建立了擬常曲率空間中的J.Simons型積分不等式。

定理A設Mn是擬常曲率空間中的緊致極小子流形，則下列不等式成立

現在設f：Mn→Nn+p是等距浸入，若f是2-調和映射[3]，則稱Mn是Nn+p中的2-調和子流形。姜國英[3]給出了2-調和映射所滿足的條件，根據這個條件，極小子流形一定是2-調和子流形，同時，文獻[3]還給出了非極小的2-調和等距浸入的實例。

本文考慮的第一個問題，在什么條件下，近擬常曲率空間中2-調和子流形是極小子流形，證明了

定理1設Mn是近擬常曲率空間Nn+p中具有平行平均曲率的n維2-調和子流形，如果第二基本形式模長‖B‖滿足條件

則Mn必是Nn+p中的極小子流形。

本文考慮的第二個問題是建立近擬常曲率空間中2-調和子流形關于第二基本形式模長‖B‖的廣義J.Simons型積分不等式，證明

定理2設Mn是近擬常曲率空間Nn+p中緊致無邊的2-調和子流形，則成立如下的積分不等式

(3)

注：當a=1，b=0時，(3)就是常曲率空間中著名的J.Simons積分不等式。

1 預備知識

本文對各類指標的取值范圍約定如下

1≤A,B,C,…≤n+p;1≤i,j,k…≤n;

n+1≤α,β,γ,…≤n+p。

設Nn+p是n+p維單連通的黎曼流形，Mn是Nn+p中n維子流形，在Nn+p上選取局部標準正交標架場{eA}，使得它們限制在Mn上，{ei}與Mn相切，設{ωA}是Nn+p關于{eA}的對偶標架場，{ωAB}是Nn+p的聯絡形式，則限制在Mn上，有[4]

(4)

(5)

(6)

(7)

式中B、ξ、Rijkl、Rαβkl分別是Mn的第二基本形式、平均曲率向量場、曲率張量場、法曲率張量場，KABCD是Nn+p的曲率張量場。

若Nn+p是近擬常曲率空間，則

(8)

(9)

(10)

(11)

以下總假設Mn是Nn+p的2-調和子流形，則[3]

引理1Mn是Nn+p中2-調和子流形的條件是

(12)

2 定理的證明

(13)

由Cauchy不等式

(14)

又Nn+p是近擬常曲率空間。由(8)

Kαkβk=aδαβ+b(δαβfkk+fαβ)

(15)

(16)

從而由(8)、(16)

(17)

又|fn+p n+p|≤1及Cauchy不等式

(18)

從而由(17)

(19)

由(13)、(14)、(19)

(20)

于是，若

(21)

則由(20)唯一的可能是

n2H2=0，

即Mn是Nn+p極小子流形。

定理2的證明由(9)

代入(12)第一式，得

兩端關于指標i求共變導數，并關于i求和，得

調整指標，結合(12)第二式得

(22)

由(8)，易知Kαβkj=0。

現在計算Mn的第二基本形式模長平方的Laplacian，結合(11)、(22)，仿文獻[4]

(23)

現在估計(22)式中出現的一些項，首先易見

由于Mn是緊致無邊，由Stokes定理，對上面兩邊積分，得

(24)

由于Nn+p是近擬常曲率空間，再由(8)、(9)得

(25)

(26)

(27)

結合(8)、(16)、(18)，有

(28)

由文獻[5]，有

(29)

而

(30)

由文獻[4]

(31)

≥n(a-2|b|)(‖B‖2-nH2)。

(32)

由(22)-(32)及Mn的緊致，應用Stokes定理經整理，即完成定理2的證明。