縱連板式無砟軌道熱致隆起屈曲解析解

高咪，楊國濤

（青島理工大學土木工程學院，山東青島 266525）

0 引言

溫度荷載作用下，縱連板式無砟軌道線路中會產生較大軸力而導致上拱失穩，使得軌道板與其下方的CA 砂漿層分離，出現離縫現象[1，2]。當前多數研究僅以軌道板為研究對象，忽略了鋼軌對結構上拱的影響[3，4]。楊俊斌等[5]假設以正弦型作為CRTSⅡ型軌道板的變形曲線形式，推導其豎向穩定性的臨界力計算公式；朱永見[6]根據微分方程法得出軌道板在縱向約束力作用下的解析解；趙林等[7]利用功的互等法推導了高溫荷載作用下彈性薄板的功的互等定理；鐘陽龍等[8]通過建立三維有限元分析模型，驗證了基于內聚力模型來模擬軌道板和砂漿層間復雜的作用關系具有可靠性；張向民等[9]利用能量變分原理和瑞利-里茲法分析了軌道板與砂漿層在不同階段的臨界溫度力，并表明了鋼軌對無砟軌道的穩定性影響有顯著影響，在分析中不可忽略。

文中對鋼軌和軌道板組成的組合結構上拱屈曲行為進行系統研究，利用能量變分法求解存在窄接縫損傷時，縱連板式軌道完善狀態下上拱屈曲安全溫度的閉合解，明確上拱過程中的受力和變形特點，可為相關設計優化提供理論依據。

1 基本假定

（1）將軌道結構沿縱向簡化為無限長二維梁模型，材料服從胡克定律，且符合平截面假定。

（2）扣件剛度對結構失穩影響較小，在計算中可不予考慮。

（3）屈曲抬升區域的重量ql1支承在脫空點處，會在這個位置產生一個集中的阻力，如圖1 所示。

圖1 軌道結構示意圖

1.1 等效換算

軌道上拱實質由鋼軌和軌道板兩部分組成見圖2，且二者線膨脹系數相差不大，故在滿足小變形假設的前提下，采用換算截面法[10]，將鋼軌面積換算為軌道板混凝土面積，并保持換算前后單元面積承受的合力大小不變、應變相等，可得到整體結構的等效抗彎剛度和等效抗壓剛度。

圖2 軌道結構橫截面示意圖

式中，σ、ε、A 表示材料的應力、應變和面積；下標c、s 分別代值軌道板的鋼軌；且nE為鋼材與混凝土的彈性模量之比，nE＝Es/ Ec，換算截面中心軸位于混凝土板內，設中心軸至混凝土底部的距離為，yOU對底部靜矩相等，則有：

式中，CRTSⅡ軌道板的寬度和高度分別為bc=0.2m，hc=2.55m。根據鐵道行業標準[11]已知，單根60kg/m鋼軌慣性矩Is為3217cm4，面積As為77.45cm2，軌內中心軸至軌底距離hs為8.12m，代入參數可求得yOU=0.127m，換算截面慣性矩為4.27×10-3m4。

1.2 梁單元非線性幾何方程

根據Green-Lagrange 應變張量近似得到截面形心處的軸向應變和曲率分別：

式中，u、v 分別代表軌道的縱向位移和垂向位移。由Duhamel-Neumann 方程[12]得到正應力：

式中，α 為線膨脹系數；EI、EA 分別為截面等效抗彎剛度和等效抗壓剛度。

1.3 軌道板與CA 砂漿間內聚力模型

根據劉學毅等[13]通過試驗分析軌道板與砂漿層間的粘結關系，采用線性關系來表征軌道板與砂漿層之間的界面阻力，用ks表示單位長度的縱向阻力。

2 溫度荷載作用下的解析解

軌道結構失穩屈曲時總勢能主要有：彎曲形變能、軸向壓縮形變能、砂漿層縱向約束形變能、脫空點縱向阻力形變能及重力勢能組成。由于對稱性，右半部分結構其總勢能方程：

式中，（0,l1）段屬于屈曲脫空區域；（l1,∞）段為兩側影響區域；up為脫空點的垂向位移。令δΠ=0，可得脫空區域軸向和垂向的平衡微分方程分別：

式中，溫度應變εT=αT，根據式（9）可知，當0＜x＜l1時，軸力為常量，令N1=-EA（εm-εT）。

軌道板縱向由寬窄接縫連接見圖3，在屈曲上拱過程中，窄接縫界面因擠壓易出現接縫破損，此時下截面重心上移，軌道板將沿垂向將產生偏心受壓[14]。

圖3 寬窄接縫示意圖

由于二階效應不明顯可假定上拱脫空段軸力保持不變，仍為N1，偏心距為e=0.25h（1-E1/E），其中E1為窄接縫的彈性模量，則附加彎矩：

新增項即由窄接縫損傷產生的附加彎曲形變能，同理可得屈曲脫空區域內沿u 方向和v 方向的平衡微分方程分別見式（13）和式（14）：

右側直板段區域內沿u 方向和v 方向的平衡微分方程分別見式（15）和式（16）：

各段的邊界條件也有所不同，對于原點處：

對于脫空點存在變形協調條件，則：

且在無窮遠處有：

考慮到式（23）中第二項關于無窮遠處的邊界條件可知B1=0，故兩側直板段區域的軸向位移：

將式（5）第一項代入式（13）可得脫空區域的軸向位移：

在（0，l1）段內積分，即可得到脫空點伸長的軸向位移：

式（37）的最后一項可通過式（27）積分求得：

將兩段軸向位移代入式（22），可以得到脫空點的位移方程為：

3 有限元驗證

鑒于目前分析鋼軌和軌道板組合結構熱致隆起屈曲的研究成果較少，模型驗證時采用與其穩定性規律相似的軌道板屈曲計算結果進行對比分析。根據劉笑凱等[15]建立了軌道板垂向失穩的有限元模型，利用abaqus 數值分析軟件，建立平面二維有限元模型，軌道板與砂漿層均采用4 節點平面應力單元進行模擬，軌道板兩端、底座板兩端和底面均采用固定約束。由于不考慮層間粘結，軌道板與支承層之間的關系采用赫茲接觸進行模擬，基于risk 法利用迭代的原理分析結構失穩后的平衡路徑，得到了有限元模擬結果，與文中能量變分法的結果對比如圖4 所示。

圖4 解析解和數值解的對比

可見兩者計算結果較為吻合，趨勢大體一致，得以驗證前述公式推導的正確性、可靠性。

4 相關計算參數影響規律分析

4.1 軌道板厚度對穩定性的影響

軌道板厚度對結構安全溫度的影響如圖5 所示，v1max即為上拱最大位移，將軸力無量綱化，由圖5（a）可以看出，厚度增加2 倍時，安全溫度提高了55.7%，最大上拱高度提高了39.5%，表明厚度對安全溫度的影響非常顯著。在圖5（b）中，厚度增加到30 cm 時，軌道所承受的最大軸力提高了32.6%，同樣表明厚度的增加可提升軌道的安全溫度。

圖5 軌道板厚度對軌道結構安全溫度的影響

4.2 重度對穩定性的影響

鋼軌和軌道板組合結構的重度對軌道穩定性的影響如圖6 所示。圖6（a）可見當重度增加了1.4 倍時，軌道安全溫度提升了19.3%。圖6（b）表示了無量綱軸力與上拱位移呈單調遞減的線性關系，表明隨著上拱位移的增加，結構軸力得到釋放，脫空距離不斷增長。此外，當重度增加了1.4 倍時，臨界軸力提升了27.3%。因此，增加軌道重度是提高熱荷載影響下軌道穩定性較為有效的方法。

圖6 重度對軌道結構安全溫度的影響

4.3 窄接縫彈性模量對穩定性的影響

窄接縫是軌道上拱過程中易出現破損的地方，而此處一旦出現破損將進一步增加結構上拱的風險。當窄接縫彈性模量E1分別降低了0%、50%和100%的3種情況下，對應的偏心距e 為0、0.025、0.05 mm。圖7分析了偏心距對結構整體上拱的影響，結果表明此時對結構整體失穩影響不大，窄接縫完全失效時，安全溫度降低了1.8%，臨界軸力降低了1.8%。可以進一步推測窄接縫損傷只在其一定范圍內出現較明顯的影響，而對結構整體影響較小。但是若要進一步保證結構的安全溫度，仍應該著重控制窄接縫的彈性模量、粘結效果等因素。

圖7 窄接縫破損對軌道結構安全溫度的影響

5 結語

（1）利用能量變分原理，列出縱連板式軌道上拱屈曲的總勢能方程，結合邊界條件得到板式軌道上拱屈曲閉合解，提出穩定性計算公式全過程。

（2）軌道厚度和重度是影響上拱的重要因素，當軌道板厚度增加了2 倍時，安全溫度提高了55.7%，臨界軸力提高了32.6%；另外重度增加了1.4 倍時，安全溫度提升了19.3%，臨界軸力提升了27.3%。

（3）當窄接縫完全失效時，安全溫度降低了1.8%，臨界軸力降低了1.8%，表明其對無限長軌道的整體穩定性影響不明顯，但應進一步明確窄接縫破損對其局部范圍的影響規律。