縱連板式無砟軌道熱致隆起屈曲解析解

高咪，楊國濤

（青島理工大學(xué)土木工程學(xué)院，山東青島 266525）

0 引言

溫度荷載作用下，縱連板式無砟軌道線路中會產(chǎn)生較大軸力而導(dǎo)致上拱失穩(wěn)，使得軌道板與其下方的CA 砂漿層分離，出現(xiàn)離縫現(xiàn)象[1，2]。當(dāng)前多數(shù)研究僅以軌道板為研究對象，忽略了鋼軌對結(jié)構(gòu)上拱的影響[3，4]。楊俊斌等[5]假設(shè)以正弦型作為CRTSⅡ型軌道板的變形曲線形式，推導(dǎo)其豎向穩(wěn)定性的臨界力計算公式；朱永見[6]根據(jù)微分方程法得出軌道板在縱向約束力作用下的解析解；趙林等[7]利用功的互等法推導(dǎo)了高溫荷載作用下彈性薄板的功的互等定理；鐘陽龍等[8]通過建立三維有限元分析模型，驗證了基于內(nèi)聚力模型來模擬軌道板和砂漿層間復(fù)雜的作用關(guān)系具有可靠性；張向民等[9]利用能量變分原理和瑞利-里茲法分析了軌道板與砂漿層在不同階段的臨界溫度力，并表明了鋼軌對無砟軌道的穩(wěn)定性影響有顯著影響，在分析中不可忽略。

文中對鋼軌和軌道板組成的組合結(jié)構(gòu)上拱屈曲行為進行系統(tǒng)研究，利用能量變分法求解存在窄接縫損傷時，縱連板式軌道完善狀態(tài)下上拱屈曲安全溫度的閉合解，明確上拱過程中的受力和變形特點，可為相關(guān)設(shè)計優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 基本假定

（1）將軌道結(jié)構(gòu)沿縱向簡化為無限長二維梁模型，材料服從胡克定律，且符合平截面假定。

（2）扣件剛度對結(jié)構(gòu)失穩(wěn)影響較小，在計算中可不予考慮。

（3）屈曲抬升區(qū)域的重量ql1支承在脫空點處，會在這個位置產(chǎn)生一個集中的阻力，如圖1 所示。

圖1 軌道結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 等效換算

軌道上拱實質(zhì)由鋼軌和軌道板兩部分組成見圖2，且二者線膨脹系數(shù)相差不大，故在滿足小變形假設(shè)的前提下，采用換算截面法[10]，將鋼軌面積換算為軌道板混凝土面積，并保持換算前后單元面積承受的合力大小不變、應(yīng)變相等，可得到整體結(jié)構(gòu)的等效抗彎剛度和等效抗壓剛度。

圖2 軌道結(jié)構(gòu)橫截面示意圖

式中，σ、ε、A 表示材料的應(yīng)力、應(yīng)變和面積；下標c、s 分別代值軌道板的鋼軌；且nE為鋼材與混凝土的彈性模量之比，nE＝Es/ Ec，換算截面中心軸位于混凝土板內(nèi)，設(shè)中心軸至混凝土底部的距離為，yOU對底部靜矩相等，則有：

式中，CRTSⅡ軌道板的寬度和高度分別為bc=0.2m，hc=2.55m。根據(jù)鐵道行業(yè)標準[11]已知，單根60kg/m鋼軌慣性矩Is為3217cm4，面積As為77.45cm2，軌內(nèi)中心軸至軌底距離hs為8.12m，代入?yún)?shù)可求得yOU=0.127m，換算截面慣性矩為4.27×10-3m4。

1.2 梁單元非線性幾何方程

根據(jù)Green-Lagrange 應(yīng)變張量近似得到截面形心處的軸向應(yīng)變和曲率分別：

式中，u、v 分別代表軌道的縱向位移和垂向位移。由Duhamel-Neumann 方程[12]得到正應(yīng)力：

式中，α 為線膨脹系數(shù)；EI、EA 分別為截面等效抗彎剛度和等效抗壓剛度。

1.3 軌道板與CA 砂漿間內(nèi)聚力模型

根據(jù)劉學(xué)毅等[13]通過試驗分析軌道板與砂漿層間的粘結(jié)關(guān)系，采用線性關(guān)系來表征軌道板與砂漿層之間的界面阻力，用ks表示單位長度的縱向阻力。

2 溫度荷載作用下的解析解

軌道結(jié)構(gòu)失穩(wěn)屈曲時總勢能主要有：彎曲形變能、軸向壓縮形變能、砂漿層縱向約束形變能、脫空點縱向阻力形變能及重力勢能組成。由于對稱性，右半部分結(jié)構(gòu)其總勢能方程：

式中，（0,l1）段屬于屈曲脫空區(qū)域；（l1,∞）段為兩側(cè)影響區(qū)域；up為脫空點的垂向位移。令δΠ=0，可得脫空區(qū)域軸向和垂向的平衡微分方程分別：

式中，溫度應(yīng)變εT=αT，根據(jù)式（9）可知，當(dāng)0＜x＜l1時，軸力為常量，令N1=-EA（εm-εT）。

軌道板縱向由寬窄接縫連接見圖3，在屈曲上拱過程中，窄接縫界面因擠壓易出現(xiàn)接縫破損，此時下截面重心上移，軌道板將沿垂向?qū)a(chǎn)生偏心受壓[14]。

圖3 寬窄接縫示意圖

由于二階效應(yīng)不明顯可假定上拱脫空段軸力保持不變，仍為N1，偏心距為e=0.25h（1-E1/E），其中E1為窄接縫的彈性模量，則附加彎矩：

新增項即由窄接縫損傷產(chǎn)生的附加彎曲形變能，同理可得屈曲脫空區(qū)域內(nèi)沿u 方向和v 方向的平衡微分方程分別見式（13）和式（14）：

右側(cè)直板段區(qū)域內(nèi)沿u 方向和v 方向的平衡微分方程分別見式（15）和式（16）：

各段的邊界條件也有所不同，對于原點處：

對于脫空點存在變形協(xié)調(diào)條件，則：

且在無窮遠處有：

考慮到式（23）中第二項關(guān)于無窮遠處的邊界條件可知B1=0，故兩側(cè)直板段區(qū)域的軸向位移：

將式（5）第一項代入式（13）可得脫空區(qū)域的軸向位移：

在（0，l1）段內(nèi)積分，即可得到脫空點伸長的軸向位移：

式（37）的最后一項可通過式（27）積分求得：

將兩段軸向位移代入式（22），可以得到脫空點的位移方程為：

3 有限元驗證

鑒于目前分析鋼軌和軌道板組合結(jié)構(gòu)熱致隆起屈曲的研究成果較少，模型驗證時采用與其穩(wěn)定性規(guī)律相似的軌道板屈曲計算結(jié)果進行對比分析。根據(jù)劉笑凱等[15]建立了軌道板垂向失穩(wěn)的有限元模型，利用abaqus 數(shù)值分析軟件，建立平面二維有限元模型，軌道板與砂漿層均采用4 節(jié)點平面應(yīng)力單元進行模擬，軌道板兩端、底座板兩端和底面均采用固定約束。由于不考慮層間粘結(jié)，軌道板與支承層之間的關(guān)系采用赫茲接觸進行模擬，基于risk 法利用迭代的原理分析結(jié)構(gòu)失穩(wěn)后的平衡路徑，得到了有限元模擬結(jié)果，與文中能量變分法的結(jié)果對比如圖4 所示。

圖4 解析解和數(shù)值解的對比

可見兩者計算結(jié)果較為吻合，趨勢大體一致，得以驗證前述公式推導(dǎo)的正確性、可靠性。

4 相關(guān)計算參數(shù)影響規(guī)律分析

4.1 軌道板厚度對穩(wěn)定性的影響

軌道板厚度對結(jié)構(gòu)安全溫度的影響如圖5 所示，v1max即為上拱最大位移，將軸力無量綱化，由圖5（a）可以看出，厚度增加2 倍時，安全溫度提高了55.7%，最大上拱高度提高了39.5%，表明厚度對安全溫度的影響非常顯著。在圖5（b）中，厚度增加到30 cm 時，軌道所承受的最大軸力提高了32.6%，同樣表明厚度的增加可提升軌道的安全溫度。

圖5 軌道板厚度對軌道結(jié)構(gòu)安全溫度的影響

4.2 重度對穩(wěn)定性的影響

鋼軌和軌道板組合結(jié)構(gòu)的重度對軌道穩(wěn)定性的影響如圖6 所示。圖6（a）可見當(dāng)重度增加了1.4 倍時，軌道安全溫度提升了19.3%。圖6（b）表示了無量綱軸力與上拱位移呈單調(diào)遞減的線性關(guān)系，表明隨著上拱位移的增加，結(jié)構(gòu)軸力得到釋放，脫空距離不斷增長。此外，當(dāng)重度增加了1.4 倍時，臨界軸力提升了27.3%。因此，增加軌道重度是提高熱荷載影響下軌道穩(wěn)定性較為有效的方法。

圖6 重度對軌道結(jié)構(gòu)安全溫度的影響

4.3 窄接縫彈性模量對穩(wěn)定性的影響

窄接縫是軌道上拱過程中易出現(xiàn)破損的地方，而此處一旦出現(xiàn)破損將進一步增加結(jié)構(gòu)上拱的風(fēng)險。當(dāng)窄接縫彈性模量E1分別降低了0%、50%和100%的3種情況下，對應(yīng)的偏心距e 為0、0.025、0.05 mm。圖7分析了偏心距對結(jié)構(gòu)整體上拱的影響，結(jié)果表明此時對結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)影響不大，窄接縫完全失效時，安全溫度降低了1.8%，臨界軸力降低了1.8%。可以進一步推測窄接縫損傷只在其一定范圍內(nèi)出現(xiàn)較明顯的影響，而對結(jié)構(gòu)整體影響較小。但是若要進一步保證結(jié)構(gòu)的安全溫度，仍應(yīng)該著重控制窄接縫的彈性模量、粘結(jié)效果等因素。

圖7 窄接縫破損對軌道結(jié)構(gòu)安全溫度的影響

5 結(jié)語

（1）利用能量變分原理，列出縱連板式軌道上拱屈曲的總勢能方程，結(jié)合邊界條件得到板式軌道上拱屈曲閉合解，提出穩(wěn)定性計算公式全過程。

（2）軌道厚度和重度是影響上拱的重要因素，當(dāng)軌道板厚度增加了2 倍時，安全溫度提高了55.7%，臨界軸力提高了32.6%；另外重度增加了1.4 倍時，安全溫度提升了19.3%，臨界軸力提升了27.3%。

（3）當(dāng)窄接縫完全失效時，安全溫度降低了1.8%，臨界軸力降低了1.8%，表明其對無限長軌道的整體穩(wěn)定性影響不明顯，但應(yīng)進一步明確窄接縫破損對其局部范圍的影響規(guī)律。