運(yùn)用于弧形閘門的魚腹式桁架的合理弦桿線形研究

鄭鐵恒

（中鐵工程設(shè)計(jì)咨詢集團(tuán)有限公司，北京 100055）

0 引言

魚腹式桁架具有跨度大、承載力高、輕便省材、造型美觀等優(yōu)點(diǎn)，如今已逐漸被運(yùn)用于水工閘門領(lǐng)域[1]。在直升式弧形閘門中魚腹式桁架通常作為水平向主梁，弧形擋水面板設(shè)在魚腹式桁架的上弦桿，水壓力通過面板和肋梁傳遞到魚腹桁架式主梁，所以魚腹式桁架所受到的外荷載為垂直于上弦桿軸線的均布水壓力。目前國內(nèi)外基于水壓力工況所開展的魚腹式桁架線形研究工作相對較少，為使水工領(lǐng)域的魚腹式桁架發(fā)揮出較好的力學(xué)性能，文中以一榀兩端簡支的空腹魚腹式桁架為例，對魚腹式桁架的合理線形進(jìn)行理論推導(dǎo)與有限元驗(yàn)證。

1 魚腹式桁架合理線形推導(dǎo)

1.1 上弦桿軸線方程推導(dǎo)

假定魚腹式桁架在水壓力q1的作用下，上弦桿主要受軸向壓力作用，下弦桿主要受軸向拉力作用，腹桿為僅受軸向壓力的二力桿，且各腹桿軸力相等，其計(jì)算簡圖如圖1 所示。分別取上弦桿和下弦桿為隔離體進(jìn)行受力分析。將上弦桿視為存在水平推力的三鉸拱結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖如圖2 所示，其中l(wèi) 為拱的跨度，f 為拱的失高，F(xiàn) 為腹桿對弦桿的作用力。由于F 沿跨度方向等間距布置，故可將其簡化為沿x 向分布的均布力q2，易知q2=10F/l。同時(shí)將水壓力q1沿x 軸和y軸進(jìn)行分解，則上弦桿的計(jì)算簡圖轉(zhuǎn)變?yōu)閳D3 所示。

圖1 魚腹式桁架計(jì)算簡圖

圖2 上弦桿初始計(jì)算簡圖

圖3 上弦桿簡化后的計(jì)算簡圖

在一定荷載作用下使拱各截面處于均勻受壓狀態(tài)的軸線稱為合理拱軸線[2，3]，即上弦桿各個截面均應(yīng)處于無彎矩狀態(tài)。此時(shí)，材料能得到充分利用，桿件的截面尺寸最為經(jīng)濟(jì)。對上弦桿任意截面求矩得：

進(jìn)一步化簡得：

由此可知，上弦桿軸線方程是橢圓方程，其中q1與水壓力有關(guān)，為已知量，q2與腹桿的軸力有關(guān)，為未知量。

1.2 下弦桿軸線方程推導(dǎo)

同理，魚腹式桁架的下弦桿可簡化為受均布荷載的三鉸弧形拉桿，其計(jì)算簡圖如圖4 所示。

圖4 下弦桿計(jì)算簡圖

同樣對下弦桿任意截面求矩可得到下弦桿的軸線方程：

由式（3）可知，下弦桿軸線方程是拋物線方程。

1.3 上下弦桿的變形協(xié)調(diào)

水工閘門中的魚腹式桁架是受對稱荷載的對稱結(jié)構(gòu)，故其跨中部位的x 向位移為0，y 向位移最大。由于腹桿的壓縮剛度較大，故可忽略腹桿的壓縮變形，將上下弦桿的跨中y 向位移相等視為結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件。由于上下弦桿的剪力和彎矩處處為0，故僅考慮軸力項(xiàng)對弦桿位移的影響。根據(jù)虛力原理[4，5]，結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算公式為：

分求出上弦桿在沿y 向分布的均布力q1和沿x向分布的均布力q1-q2作用下中間鉸點(diǎn)C 的y 向位移ΔKF1和ΔKF2，其公式如下：

由于l2＞＞f2，故近似地取q1=2q2，代入式（2）中可得上弦桿的軸線方程為：

1.4 魚腹式桁架位移和內(nèi)力求解

將q1=2q2代入式（5）、式（6）中，可進(jìn)一步求得：

由此可知，當(dāng)魚腹式桁架弦桿的矢跨比越小，水壓力q1的x 向分量對結(jié)構(gòu)y 向位移的影響也越小。令f/l=1/10，則可求得ΔKF1/ΔKF2=2.44%。可見，在正常的矢跨比區(qū)間內(nèi)，q1的x 向分量對魚腹式桁架y 向位移的影響較小。

2 魚腹式桁架合理線形的有限元驗(yàn)證

2.1 ANSYS 有限元建模

由于上一節(jié)的理論推導(dǎo)工作是建立在部分假定和簡化的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，難免會存在誤差。所以將采用ANSYS 有限元軟件對理論推導(dǎo)結(jié)果的合理性進(jìn)行驗(yàn)證。

采用ANSYS 軟件建立跨度l=22m，上下弦桿的矢高f=2m 的單榀魚腹式桁架。上下弦桿的線形分別按式（10）和式（3）的軸線方程來進(jìn)行建模。弦桿的截面尺寸為400×16，腹桿的截面尺寸為299×14，鋼材的鋼號為Q355。閘門結(jié)構(gòu)受上游水壓作用將產(chǎn)生彎矩、剪切、拉壓等內(nèi)力[4-6]，而BEAM188 單元是一個二節(jié)點(diǎn)的三維線性梁單元[7]，可以較好地模擬弦桿的受力狀態(tài)。

LINK8 單元是沿桿軸方向的拉壓單元，可以較好地模擬腹桿的受力狀態(tài)。故采用BEAM188 單元和LINK8 單元分別模擬魚腹式桁架的弦桿和腹桿。外部水壓力q1的大小為291.4kN/m。如此，就建成了受力簡圖與圖1 基本相同的有限元模型，如圖5 所示。

圖5 魚腹式桁架有限元模型

2.2 有限元計(jì)算結(jié)果與理論推導(dǎo)結(jié)果對比

通過對模型的靜力分析得到桁架弦桿的軸力圖、剪力圖和彎矩圖如圖6～圖8 所示。由圖6～圖8 可知，上下弦桿的軸力較為均勻，剪力和彎矩相對較小。弦桿的剪力最大值156.92kN，僅為軸力最小值4210.80kN 的3.73%。上下弦桿桿端彎矩55.17kN·m，上弦桿的跨中彎矩為53.82kN·m，均較小。下弦桿的跨中彎矩為152.71kN·m，接近于弦桿彎矩的最大值，但相比于較大的軸力值，其偏心距e 僅為弦桿截面高度h 的8.66%。有限元計(jì)算結(jié)果中弦桿之所以會產(chǎn)生剪力和彎矩主要是由于實(shí)際模型中腹桿的內(nèi)力并非均布力，而是集中力。有限元計(jì)算結(jié)果表明，弦桿接近于軸心受力構(gòu)件，所以在理論推導(dǎo)中將上下弦桿簡化為兩端和跨中鉸接的僅受軸向力的三鉸桿結(jié)構(gòu)具有一定的合理性。

圖6 魚腹式桁架弦桿軸力圖

圖7 魚腹式桁架弦桿剪力圖

圖8 魚腹式桁架弦桿彎矩圖

將魚腹式桁架有限元模型的腹桿軸力值按照與圖5 中相對應(yīng)的腹桿編號順序列于表1 中。由表1 可知，有限元模型中各腹桿的軸力大小非常接近，軸力平均值為309.23kN，與理論推導(dǎo)的腹桿軸力值320.57kN相差3.54%。可見，腹桿軸力的有限元計(jì)算結(jié)果與理論推導(dǎo)結(jié)果較為吻合，所以在理論推導(dǎo)中將腹桿的集中力簡化為均布力具有合理性。

表1 有限元模型的腹桿軸力kN

將有限元模型的弦桿軸力數(shù)據(jù)與理論推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行對比，如表2 所示。由表2 中的數(shù)據(jù)對比可知，弦桿軸力的有限元計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的偏差不超過5.49%，且上下弦桿的軸力絕對值從支座向跨中呈現(xiàn)的變化趨勢與理論推導(dǎo)的結(jié)果相符。

表2 有限元計(jì)算與理論推導(dǎo)的弦桿軸力對比

通過上述有限元計(jì)算結(jié)果和理論推導(dǎo)結(jié)果的對比可以發(fā)現(xiàn)二者內(nèi)力的吻合度較好，產(chǎn)生少量內(nèi)力偏差的原因主要是由于有限元模型中腹桿為集中力，而理論推導(dǎo)中為了形成導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的軸線方程，將該集中力簡化為均布力，這導(dǎo)致二者在弦桿節(jié)間存在內(nèi)力偏差，但并不影響桁架整體的內(nèi)力分布狀態(tài)。所以我們選用式（3）和式（10）的作為弦桿的軸線方程，具備合理性。

3 結(jié)語

（1）以均布水壓力作用下的空腹魚腹式桁架為力學(xué)模型，在部分力學(xué)假定的基礎(chǔ)上進(jìn)行弦桿軸線方程理論推導(dǎo)，得出魚腹式桁架的上弦桿的軸線方程接近于橢圓方程，下弦桿的軸線方程接近于拋物線方程，軸線方程主要與魚腹式桁架的跨度l 和弦桿的矢高f 相關(guān)。

（2）根據(jù)理論推導(dǎo)出的弦桿軸線方程建立魚腹式桁架有限元模型并進(jìn)行內(nèi)力分析。分析結(jié)果表明，弦桿主要受軸力作用，其彎矩和剪力均較小，說明軸線方程接近于僅承受軸向力的合理?xiàng)U軸線。各腹桿的軸力值十分接近且與理論計(jì)算結(jié)果僅相差3.54%，所以理論推導(dǎo)中將弦桿視為三鉸桿的假定以及將腹桿集中力簡化為均布力的假定是合理的。

（3）根據(jù)理論推導(dǎo)出的弦桿軸線方程所建立的魚腹式桁架有限元模型，其弦桿軸力值與理論推導(dǎo)的軸力值相近，差值不超過5.49%，且軸力沿弦桿的分布也與理論推導(dǎo)結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了理論推導(dǎo)所得出的弦桿軸線方程的合理性與適用性。