區間值廣義正交模糊Frank算子及群決策方法*

萬本庭,方地長

(江西財經大學軟件與物聯網工程學院,江西 南昌 330013)

1 引言

自1965年Zadeh[1]提出模糊集理論以來，模糊集理論和方法已被廣泛應用于多屬性多目標群決策MAGDM(Multi-Attribute Group Decision Making) 問題[2]。由于客觀事物的復雜性和不確定性，為了更好地描述決策者支持、反對和中立的情況，Atanassov[3]提出了隸屬度(μ)和非隸屬度(ν)之和小于或等于1的直覺模糊集，為了進一步拓展應用場景，Atanassov[4]還定義了區間直覺模糊數，用來解決MAGDM問題。為了進一步滿足實際應用的需要，Yager[5]于2017年提出了μ和ν的q次方之和小于或等于1的廣義正交模糊集q-ROFS (q-Rung Orthopair Fuzzy Set) ，其不但融合了直覺模糊集和畢達哥拉斯模糊集，而且還拓展了更大的自由度，決策信息的表示范圍更廣，因此廣義正交模糊集成為近年來的研究熱點。Yager等[6,7]研究了廣義正交模糊集的基本屬性；Liu等[8,9]提出了廣義正交模糊加權平均算子和廣義正交模糊加權幾何算子；Xing等[10，11]提出了廣義正交模糊點加權算子，并將其應用到了MAGDM問題當中。

由于Frank算子兼容性強，可以選擇不同的參數來解決MAGDM問題，因此Frank T-norm和T-conorm已被廣泛應用到模糊理論中[12]。例如Yager[13]研究了Frank三角模公式的構建方法；Zhang等[14]在直覺模糊的背景下探討了Frank運算法則，提出了區間值模糊集IFS(Interval Valued Fuzzy Sets) 的Frank算子并應用于解決MAGDM問題[15]；Ji等[16]將Frank算子與單值中性集結合，并將其運用到第三方物流供應商選擇的MAGDM問題中。

但是，目前在區間值廣義正交模糊環境下的Frank算子及決策問題還缺乏相關研究，為此本文受Frank算子和區間值廣義正交模糊數的啟發，將Frank算子和區間值廣義正交模糊相結合進行研究，定義了Frank T-norm和T-conorm在區間值廣義正交模糊環境下的運算法則；然后提出了區間值廣義正交模糊Frank加權平均算子IVq-ROFFWA(Interval Valued q-Rung Orthopair Fuzzy Frank Weighted Average Operator)和區間值廣義正交模糊Frank加權幾何算子IVq-ROFFWG(Interval Valued q-Rung Orthopair Fuzzy Frank Weighted Geometric operator) ，并研究了它們的基本性質;同時在IVq-ROFFWA算子的基礎上建立了區間值廣義正交模糊的群決策方法，并將其用于高血壓預警系統多屬性群決策案例中，探討了參數變化對決策結果的影響，驗證了本文所提出的多屬性群決策方法的有效性和可行性。

2 相關理論

2.1 區間值廣義正交模糊集相關概念

定義1[17]設X為論域，在X上的區間值廣義正交模糊集(q-ROFS)A定義如式(1)所示：

A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}

(1)

(2)

(3)

(4)

定義4[17]區間值廣義正交模糊數比較定義:對任意2個區間值廣義正交模糊數α1和α2，其大小比較如下所示：

(1) 如果S(α1)>S(α2)，則α1>α2；

(2) 如果S(α1)

(3) 如果S(α1)=S(α2)，則進一步計算它們的精確值，并且進行比較。如果H(α1)>H(α2)，則α1>α2；如果H(α1)

d(α1,α2)=

(5)

2.2 Frank算子

定義6[18]對于任意2個實數a和b，其中?(a,b)∈[0,1]×[0,1],且θ>1，Frank T-conorm和Frank T-norm算子運算法則定義如式(6)和式(7)所示：

(6)

(7)

當參數θ→1時，Frank T-conorm和Frank T-norm轉化為代數T-conorm和代數T-norm。

3 區間值廣義正交Frank算子及群決策方法

3.1 區間值廣義正交Frank算子運算規則

根據定義6給出的Frank算子的T-norm和T-conorm的運算法則，本文首先定義區間值廣義正交模糊Frank算子的加、乘、數乘和冪的運算法則。

α1⊕α2=

(8)

α1?α2=

(9)

(10)

(11)

可以驗證，本文給出的區間值廣義模糊Frank算子的加和乘滿足T-norm和T-conorm的運算規則，數乘和冪也滿足T-norm和T-conorm的運算規則。

(1) 加法交換律：α1⊕α2=α2⊕α1;

(2) 乘法交換律：α1?α2=α2?α1;

(3) 加法分配律：λ(α1⊕α2)=λα1⊕λα2;

(4) 乘法分配律：λ1α1⊕λ2α1=(λ1+λ2)?α1;

(6) 冪的結合律：αλ1?αλ2=α(λ1+λ2)。

根據Frank運算法則的定義，由式(8)～式(11)容易推導出Frank算子滿足上面6條性質。

3.2 區間值廣義正交Frank加權平均算子

ω1α1⊕ω2α2⊕…⊕ωnαn

(12)

(13)

定理2用數學歸納法容易證明，限于篇幅，證明過程略。下面討論IVq-ROFFWA算子的2種特殊情況：

(1) 當θ→1時，IVq-ROFFWA算子退化成區間值廣義正交模糊加權平均算子(IVq-ROFWA)，如式(14)所示：

IVq-ROFWA(α1,α2,…,αn)=

(14)

(2) 當θ→+∞時，IVq-ROFFWA算子退化成傳統的加權平均算子WA(Weighted Averaging)，如式(15)所示：

WA(α1,α2,…,αn)=

(15)

IVq-ROFFWA(α1,α2,…,αn)=α0

(16)

證明

IVq-ROFFWA(α1,α2,…,αn)=

□

α-

(17)

IVq-ROFFWA(α1,α2,…,αn)≤

IVq-ROFFWA(β1,β2,…,βn)

(18)

3.3 區間值廣義正交Frank加權幾何算子

(19)

(20)

(1) 當θ→1時，IVq-ROFFWG算子退化成區間值廣義正交模糊加權幾何算子(IVq-ROFWG)：

IVq-ROFWG(α1,α2,…,αn)=

(21)

(2) 當θ→+∞時，IVq-ROFFWG算子退化成傳統的加權平均算子WA(Weighted Averaging)：

WA(α1,α2,…,αn)=

(22)

IVq-ROFFWG(α1,α2,…,αn)=α0

(23)

αmin≤IVq-ROFFWG(α1,α2,…,αn)≤αmax

(24)

IVq-ROFFWG(α1,α2,…,αn)≤

IVq-ROFFWG(β1,β2,…,βn)

(25)

利用定義的運算法則，容易證明定理7、定理8和定理9，此處省略。

3.4 群決策方法

i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

(26)

(27)

在本文提出的群決策方法中，以IVq-ROFFWA算子為例。首先利用IVq-ROFFWA算子集結各專家決策矩陣得到R，然后對R進行集結處理，得到各方案的廣義正交模糊數，進行排序處理，得分值最大為最優方案，具體步驟如下所示：

(1)標準化處理。即利用式(26)和式(27)將A(k)轉換為標準矩陣R(k),k=1,2,…,t。

(3)利用IVq-ROFFWA算子對R(k)進行集結。集結時利用式(28)進行計算，得到集結矩陣R=(rij)m×n如式(28)所示：

i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

(28)

(4)利用IVq-ROFFWA對R進行集結：集結過程中利用式(29)對R中的每行進行計算，集結結果為對應行的區間值廣義正交模糊數ri。

ri=IVq-ROFFWA(ri1,ri2,…,rin),i=1,2,…,m

(29)

(5)利用得分函數(式(3))和精確值函數(式(4))對ri進行計算，根據定義4對計算結果根據大小排序，進而得到xi的排序。

(6)根據xi的排序，得分最大的方案為最優方案。

(30)

(31)

將其得分值進行比較分析可得：

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

由定理已知條件得：q1>q0≥1，令：

q1=q0+t,t∈N

(38)

(39)

(40)

ΔEq0>0

(41)

將式(38)代入式(40)，比較分析可得：

ΔEq1>0

(42)

□

4 應用舉例

4.1 案例

為了提高鄉村醫生管理效率[19]，計劃研發高血壓日常隨訪預警管理系統。經研究，確定預警顏色為5種，即xi(i=1,2,3,4,5)，x1表示需緊急處理并通知居民立即就醫，顯示紅色；x2表示需緊急處理并通知居民及時就醫，顯示橙色；x3表示需要及時隨訪促進管理，顯示黃色；x4表示近期需要促進服務，顯示藍色；x5表示暫時不需要促進管理服務，顯示綠色。用C1(血壓測量值)、C2(心血管疾病)、C3(是否家族高血壓病史)、C4(肥胖)表示其屬性，它們之間的權重為：w=(0.7,0.1,0.1,0.1)。在沒有吃藥物的情況下，對于某一60歲男性居民來說，某次測量值及采集的相關因素為：收縮壓測量值為153 mmHg，擴張壓為98 mmHg，沒有相關疾病記錄，肥胖且有家族遺傳史，醫生沒有隨訪記錄，3位專家給出的評價值由區間值廣義正交模糊數表示，權重為：d=(0.4,0.3,0.3)，評價值在表1～表3中給出，因為本文使用式(20)和式(21)進行數據標準化，直接將C4的隸屬度和非隸屬度交換，得到標準的評價矩陣，分別如表1～表3所示。下面將用IVq-ROFFWA算子對專家的評價值進行決策運算。

Table 1 Decision matrix R(1) given by expert 1

Table 2 Decision matrix R(2) given by expert 2

Table 3 Decision matrix R(3) given by expert 3

(1)通過觀察和計算，當q=2時,滿足廣義正交的隸屬度和非隸屬度的2次方之和小于1。

(2)利用IVq-ROFFWA算子對每位專家給出的評價值R(i)(i=1,2,3)進行集結得R，q=2時，θ=2，集結后的決策矩陣R如表 4所示(四舍五入保留2位小數)。

Table 4 First aggregation result R

(3)利用IVq-ROFFWA再對R進行集結，對R中的每行進行計算，q=2時，θ=2，各方案的綜合屬性值ri如下(四舍五入保留2位小數)所示：

r1=〈[0.65,0.75],[0.24,0.35]〉

r2=〈[0.70,0.86],[0.14,0.23]〉

r3=〈[0.85,0.91],[0.15,0.24]〉

r4=〈[0.34,0.42],[0.58,0.69]〉

r5=〈[0.29,0.39],[0.69,0.81]〉

(4)利用得分函數和精確值函數對ri進行計算，得分函數計算結果(四舍五入保留4位小數)為：r=[0.4025,0.6300,0.7352,-0.2602,-0.4480]，根據比較得分大小可得：S(r3)>S(r2)>S(r1)>S(r4)>S(r5)。

(5)根據得分函數優劣得到方案排序為：x3>x2>x1>x4>x5，即x3為最優方案，表示黃色預警，醫生需要進行立即隨訪處理。

根據實際狀況下的醫生診斷結果，病人需要及時隨訪。本文群決策方法的結果與現實病人診斷結果一致，得出的黃色預警結果真實有效。

4.2 比較分析

為證明本文提出的方法可行且有效，本文采用文獻[20,21] 給出的IVPFWA (Interval-Valued Pythagorean Fuzzy Weighted Average)、IVPFOWA ( Interval-Valued Pythagorean Fuzzy Ordered Weighted Average)和IVPFWG (Interval-Valued Pythagorean Fuzzy Weighted Geometric) 算子來計算本文案例,并對結果進行對比分析，運算結果(q=2，θ=2)比較如表 5所示。

Table 5 Comparison of results

從表 5中可以看出，本文提出的IVq-ROFFWA、IVq-ROFFWG算子與IVPFWA、IVPFOWA算子和IVPFWG算子的運算結果排序相同，得到黃色預警，同時與3位醫生專家給出的預警管理方案相吻合，從而表明本文提出的算子能夠滿足對居民高血壓日常管理的需求。

為了進一步研究本文所提出的2種集結算子，驗證區間值廣義正交模糊環境下q和θ的變化對本文群決策方法的影響，令q分別取2,3,4,5和6，θ取2～10000的整數時，各方案的得分值變化如圖 1所示。

Figure 1 Trends in scores for changes in q and θ圖1 q和θ變化時得分值變化趨勢

5 結束語

針對多屬性群決策問題，本文定義了Frank算子在區間值廣義正交模糊環境下的計算法則，提出了IVq-ROFFWA和IVq-ROFFWG算子，并研究了它們的冪等性、有界性和單調性。在IVq-ROFFWA算子的基礎上提出了新的多屬性群決策方法。本文通過案例對所提出的群決策方法及算子進行了驗證，實驗結果表明本文所提出的群決策方法與其他專家提出的算子運算結果相一致，從而驗證了所提方法的可行性和實用性。本文提出的區間值廣義正交模糊Frank集結算子及其群決策方法可以應用到物流管理、投資組合、風險決策和專家聚類分析等諸多領域，今后我們將結合更多的實際問題拓展區間值廣義正交模糊Frank算子的應用研究。