邊緣增強的雙密度雙樹復小波閾值濾波器

顧牡丹， 周輝奎

（1.江西現代職業技術學院信息工程學院，南昌 330095；2.江西旅游商貿職業學院藝術傳媒與計算機學院，南昌 330100）

0 引 言

高斯噪聲是成像過程中一種常見的噪聲，對圖像中所有像素都有不同程度的破壞，其嚴重影響圖像的處理和分析，并且有效去除高斯噪聲異常艱難［1］。Buades等［2］提出非局部均值濾波算法，用圖像中所有像素的非局部均值作為像素的灰度估計值。但是非局部均值濾波耗時較多、計算效率低。于是，Zhou 等［3］提出一種快速的非局部均值濾波算法，利用像素權重的對稱性來減少計算量。Dabov等［4］提出一種基于稀疏三維變換域的協同濾波算法（BM3D），BM3D 在圖像去噪領域具有里程碑的意義。為了改善非局部均值濾波中圖像塊的相似性計算和提升去噪性能，Cai等［5］提出了一種精確的塊匹配算法。鑒于高斯濾波核的各向同性導致不能正確反映圖像的邊緣和結構信息，Jia等［6］提出了基于局部邊緣方向的非局部濾波算法，用方向核回歸系數計算邊緣和結構區域像素的權重。

Aghajarian等［7］將深度學習引入到高斯噪聲的去除中，用包含3 個訓練過程的訓練模型去除各種強度的高斯噪聲。Majed等［8］提出一種基于深度學習的貝葉斯盲去噪方法。但是基于深度學習耗時較多，計算效率較低，難以滿足圖像處理的實時性要求。鑒于雙邊濾波的邊緣保持性能，Wu 等［9］提出一種雙范圍域核的加權雙邊濾波器。針對部分文獻犧牲去噪性能以提升雙邊濾波的計算效率，Chen 等［10］提出一種高斯自適應雙邊濾波器，其基本思想是通過高斯空間核獲取低通制導，為后續的雙邊復合制導提供一個干凈的高斯范圍域核。

鑒于小波變換具有多分辨率分析和時頻局部化分析等優點，部分學者提出了小波域的濾波方法［11］。然而，小波變換本身具有固有的缺陷：平移敏感性、缺乏方向選擇性和頻率混疊等。于是，Selesnick 等［12］提出了雙樹復小波變換的框架；部分學者提出了基于雙樹復小波變換的去噪方法。Mansoore 等［13］根據最大后驗估計將二元瑞利分布的重尾尺度混合作為無噪小波系數幅值的先驗分布，并充分利用相鄰小波系數的相關性，以提升去噪效果。Lavanya 等［14］將神經網絡和自然優化算法以及雙樹復小波結合，將由神經網絡和自然優化算法推導出的閾值運算用于小波去噪處理。

現有的濾波方法未能在去除噪聲的同時有效地恢復圖像的邊緣和細節，但未能在去除噪聲，本文提出了邊緣增強的雙密度雙樹復小波閾值濾波器，從而進一步提高高斯噪聲的去除效果，更好地保持和恢復圖像的邊緣細節，同時實現圖像去噪的實時計算。

1 圖像處理方案

本文用邊緣增強的雙密度雙樹復小波閾值濾波器處理圖像的方法有如下3 個步驟：①用雙密度雙樹復小波變換對含噪圖像進行分解，得到小波系數；②用提出的可導的閾值函數與自適應閾值對小波系數進行量化處理，去除噪聲，然后作雙密度雙樹復小波逆變換，得到去噪圖像；③用拉普拉斯算子對去噪圖像進行邊緣增強，得到邊緣增強的去噪圖像。

2 圖像濾波器基本原理

2.1 雙密度雙樹復小波變換

小波變換具有多分辨率分析和時頻局部化分析等優點，但是小波變換帶有與生俱來的缺陷：振蕩性、平移敏感性、頻率混疊和方向選擇少。因此，用雙樹復小波變換［12］，克服小波變換固有的缺陷。復小波變換表達式：

式中：t為時間變量；ψr（t）和jψi（t）分別為偶數值的實部和奇數值的虛部。

雙樹復小波變換的實部和虛部分別由兩路小波變換、分別使用兩組獨立的高、低通濾波器實現，如圖1所示。用圖1 分析濾波器組對圖像進行多尺度分解，分別得到實部和虛部的各尺度的低、高頻小波系數。其中，f0（n）和f1（n）表示實部的共軛正交濾波器對，F0（n）和F1（n）表示虛部的共軛積分濾波器對，↓2表示隔點采樣。分別與f0（n）和f1（n）對應的尺度函數φr（t）和小波函數ψr（t）的定義為

圖1 雙樹復小波變換的濾波器組

分別與F0（n）和F1（n）對應的虛數值尺度函數φi（t）和小波函數ψi（t）的定義為

鑒于雙密度小波變換具有更好的重構性和平移不變性，將雙密度小波變換引入到雙樹復小波變換中，提出了雙密度雙樹復小波變換［15］。雙密度小波變換利用1 個低通濾波器f0（n）和2 個高通濾波器f1（n）和f2（n）實現小波變換。相對于小波變換，雙密度小波變換的每尺度分解為1 個低頻和2 個高頻系數，即：

雙密度雙樹復小波變換的濾波器組如圖2所示，對圖像進行變換時，實部和虛部在各尺度上分別得到1個低頻系數和2 個高頻系數。與雙樹復小波濾波器組相比，在各尺度上分別多產生1個高頻系數。高頻系數表述圖像的邊緣細節，如此，雙密度雙樹復小波濾波器組產生比雙樹復小波濾波器組更多的方向選擇性。雙密度雙樹復小波變換除了具有小波變換的多分辨率分析和時頻局部化分析等優點，還具有平移不變性和多方向選擇性，能更有效地對圖像進行稀疏表示，避免頻率振蕩現象，突出顯示圖像的特征和細節紋理結構。

圖2 雙密度雙樹復小波變換的濾波器組

2.2 閾值去噪模型

2.2.1 可導的閾值函數

最初用于小波閾值去噪的方法為硬閾值函數和軟閾值函數：

式中：w為閾值處理前的小波系數；Φh（w）和Φs（w）為閾值處理后的小波系數；sign（）為符號函數。其中，函數（X）＋定義為

一是依托地方高校的區位優勢和實踐課程的特點，組織學生到實地進行參觀、考察、調研、學習、交流等活動。譬如：組織學生到閩東蘇維埃政府舊址--福安溪柄柏柱洋、百丈巖九壯士跳崖犧牲點--寧德市蕉城區虎貝鎮、中國工農紅軍閩東獨立師展陳館--霍童桃花溪等愛國主義教育基地參觀學習，接受革命傳統教育，傳承紅色基因；組織學生到福安廉村、廉政文化教育示范點等，開展廉政文化教育警示學習活動，提高學生的精神境界，使之內化于心；組織學生與革命斗爭的親歷者、見證者及其子女進行交流，或通過“口述歷史”的方式對其進行訪談，讓學生們更加真實地感受歷史場景，產生情感共鳴，得到更加詳實和鮮活的第一手資料。

統一閾值

式中：σ為噪聲強度；N為小波系數數量。

如圖3 所示為硬、軟閾值函數的圖像曲線，其中：虛線為輔助線，實線為函數圖像，橫坐標w 為原小波系數，縱坐標Φ（w）為對w 量化處理后的小波系數。很明顯，硬閾值函數將絕對值小于閾值T 的系數看作噪聲系數而置零，在閾值T 處將小波系數截斷，其余系數保持不變。因此，去噪處理后的小波系數出現斷層，給圖像引入偽吉布斯現象。軟閾值函數雖然連續，但是其將所有的系數減去1 個閾值量，破壞了原始圖像的信息，去噪圖像產生明顯的模糊效果。另外，硬、軟閾值函數所用的閾值T缺乏魯棒性，用統一的閾值去處理所有尺度的小波系數，忽略了無噪小波系數的特征。因此，本文提出了一種平滑可導的閾值函數

其圖像曲線如圖3（c）所示。閾值函數Φ（w）具有優良特性：①Φ（w）在整個定義域上連續，保證了小波系數的連貫性，避免出現系數振蕩以致去噪圖像出現振鈴現象。克服了硬閾值函數的缺陷。②在小波系數的絕對值大于閾值T 的定義區間上，Φ（w）高度擬合原小波系數，有效保持了無噪小波系數的原始信息。克服了軟閾值函數的缺陷。③Φ（w）處處可導，具有良好的數學性質。去噪后的小波系數具有連貫性和平滑性，能夠保持圖像的視覺自然。

圖3 硬、軟閾值函數與可導的閾值函數

2.2.2 自適應閾值

對于不同的分解尺度，噪聲的小波系數表現出不同的特征。大部分的噪聲分布于大尺度分解的小波系數中，隨著分解尺度的細化，噪聲的小波系數幅值變小，因此，在統一閾值（11）的基礎上，本文提出了反比于分解尺度的自適應閾值

式中，i為分解尺度。閾值Ti順應分解尺度的細化，隨著分解尺度的細化，逐步降低閾值的大小，有效保護了部分小幅值的無噪系數。

2.3 拉普拉斯邊緣增強

所有的圖像濾波算法都難以避免的問題就是圖像模糊。對圖像的去噪處理，就是將噪聲的影響去除，盡可能地恢復圖像的原始信息，但是由于噪聲本身的破壞以及去噪處理中的誤操作，難免會對圖像的細節和紋理結構造成一定的破壞。因此，本文對去噪圖像進行后增強處理，以恢復圖像的細節和紋理結構。

對圖像進行邊緣提取，與1 階微分相比，2 階微分的邊緣定位能力更強，銳化效果更好。又作為2 階微分算子的拉普拉斯算子是各向同性微分算子，具有旋轉不變性。拉普拉斯算子［16］的定義見圖4 所示。

圖4 拉普拉斯算子

將經雙密度雙樹復小波閾值濾波器去噪處理的圖像，用拉普拉斯算子進行邊緣提取，然后疊加到去噪圖像中，使得被噪聲和去噪處理破壞的圖像邊緣得到一定程度的恢復。這樣可以使去噪圖像的各灰度值得到保留，同時使灰度突變處的對比度得到增強，最終結果是在保留圖像背景的前提下，突出圖像的微小細節信息。

3 實驗驗證與結果分析

為驗證所提出方法的有效性和實用性，將所提出方法與文獻［4］、［9］、［13］和［14］中提出的方法應用于實驗圖像，根據實驗的效果圖、峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）和邊緣保持指數（Edge Preserved Index，EPI）［17］以及計算效率進行對比分析。

本文使用Intel i5 CPU 和8GB RAM、系統為Win10 的計算機，Matlab 2013b 軟件作為運算平臺，實驗圖像用文獻［18］中的部分圖像和部分醫學圖像，見圖5 所示。實驗步驟為：①用Matlab 語言實現本文方法與文獻［4］、［9］、［13-14］中提出的方法；②將用Matlab語言編程實現的本文方法以及參與實驗比較的方法應用于含不同強度噪聲的圖像，以去除噪聲；③對由Matlab軟件進行實驗得出的去噪結果，包括去噪圖像、PSNR和EPI值以及算法的計算時間，進行組織和分析，得出實驗結論。

圖5 實驗圖像

3.1 不同算法下圖像去噪的效果

對低強度噪聲，去噪圖像有時候難分優劣，因此對去噪圖像效果的比較，本文選擇較高強度的噪聲。對圖像boat添加強度σ ＝40 的高斯噪聲，各算法對其去噪的效果如圖6 所示，各去噪圖像對應的PSNR和EPI值在其分標題中標示。文獻［13］中的去噪效果較差，模糊效果嚴重，雖然去除了噪聲，但是圖像的邊緣和細節已被破壞；文獻［9］和［14］中的去噪效果類似，能在一定程度上對噪聲圖像進行有效的恢復，但是它們的模糊效果還是比較明顯，邊緣細節的恢復效果欠佳；文獻［4］中和本文方法的去噪效果較好，整體圖像較清晰，文獻［4］中方法有明顯的平滑效果，而本文方法對邊緣細節保持得較好；而從對應的PSNR 和EPI 值可以看出，本文方法稍微優于文獻［4］。

圖6 在含噪強度σ ＝40時各算法對圖像boat的去噪效果

各算法對含噪強度為σ ＝50 的乳腺圖像mammogram的去噪效果如圖7所示。乳腺圖像的背景是平滑區域，只有前景對象含有紋理和邊緣。在如此高強度的噪聲下，從噪聲圖像只能看出前景對象的大致輪廓。文獻［13］中的效果較差，模糊效果嚴重，未能有效恢復圖像前景對象的紋理和細節；文獻［9］和［14］中雖然在一定程度上對圖像進行了恢復，但是其模糊效果依然明顯，前景對象的部分紋理和細節已丟失；文獻［4］中的圖像恢復效果較好，但是前景對象出現疙瘩。而本文方法較好地恢復了圖像，紋理和細節保持得較好，圖像的清晰度較高，根據各分圖對應的PSNR和EPI值的比較得出的結論，與視覺效果基本上是一致的。

圖7 在含噪強度σ ＝50時各算法對圖像mammogram的去噪效果

3.2 各種噪聲強度的PSNR和EPI

對圖像man 添加不同強度的高斯噪聲，各算法對其進行去噪而得的PSNR和EPI值以圖像曲線的形式顯示如圖8 所示。文獻［9］、［13-14］中的去噪結果比較接近，有的算法PSNR 高一點，但其EPI 值低一點，但差別不大。文獻［4］中和本文方法的去噪結果較好，PSNR值本文方法比文獻［4］中的稍高，但是差距不大，而在噪聲強度較大時，文獻［4］中的EPI 值比本文方法稍高。

圖8 各算法對圖像man去噪處理結果

各算法對含不同強度噪聲的醫學圖像chest＿xray進行去噪的PSNR和EPI 值如圖9 所示。文獻［9］中的PSNR和EPI值相對較低，文獻［13-14］中的PSNR曲線比較接近，而文獻［13］中的EPI值比文獻［14］中的高出大約3%，在噪聲強度較高時，文獻［13］中的對圖像的邊緣和紋理保持得較好，EPI值較高。相對地，文獻［4］中和本文方法的PSNR和EPI值較高，在噪聲密度較高時，本文方法的PSNR 值稍微高于文獻［4］，而對于EPI值，本文方法與文獻［4］中的相差不大，難分優劣。

圖9 各算法對圖像chest＿xray去噪處理結果

各算法對含不同強度噪聲的圖像boat 進行去噪的結果如圖10 所示。文獻［9］、［13-14］中方法的去噪效果較差，而文獻［4］中和本文方法的去噪效果較好，顯著優于文獻［9］、［13-14］中的方法，其中本文方法稍微優于文獻［4］。

圖10 各算法對圖像boat去噪處理結果

各算法對含不同強度噪聲的乳腺圖像mammogram去噪的PSNR 和EPI 值如圖11 所示。在PSNR上，文獻［9］、［13-14］中的方法較為接近，其值較低，而本文方法與文獻［4］中的方法也較為接近，但是明顯優于文獻［9］、［13-14］中的方法，本文方法的PSNR值稍微高于文獻［4］的方法。在EPI 上，文獻［9］和［14］中的方法的值較低，而文獻［13］中的方法的值處于中等水平，文獻［4］中和本文方法的值較高，與其他算法拉開較大的差距。

圖11 各算法對圖像mammogram去噪處理結果

除了在單張圖像進行實驗，本文還在源自文獻［18］的整體數據集Set12 上，再次驗證各方法的去噪性能。將各算法應用于Set12 中的所有圖像，將其結果PSNR和EPI 對圖像數量取平均值，如圖12 所示。從PSNR曲線來看，除了文獻［4］中和本文方法，其他方法的去噪性能并不高；但從EPI 曲線看，文獻［13］中的EPI曲線相對較高，表明其對邊緣和紋理結構保持和恢復得較好。相對地，文獻［4］中和本文方法的PSNR和EPI曲線均處于最高位置，兩者的差別微小，細心觀察可以看出，本文方法還是稍微優于文獻［4］。

圖12 各算法在數據集Set12上的平均PSNR和EPI

以上分別根據視覺感知和客觀數據對本文方法進行了比較驗證，結果顯示，本文方法的去噪性能優于多數的現有方法，作為圖像去噪領域中具有里程碑意義的文獻［4］中的方法，雖然本文方法沒有明顯優于文獻［4］，但是基本上與其持平，對于部分圖像或部分噪聲強度，本文方法稍微優于文獻［4］。

3.3 計算效率

選擇數據集Set12 中圖像用不同算法的測試計算效率，各算法對圖像數量的平均計算時間如表1 所示。噪聲強度的增大，往往會增加算法處理的復雜度，所以對高強度噪聲的處理耗時一般會略高于低強度噪聲。文獻［14］中的耗時最高，難以滿足圖像處理對實時性的要求。文獻［4］和［13］中的計算速度處于中等水平。文獻［9］中和本文算法的計算速度最快，在噪聲強度較高時，本文方法稍微快于文獻［9］中的方法。因此，本文方法具有媲美于文獻［4］中的良好的去噪性能，且具有實時的計算效率。

表1 各算法在數據集Set12 上的平均計算時間 s

4 結 語

本文提出的邊緣增強的雙密度雙樹復小波閾值濾波器、提高高斯噪聲的去除效果，通過Matlab 2013b軟件編程實驗及與相關圖像文獻比較運算驗證，結果表明：①相對于現有的方法，本文方法的去噪圖像更清晰，圖像的邊緣細節恢復得更好；②本文方法去噪得出的PSNR和EPI值比現有的方法更高，顯示更好的圖像去噪和邊緣恢復性能；③本文方法具有實時的計算效率，適用于實時的圖像計算處理。課題組計劃將本文方法作進一步改進，應用于混合噪聲的去除以及含噪圖像的增強，以提高實際應用的圖像質量和效果。