采樣率對PMSM的SMC控制性能影響研究

顏 坤,馬家慶

(貴州大學電氣工程學院,貴州 貴陽 550025)

0 引言

近年來，隨著經(jīng)濟的飛速發(fā)展，國內(nèi)自動化水平迅速提升，以電機為核心的驅(qū)動控制領(lǐng)域取得了長足進步，并且深入到各行各業(yè)。為了使永磁同步電機(permanent magnet synchronous machine,PMSM)性能指標更加突出，不僅需要對控制器進行研究，還需要匹配對應性能指標最優(yōu)的采樣率，以實現(xiàn)更高的效率。Utkin和Emelyanov[1-2]提出的滑模控制(sliding mode control,SMC)是一類可變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。目前，SMC已在許多領(lǐng)域成功實施，在滑動面設(shè)計方面，有學者選擇比例積分(proportional integral,PI)滑模面[3]，也有學者選擇比例微分(proportional differential,PD)滑模面[4]。已有學者證明，比例積分微分(proportional integral differential,PID)滑模面可提供比PD滑模面更快的響應[5]。

本文提出了一種新型分數(shù)階雙冪次快速趨近率，通過理論與仿真證明所提新型趨近率的穩(wěn)定性、可達性以及存在性。

在計算機控制系統(tǒng)中，為了使計算機能處理被控對象的輸入和輸出信號，首先要將誤差信號這一模擬量按一定的采樣周期T進行采樣。采樣率控制系統(tǒng)的研究也開始得較早。通過單采樣率設(shè)計，保證了離散時間模型輸入狀態(tài)的穩(wěn)定性[6]。此外，也有學者提出頻域分解方法，以及傳遞函數(shù)的方法[7]。本文通過采樣率對最小相位系統(tǒng)理論分析，試驗驗證理論的可行性，并得出采樣率對永磁同步電機的滑模控制性能影響的結(jié)論。

1 采樣率對控制系統(tǒng)理論分析

采樣定理是將連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散時間信號的有效工具[8]。當永磁同步電機沒有負載時，其矢量控制模型可通過標準形式表達為：

(1)

式中：x(t)為系統(tǒng)狀態(tài)變量，x(t)∈Rn；u(t)為系統(tǒng)控制輸入,u(t)∈Rn；y(t)為系統(tǒng)輸出觀測量y(t)∈Ra；A∈Rn×n、B∈Rn×m、C∈Ra×n、G1∈Rn×b均為系統(tǒng)矩陣。

由于電機矢量控制系統(tǒng)中存在包含滑模非線性控制器在內(nèi)的非線性部分，所以f[x(t)]∈Rb總存在一個非負常數(shù)μ，使之滿足Lipschitz條件：

(2)

假設(shè)：系統(tǒng)矩陣(A,C)可觀和(A,G1)可控，且(A+αI,G1,C)滿足最小相位最小相位條件；I為單位矩陣；參數(shù)α>0。

對于無負載的矢量控制系統(tǒng)，設(shè)計采樣觀測器如式(3)所示。

(3)

式中：L=QCT∈Rn×a，Q為對稱對稱正定矩陣，并且可通過LQ Riccati方程求得。

在(A,C)可觀和(A,G1)可控的條件下，對于符合α>0和ε>0，始終存在一個對稱正定矩陣Q滿足LQ Riccati方程[8-9]。而存在對稱正定矩陣Q-1，滿足LQ Riccati方程的條件是當且僅當式(4)成立。

(4)

定義參數(shù)ε>0和δ>1。若滿秩矩陣C和G1滿足rank(CT)=rank(G1)，且(A+αI,G1,C)是最小相位系統(tǒng)，那么存在正定矩陣Q-1滿足以下條件：

(5)

(6)

通過式(5)和式(6)，求出正定矩陣Q和參數(shù)ε。若存在采樣周期T滿足不等式(7)條件，則說明對任意常數(shù)μ的誤差估計系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定。對于不等式(7)，一定存在一個足夠小的采樣周期T。則T為式(7)的最優(yōu)解[9]。

(7)

2 滑模控制器設(shè)計及仿真分析

2.1 滑模控制器設(shè)計

本文提出一種新型分數(shù)階雙冪次快速趨近率，為：

(8)

式中:k1>0；k2>0；0

系統(tǒng)能快速趨近滑模面。當系統(tǒng)接近滑模面時，趨近速度能較快降低并穩(wěn)定在滑模面附近，而冪函數(shù)能明顯解決系統(tǒng)抖振問題。

通過李雅普洛夫(Lyapunov)函數(shù)，證明提出的新型趨近率的可達性和存在性：

(9)

對式(9)求導，并將式(8)代入式(9)，有：

(10)

用滑模控制器代替?zhèn)鹘y(tǒng)矢量控制中速度環(huán)的PI控制器。定義以下非線性滑模面切換函數(shù)：

s=cx1+x2c>0

(11)

式中：c為待定參數(shù)；x1為系統(tǒng)狀態(tài)變量。

定義PMSM狀態(tài)變量：

(12)

式中:ωref為電機參考轉(zhuǎn)速，通常為常量；ωma為電機實際轉(zhuǎn)速。

對式(11)求導，并將式(12)代入式(11)。令s=σ,有：

(13)

(14)

2.2 PMSM滑模變結(jié)構(gòu)控制仿真分析

圖1 滑模控制器仿真模型Fig.1 Simulation model of sliding mode controller

三種控制器速度響應曲線如圖2所示。圖2中，分別為基于PI控制器、基于指數(shù)趨近率的滑模控制器以及基于新型趨近率的滑模控制器的速度響應曲線。在0.2 s處，同時加入10 N·m的負載轉(zhuǎn)矩。

圖2 三種控制器速度響應曲線Fig.2 Speed response curves of three controllers

由圖2可知，采用PI控制器、基于指數(shù)趨近率的滑模控制器以及基于新型趨近率的滑模控制器下的電機速度響應時間分別為0.018 s、0.014 s、0.007 s，超調(diào)量分別為253 r/min、222 r/min、6 r/min。在0.2 s加負載后，本文設(shè)計的滑模控制器的魯棒性能明顯高于PI控制器。

三種控制器電機定子三相電流如圖3所示。由圖3可知，新型趨近率的定子三相電流脈動較小。新型趨近率控制器電機空載啟動到穩(wěn)定時間約為0.02 s，而PI控制器和基于指數(shù)趨近率的滑模控制器分別為0.07 s、0.06 s；0.2 s后加入負載。對比結(jié)果表明新型趨近率的定子三相電流脈動質(zhì)量更好。

圖3 三種控制器電機定子三相電流Fig.3 Three-phase current of the stator motor of the three controllers

三種控制器電機電磁轉(zhuǎn)矩如圖4所示。

由于啟動時新型趨近率超調(diào)量微小，在0.2 s時加入10 N·m負載后，新型趨近率的抖振相對最小，效果最穩(wěn)定；PI控制器抖振大，波動明顯。

3 控制系統(tǒng)的平臺搭建與試驗驗證

搭建以TMS320F28335為控制核心的PMSM試驗平臺。平臺由計算機、直流穩(wěn)壓電源、驅(qū)動板、控制板、PMSM、磁粉制動器搭建組成。

本次試驗電機的型號為ACSM80。電機額定電壓為220 V，額定功率為0.75 kW,額定轉(zhuǎn)矩為2.4 N·m，最大轉(zhuǎn)矩為7.2 N·m，額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，額定電流為4.22 A，相電阻為0.901 Ω，相電感為6.552 mH，極對數(shù)為4對。

這里對電機的速度響應在不同采樣率下進行試驗分析，即分別測試永磁同步電機在滑模變控制器下7～12 kHz的速度響應。試驗中，通道1是電機速度響應，對應電機實際轉(zhuǎn)速為1 050 r/min，通過磁粉制動控制器給電機加入4 N·m的負載轉(zhuǎn)矩。

通道1垂直間隔單位為200 mV,水平間隔單位為500 ms。電機轉(zhuǎn)速降通過示波器電壓線性表示，單位為mV。通過試驗可以看出，電機在7～12 kHz采樣率加負載時電機的響應時間分別是715 ms、650 ms、640 ms、660 ms和920 ms。因此，電機在9 kHz采樣率時電機響應時間較快。電機在7～12 kHz采樣率加負載時電機的轉(zhuǎn)速降低分別是56.6 mV、63.3 mV、63.3 mV、80 mV、86.6 mV和96 mV。因此，電機在7 kHz采樣率時其穩(wěn)態(tài)誤差最低。

試驗還測試了當電機轉(zhuǎn)速為1 050 r/min時加速60 r/min的加速響應情況。從試驗中可看出，電機在滑模變控制器下7～12 kHz的提速響應時間分別是238 ms、265 ms、325 ms、318 ms、375 ms和248 ms。顯然，采樣率在7 kHz時響應時間最短。而在采樣率分別是9 kHz、10 kHz、11 kHz和12 kHz時，電機提速出現(xiàn)了超調(diào)量，采樣率越高其超調(diào)量越明顯。試驗驗證在電機減速的時候也具有相同的結(jié)論。

由于受到軟硬件限制，不排除采樣頻率受到周期中斷的影響。但采樣率范圍設(shè)置在7～12 kHz時，針對轉(zhuǎn)速超調(diào)量、響應時間等某一項性能指標有最優(yōu)采樣周期。就上述試驗而言，永磁同步電機加負載在采樣率為9 kHz時，電機響應時間比較短；在系統(tǒng)允許的范圍內(nèi)適當降低采樣率，可使電機轉(zhuǎn)速穩(wěn)定性相對較高；在電機加減調(diào)速時，一定范圍內(nèi)的采樣率越高，則其響應時間越長，其超調(diào)量也越明顯。

4 結(jié)論

本文提出一種新型趨近率，設(shè)計滑模控制器并將其應用于永磁同步電機矢量控制系統(tǒng)速度環(huán)，再由理論與仿真試驗證明其有效性及可行性。通過研究采樣率對永磁同步電機滑模控制性能影響，證明了存在任意非負常數(shù)u，使得誤差估計是穩(wěn)定收斂的。最佳采樣周期T可通過求解多階線性矩陣不等式得到，即誤差估計穩(wěn)定收斂的最佳采用周期存在。試驗分析了采樣頻率在7～12 kHz電機加減速以及加減負載時的速度響應，得出針對某項性能相對最優(yōu)的結(jié)論：永磁同步電機加載在采樣率為9 kHz時電機響應時間較短；加減調(diào)速時，在一定范圍內(nèi)采樣率越高，其響應時間越長，且超調(diào)量越明顯。本文設(shè)計適用于工程應用。