基于虛擬仿真的圓波導教學方法

駱新江， 張鵬泉， 張忠海

（杭州電子科技大學電子信息學院，杭州 310018）

0 引 言

隨著無線技術的發展，電磁場與電磁波技術的應用越來越廣泛。與矩形波導相比，圓波導由于其較高的幾何對稱性，機加工方便，誤差小；相同橫截面周長的圓波導比矩形波導衰減小，功率容量大，品質因子高［1］。大多數傳輸線隨頻率的升高，衰減也會隨之增加，而圓波導中的TE01模，隨著頻率的升高衰減反而降低［1］。根據圓波導的這些特點，它常常被做成各種器件，應用在多種場合，例如，旋轉關節［2］，波導天線［3］、模式轉換器［4］、功率分配器／合成器［5］、濾波器［6］、移相器［7］、振蕩器［8］和開關［9］等。掌握好圓波導中電磁波的行為特點，對今后開發市場需求的圓波導器件至關重要。在學習圓波導相關理論時會遇到柱坐標系和一些特殊函數，學習起來比較抽象，難理解。多數教科書中都是采用理論推導的方法，煩瑣的數學過程不僅使學生望而卻步，還易產生本末倒置的錯覺。對于電子信息類專業的學生，求解方程的過程并不是重點，應將更多精力放在解題的思路和理解上來。隨著優秀的數學仿真軟件（如Wolfram Mathematic，Matlab，Maple）和電磁場仿真軟件（High frequency simulation software，HFSS），CST（Studio Suite，FEKO）的出現，不僅為電磁場與電磁波工程設計提供了輔助工具，同樣為電磁場與電磁波的教學改革提供了可能。目前在這方面已經涌現了一批優秀的教學案例［10-16］。這些案例的成功為圓波導教學方法改革提供了經驗。

1 理論解析

圓波導具有柱對稱性，采用柱坐標系求解場結構，如圖1所示。圓波導是單導體傳輸線，只能傳播橫磁Transverse magnetic（TM）波和橫電Transverse electric（TE）波，不能傳輸橫電磁波TEM［1］。對于這種電磁波場的解題思路如圖2所示。一切電磁現象的基石都是麥克斯韋方程。對于電磁波而言即為無源的麥克斯韋方程。對方程組中電場和磁場去耦合可得波動方程。對于圓波導中的電磁場分布，可先求縱向場分布，利用變換矩陣求解橫向場分布。

圖1 圓波導及坐標系

圖2 圓波導橫向場分量解題思路

在圖1所示的柱坐標系下，z軸為波傳播方向，即縱向，ρ和φ為橫向。對于TE波，Ez＝0，Hz滿足?2Hz＋k2Hz＝0，Hz是關于變量ρ、φ和z的函數。可設Hz＝R（ρ）Φ（φ）Z（z），利用分立變量法可分別求得：

式中：c、c1、c2、c3、c4為系數；m＝0，1，…為整數；γ為傳播常數；k為波數；kc為截止波數；Jm（kcρ）為第1類m階Bessel函數；Nm（kcρ）為第2類m階Bessel，即Neumann函數。式（1）中后一種書寫法更緊湊直觀地表現了兩種函數“或”的關系。文章后面關于各種場結構的解析式均采用這種方法，它能夠直觀地看出場結構中的角度簡并模式。

學生對這類特殊函數并不熟悉，在課堂教學環節中必須插入Bessel函數和Neumann函數的相關知識，否則學生很難理解后面的求解結果。在Mathematica軟件中輸入如下命令：

及刻畫出0～4階的Bessel函數和Neumann函數圖形，如圖3（a）、（b）所示。

圖3 0～4階的Bessel函數和Neumann函數圖

從圖3（b）Neumann函數圖形，可以發現在自變量趨于0時，函數值趨于無窮大，而由有限邊界條件可知，解中不會出現Neumann函數。所以縱向解只能為

將式（2）Hz中的求解結果和Ez＝0一并代入圖2求橫向場的矩陣方程中，結合邊界條件即可解出橫向場分布，這里需用到的邊界條件有：①有限邊界條件f（ρ＝0）≠∞；②周期邊界條件f（φ＝0）＝f（φ＝2π）；③理想導體邊界條件Et（ρ＝a）＝0。其中t為切向分量，這里具體為Eφ＝0，Ez＝0。

對于理想導體和理想電介質的情況，TE模的所有場分布結果列于式（3a）上面。同理可得TM模的場分布，列于式（3a）下面。利用對偶關系也可得出同樣的結果（式3（b））。將TE和TM模的電磁場分布一同列于式（3），更容易通過對比發現其中的規律。式中，μmn為TE模第1類m階Bessel函數導數的第n個根，即J/

m（kca）＝0，此時

υmn是TM模第1類m階Bessel函數的第n個根，即Jm（kca）＝0，此時

由式（4）可知，TE模的截止波長

由式（5）可知，TM模的截止波長

可見，當m和n取不同數值時，μmn、υmn和截止波長也取不同數值。這種對應關系見表1。將表1中各模式的截止波長按從小到大的順序排列成數軸形式更容易發現其中的規律，如圖4所示。

表1 m和n取不同數值時μmn和υmn的值和對應的截止波長

圖4 圓波導中不同模式電磁波的截止波長與傳播區域數軸圖

由圖4可見，截止區對應的波長下限為3.41a，以及各模式的工作波長區間和兼并情況。但無法觀察到另外一種兼并模式，即角度兼并，當角度旋轉90°時sin（mφ）和cos（mφ）就會相互轉換。這點解析結果中已經給出，但卻不夠形象。在仿真分析部分將各種場結構可視化后，展示了這種兼并形式。這里需要特別強調的是，圓波導中的模式指數m和n同矩形波導中的物理含義是不一樣的。為便于區別和理解，將這兩種情況列于表2。由于J/0＝－J1，所以TM1n模和TE0n模的截止波長相等，發生簡并。但相同的m和n值，μmn和υmn不相等，TMmn和TEmn的截止波長就不會相等，所以這兩種模式不會發生簡并。

表2 圓波導和矩形波導中模式指數m和n的含義

2 仿真分析

采用標準圓波導BY40對上述推導的結論進行仿真。標準圓波導BY40的腔體內半徑a＝25.995 mm，按照圖1結構在HFSS軟件環境下建立電磁仿真模型。過程如下：①建立波導結構；②設定材料屬性，導體設為理想金屬，內部介質為真空；③設置端口激勵以及阻抗積分線；④設置網格基準頻率，這里設置為10 GHz；⑤掃頻仿真，這里取1～10 GHz；⑥觀察仿真結果。不同頻率下的插損仿真結果如圖5所示。

圖5 不同模式下插損仿真值

通常認為傳輸能量低于1%（－20 dB）時即為截止。將－20 dB的標號放于各模式的插損仿真曲線上，其對應的頻率即為截止頻率。與GB 11450.4-1989中BY40中標準數據對比結果列于表3。通過對比可發現誤差很小，因此仿真結果是可信的。

表3 各模式電磁波截止頻率

由圖5、表3可見，標號m1、m2，m4、m5，m7、m8對應曲線和數據相重合，進一步證明了存在簡并模式。各標號對應的解析式與場結構仿真圖，如圖6～10所示。各圖中共分兩欄左電場側解析式對應左側電場結構，右側磁場解析式對應右側磁場結構。場結構的分布和兼并情況從圖中一目了然。

圖6 TE11模式場結構分布圖

圖7 TM01模式場結構分布圖

由以上場結構解析式和仿真圖不難看出，各模式場結構分布情況與數學解析式是相吻合的。場結構可視化結果形象的展示了場模式指數的物理含義，同時也能觀察出角度兼并的存在，如在TE11模，TE21模和TM11模中都發生了角度兼并。另外，對未知的場模式，結合指數的物理含義，從場結構仿真圖很容易知道波導中傳播的是何種場模式。

圖8 TE21模式場結構分布圖

圖9 TE01模式場結構分布圖

圖10 TM11模式場結構分布圖

3 結 語

提出圓波導場結構的求解思路，對比列出圓波導中TM波和TE波的場結構結果。以標準圓波導BY40為例，利用HFSS仿真軟件對傳輸特性，場結構分布進行了仿真分析。仿真結果與理論分析完全吻合。這種基于可視化的仿真輔助教學可以很好的理解圓波導中電磁場的傳播特點。