一種低周疲勞損傷演化模型及裂紋成核缺口敏感性分析

黃小光，王志強，張典豪，程斌亮，葉貴根

（中國石油大學（華東）儲運與建筑工程學院，山東 青島 266580）

0 引 言

疲勞是工程結構和材料在交變載荷作用下的低應力破壞行為[1]。隨著金屬材料在機械、電子、航空航天等領域的廣泛應用，疲勞逐漸成為此類部件的主要失效模式之一[2-5]。疲勞失效一般可分為裂紋萌生、裂紋擴展和斷裂三個階段。對于沒有初始損傷的材料，裂紋萌生壽命通常占總壽命的80%以上[6]。因此，研究金屬材料的裂紋萌生壽命具有重要意義。

根據應力應變與疲勞壽命的關系，疲勞通常可以分成應力疲勞與應變疲勞問題。人們根據對疲勞問題的理解，逐步建立了疲勞的材料力學、斷裂力學和損傷力學研究方法，以及相應的疲勞壽命預測模型。S-N和ε-N曲線是最常用的高周或低周疲勞壽命預測材料力學方法[7-9]。斷裂力學方法最著名的當屬Paris 公式，用于預測疲勞裂紋擴展速率[10-11]。近幾十年來，隨著連續損傷力學的發展，基于損傷演化的疲勞壽命預測受到了廣泛的關注[12-14]。Memon 等[15]利用損傷力學有限元方法研究了加載順序對疲勞壽命的影響，驗證了基于損傷力學有限元法的疲勞壽命與實驗結果相一致；Tommy等[16]提出了一種針對關鍵部位進行詳細的疲勞損傷分析的方法，可以大大簡化工程實際問題的計算過程；基于損傷步長的概念，張彥軍等[17]推導了疲勞裂紋萌生和擴展的預測公式，并對不同幾何參數的2024和7075鋁合金缺口板試件的全壽命進行了預測；關迪等[18]根據連續損傷力學和能量原理，提出了一種新的低周疲勞損傷演化模型，有效預測了金屬材料的低周疲勞壽命。為滿足工程設計的要求，疲勞構件不可避免地存在不同的缺口形狀。在循環荷載作用下，由于局部的應力集中裂紋通常在結構缺口處萌生。因此，設計合理的缺口形狀對提高缺口構件的疲勞壽命至關重要。謝季佳[19]使用改進的Tanaka-Mura模型揭示了梯度硬化厚度對疲勞裂紋萌生位置和壽命的影響；幸杰等[20]預測了缺口板試樣在高、低周疲勞載荷下的裂紋萌生壽命；李聰成等[21]結合初始應力應變場、連續損傷力學理論、單元失效與裂紋萌生準則，構建了蠕變-疲勞交互作用下P92鋼裂紋萌生的預測模型。

通過上述研究不難得知，對于必須加工缺口的疲勞試樣，缺口形貌設計及優化對于提高疲勞壽命具有非常重要的意義，但即便如此，疲勞裂紋萌生對于缺口形貌的敏感性卻很少受到關注。因此，本文從損傷力學理論出發，建立低周疲勞損傷演化模型，并將其編寫為UMAT 用戶材料子程序耦合到ABAQUS 中，模擬APL X65 鋼缺口試樣疲勞損傷演化規律，統計裂紋萌生壽命與最大應力的關系，分析缺口形貌對X65鋼裂紋萌生壽命的影響。分析結果對含缺口疲勞構件的疲勞耐久性設計具有一定的參考價值。

1 損傷演化模型

對于受單軸交變載荷試樣，材料性能劣化的主要機制是微裂紋以及微孔洞導致的有效承載面積的減少。如圖1 所示，AD為材料受損時微裂紋及微孔洞的面積，A為材料無損狀態下的橫截面積。因此材料的損傷D可以表示為

圖1 單軸拉壓試樣損傷示意圖Fig.1 Schematic diagram of uniaxial sample damage

由連續損傷力學理論可知，低周疲勞損傷通常由能量耗散勢來表示，即

式中，Δεp表示單次循環的累積塑性應變，Δσeq表示應力幅，K和n分別為循環強度系數和循環應變硬化指數。

由于單次循環累積的損傷很小，可將式（7）中的損傷變量D看成定值，將式（7）兩邊微分，則可以得到塑性應變率的表達式為

假設材料初始損傷為0，裂紋萌生時，材料損傷D=1。即：N=0，D=0；N=Ni，D=1。對式（10）積分，材料低周疲勞裂紋萌生壽命可表示為

2 模型參數與損傷演化模擬

2.1 參數驗證

本文以X65管道鋼為研究對象，由文獻[22～23]給出的低周疲勞實驗數據，擬合得到上述低周疲勞損傷演化方程參數，如表1所示。

表1 X65管道鋼材料參數Tab.1 Material parameters of X65 pipeline steel

利用擬合所得的損傷參數，借助FORTRAN語言將損傷演化方程編寫為UMAT 子程序，并耦合到ABAQUS 有限元軟件中。如圖2 所示，UMAT 子程序的實現主要分為以下幾個部分：參數輸入、失效判定、應力應變場計算以及損傷計算。模擬過程中，ABAQUS 調用UMAT 用戶子程序，首先將用戶預設相關材料參數傳遞給子程序；計算開始之前，判定單元是否達到失效條件（本文認為D=1時為裂紋萌生的臨界條件），若達到則直接結束，若未達到則繼續計算相關應力應變；再根據計算所得應力應變結果得到單次循環的損傷增量?D；當循環次數較多，為減小計算量，可將每N次循環內的損傷增量視為相等，這樣程序每循環一次代表實際N次載荷循環；最后，將所得計算結果存儲于狀態變量，并在每次循環結束時返回ABAQUS 主程序，直至達到失效條件。這里設定裂紋萌生尺寸為0.1～0.2 mm，當失效單元的尺寸達到裂紋萌生尺寸時，裂紋萌生[20]。

圖2 UMAT計算流程示意圖Fig.2 Flow diagram of UMAT implementation

利用以上原理，模擬文獻[23]中各加載條件下的低周疲勞損傷演化，裂紋萌生壽命模擬值與試驗值誤差對比如圖3所示。由此可以看出，模擬所得X65 管道鋼裂紋萌生壽命與試驗數據吻合較好，驗證了擬合參數的合理性以及UMAT實現過程的正確性。

圖3 X65鋼裂紋萌生壽命模擬值與試驗值對比Fig.3 Comparison in simulation and experimental data of crack initiation life of X65 pipeline steel

2.2 模型建立

為研究缺口參數對X65管道鋼低周疲勞損傷演化以及裂紋萌生壽命的影響，本文采用與文獻[24]相同的試樣尺寸，在試樣兩側分別預設相同缺口，如圖4所示，其中H、R與θ為描述缺口類型的三個參數，分別表示缺口深度、缺口根部半徑以及張開角度。本文設計不同形態的缺口組合，以研究缺口形貌變化對疲勞損傷演化及裂紋萌生壽命的影響，如表2所示。

圖4 缺口試樣示意圖（單位：mm）Fig.4 Sketch of the notched sample(unit:mm)

表2 缺口參數取值Tab.2 Shape parameters of notch

在ABAQUS有限元軟件中，根據對稱性建立缺口疲勞試樣1/4有限元模型，如圖5所示。在X方向和Y方向對稱面上添加對稱約束，并在試樣端部施加沿X方向的交變載荷，載荷波形為三角波，周期T=4 s，應力比R=-1，最大應力為100 MPa。此外，為提高計算的精度，對試樣缺口處的網格進行細化，單元類型為8節點六面體線性減縮積分單元。圖6為有限元收斂性分析結果，當缺口根部局部網格尺寸小于0.02 mm 時，試樣最大應力不再變化。因此在以下的有限元分析中，缺口處網格尺寸設為0.02 mm。

圖5 缺口試樣1/4有限元模型Fig.5 FE model of notched sample

圖6 收斂性分析結果Fig.6 Results of the convergence analysis

3 有限元結果與分析

3.1 參數敏感性分析

圖7（a）-（c）分別顯示了缺口深度、根部半徑以及張開角度對裂紋萌生壽命的影響。不難看出：當缺口深度以及張開角度保持不變，缺口根部半徑增大時，裂紋萌生所需的載荷循環次數也將隨之增加；然而，隨著缺口深度不斷增加，低周疲勞損傷累積速率逐漸增大，裂紋萌生所需的循環周次也相應減少；此外，低周疲勞損傷累積也受缺口張開角度的影響，張開角度越大，疲勞裂紋萌生壽命也越長；當張開角度小于90°時，張開角度的改變對裂紋萌生壽命的影響較小，當張開角度由90°增大到150°時，裂紋萌生壽命顯著增加。

圖7 裂紋萌生壽命對缺口參數的敏感性Fig.7 Sensitivity of crack initiation life to notch parameters

從缺口根部中心點出發，規定沿缺口方向、厚度方向以及寬度方向分別為N、Z和Y方向。以R=H=1 mm，θ=0°缺口試樣為例，研究了試樣缺口處的損傷、應力及塑性應變分布，如圖8所示。

圖8 缺口根部損傷、應力及塑性應變分布圖Fig.8 Damage,stress and plastic strain distribution near the notch root

疲勞損傷沿N方向和Y方向逐漸減小，而在Z方向上，疲勞損傷呈先增大后減小的趨勢。裂紋萌生最先并不出現在缺口中心點，而是距中心位置約1 mm處。從圖8還可以看出，疲勞載荷下的缺口試樣損傷分布規律與應力、塑性應變分布相似，N方向和Y方向的應力、塑性應變值隨著與缺口根部中心點的距離的增加而逐漸減少，而在Z方向上，缺口處應力變化不大，但總體分布趨勢與損傷分布相同，呈先增大后減小的趨勢。

3.2 裂紋萌生位置分析

考慮到板材厚度可能對試樣裂紋萌生位置產生的影響，本文分析了雙側缺口為R=H=1 mm，θ=0°，厚度W分別為1 mm、2 mm、3 mm、5 mm、6 mm 和10 mm 的缺口試樣。對比分析了不同板材厚度下，試樣缺口處的應力、損傷分布規律，并考察了裂紋萌生位置與板材厚度的關系。圖9顯示的是不同厚度下試樣缺口根部應力沿厚度方向的分布情況，圖中d表示缺口部位沿厚度的距離。不難看出：隨著板材厚度的增加，試樣最大應力將會減小；當板材厚度小于或等于3 mm時，試樣最大應力出現在缺口根部中心位置；而當厚度大于3 mm 時，其應力均將呈現先增大后減小的趨勢；并且隨著厚度增加，最大應力位置與缺口中心點的距離也將逐漸增大。

圖9 板材厚度對應力分布的影響Fig.9 Influence of plate thickness on stress distribution

圖10為不同厚度下試樣缺口根部損傷沿厚度方向的分布情況，板材厚度對疲勞裂紋萌生位置也有一定的影響。與應力分布類似，當板材厚度小于或等于3 mm時，裂紋將在缺口中位置萌生；而當厚度大于3 mm時，裂紋萌生位置則將隨著厚度的增加逐漸遠離缺口中心點；并且隨著板材厚度的增加，缺口中心點在裂紋萌生時刻的損傷值將越來越小。圖11 所示的不同厚度下缺口根部損傷云圖可以清晰地顯示以上規律。當厚度W=1 mm 時，缺口中心位置損傷最先達到臨界值，裂紋開始萌生，而當厚度W=10 mm時，最大損傷位置出現在靠近板的邊緣處。

圖10 板材厚度對損傷分布的影響Fig.10 Influence of plate thickness on damage distribution

圖11 不同厚度下缺口根部損傷分布Fig.11 Damage distribution at the notch root with different thicknesses

3.3 最大應力與裂紋萌生壽命

圖12所示為缺口試樣的疲勞最大應力與裂紋成核壽命關系曲線，對比各個不同缺口試樣的疲勞裂紋萌生壽命模擬結果與其對應的最大應力可知，二者可近似為線性關系，其線性關系擬合如下：

圖12 最大應力/壽命關系曲線Fig.12 Maximum stress versus fatigue life

為驗證上述擬合公式的正確性，本文對比了厚度分別為1 mm、2 mm、3 mm、6 mm以及10 mm時缺口試樣的疲勞裂紋萌生壽命模擬結果與公式（12）的預測值，結果如圖13 所示。從圖中可以看出，預測值與模擬值之間的最大誤差為3.7%，在工程可以接受的誤差范圍內，表明公式（12）能較好地預測缺口試樣疲勞裂紋萌生壽命。

圖13 疲勞壽命預測值與模擬值對比Fig.13 Comparison of predicted and simulated fatigue lives

4 結 論

本文建立了金屬材料的低周疲勞損傷演化模型，通過ABAQUS軟件編寫損傷演化UMAT子程序，模擬了APL X65 鋼缺口試樣的疲勞損傷演化過程，探討了缺口形貌對X65 鋼低周疲勞裂紋萌生壽命的影響。得到的主要結論如下：

（1）缺口深度H的增大將縮短疲勞裂紋萌生壽命，而當缺口根部半徑R或張開角度θ增大時，疲勞損傷累積速率將相應變慢，裂紋萌生壽命也隨之延長。且當θ<90°時，疲勞裂紋萌生壽命對參數θ并不敏感，當θ≥90°時，θ的改變將導致疲勞裂紋萌生壽命發生較為顯著的變化。

（2）對于同樣缺口尺寸的板狀試樣，板材厚度對試樣缺口處應力分布及裂紋萌生位置有一定的影響。當厚度W≤3 mm時，最大應力點及疲勞裂紋萌生位置均出現在缺口中心處；當W>3 mm時，缺口沿厚度方向的應力分布呈先增大后減小的趨勢，疲勞裂紋也將在靠近板的邊緣處萌生。

（3）擬合最大應力與缺口試樣疲勞裂紋萌生壽命之間關系，得到的關系為Smax=758.65-97.95 lgN。