中低速磁浮列車系統(tǒng)振動響應(yīng)的非線性度分析

陳雙喜

（成都大學(xué) 機械工程學(xué)院， 成都610106）

和輪軌列車不同，磁懸浮列車的推進(jìn)、懸浮和導(dǎo)向功能均由電磁力來完成。當(dāng)電磁鐵提供最大懸浮時，磁鐵處在力與距離特性曲線的非線性部分［1］。由于工作環(huán)境復(fù)雜，負(fù)載變化大，磁浮列車需要控制能力強的非線性控制系統(tǒng)。因此，磁懸浮列車動力學(xué)系統(tǒng)與控制系統(tǒng)具有顯著的非線性特征。磁浮車在運行過程中，懸浮間隙會出現(xiàn)極限環(huán)運動、多頻率耦合、懸浮失穩(wěn)振動等動力學(xué)行為，如果進(jìn)行線性化處理，這些復(fù)雜的現(xiàn)象就會被忽略。國防科大的CMS 試驗車在試驗中曾被觀察到因為控制環(huán)節(jié)非線性時滯導(dǎo)致的車軌共振現(xiàn)象。武建軍等在研究磁浮車動力學(xué)特性時發(fā)現(xiàn)了非線性混沌現(xiàn)象［2］。可見，如果忽略系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié)可能導(dǎo)致完全不同的動力學(xué)行為［3-5］。因此，研究磁浮列車系統(tǒng)振動的非線性問題具有重要的理論和實際意義。

西南交通大學(xué)趙春發(fā)建立了常溫超導(dǎo)磁浮列車動力學(xué)模型，并提出了性能評價方法［6］。國防科技大學(xué)施曉紅建立了基于剛性軌道的懸浮控制器模型和電磁鐵模塊的懸浮車軌耦合系統(tǒng)模型［7］。王洪坡從非線性動力學(xué)和結(jié)構(gòu)動力學(xué)2 方面著手，揭示了車軌耦合系統(tǒng)的動態(tài)本質(zhì)［8］。國防科大趙春霞通過數(shù)學(xué)建模與仿真的方法建立了列車沿軌道勻速運行時車輛系統(tǒng)的導(dǎo)向動力學(xué)模型［9］，對車輛系統(tǒng)和線路系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了參數(shù)化。陳強將系統(tǒng)誤差變量引入PID 控制系統(tǒng)，生成非線性PID控制算法，改善了跟蹤設(shè)定值與控制撓動之間的矛盾［10］。國防科大劉耀宗建立了包含閉環(huán)控制在內(nèi)的懸浮架動力學(xué)方程，仿真分析單點擾動時各個閉環(huán)懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)［11］。國防科大賀光建立了中速磁浮列車整車動力學(xué)模型，研究了200 km/h中速磁浮列車的導(dǎo)向能力［12］。同濟大學(xué)孫友剛針對單點懸浮系統(tǒng)的非線性、時變性，提出了一種滑?？刂品椒ǎ?3］。王連春提出了基于磁通導(dǎo)數(shù)反饋的磁浮列車—鋼梁耦合共振抑制算法［14］。

目前磁浮車耦合動力學(xué)特性研究一個重要方向是研究耦合系統(tǒng)的非線性振動特性。由于非線性振動學(xué)理論發(fā)展還不完善，許多問題還無法進(jìn)行理論計算分析，而數(shù)值計算方法的發(fā)展和計算機性能的提高使數(shù)值仿真分析成為可能。非線性振動信號通常包含頻率調(diào)制或幅值調(diào)制成分，美籍華人Huang 提出了基于信號的調(diào)制現(xiàn)象定義振動非線性度［15］。文中根據(jù)磁浮列車—軌道—橋梁耦合動力學(xué)理論建立典型的中低速磁浮列車動力學(xué)模型，計算不同控制參數(shù)下車輛系統(tǒng)的振動響應(yīng)，并將非線性度指標(biāo)計算方法引入仿真數(shù)據(jù)的分析中，研究控制參數(shù)對車輛振動信號非線性程度的影響規(guī)律。

1 中低速磁懸浮列車模型

1.1 磁浮列車動力學(xué)模型

文中建立典型的中低速磁浮車輛—軌道—橋梁耦合動力學(xué)模型，如圖1 所示。單節(jié)磁浮車有3個磁浮轉(zhuǎn)向架，轉(zhuǎn)向架左右2 個懸浮導(dǎo)向模塊通過防側(cè)滾梁連接，相同懸浮模塊的懸浮電磁力共用1個控制器。轉(zhuǎn)向架與車體之間通過空氣彈簧連接，而導(dǎo)向結(jié)構(gòu)采用類似日本HSST-100 磁浮車的裝置。建立的磁浮車模型包括1 個車體、3 個轉(zhuǎn)向架（6 個懸浮模塊），每個部件具有5 個方向的運動自由度（沉浮、橫移、點頭、搖頭、側(cè)滾），整車一共35 個自由度。

圖1 中低速磁浮車—軌道—橋梁耦合動力學(xué)模型

車體垂向運動zc、橫向運動yc、點頭運動φc、搖頭 運 動ψc、側(cè) 滾 運 動θc微 分 方 程 分 別 為 式（1）～式（5）：

第i個轉(zhuǎn)向架單側(cè)懸浮塊的垂向運動zb、橫向運 動yb、點 頭 運 動φb、搖 頭 運 動ψb、側(cè) 滾 運 動θb運動微分方程分別為式（6）～式（10）：

式 中：mc為 車 體 質(zhì) 量；Icx、Icy、Icz分 別 為 車 體 側(cè) 滾、點頭、搖頭轉(zhuǎn)動慣量；mb為轉(zhuǎn)向架懸浮模塊質(zhì)量；Ibx、Iby、Ibz分別為轉(zhuǎn)向架懸浮模塊側(cè)滾、點頭、搖頭轉(zhuǎn)動慣量；Fszl(r)ij、Fsyl(r)ij分別為二系懸掛垂向力、橫向 力；Fpzl(r)ij、Fpyl(r)ij分 別 電 磁 垂 向 力、橫 向 力；Frzij、Fryij分別為單個轉(zhuǎn)向架防側(cè)滾梁鉸點垂向力、橫向力；Kθ是電磁鐵側(cè)滾剛度。其他參數(shù)為車輛的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1.2 高架橋梁模型

磁懸浮軌道高架橋梁通常采用混凝土簡支梁結(jié)構(gòu)，先在工廠制造出單跨梁，然后現(xiàn)場組裝或者焊接成連續(xù)梁。高架橋梁高跨比和寬跨比通常都很小，從材料力學(xué)角度考慮都?xì)w結(jié)為細(xì)長梁，在低頻振動時候完全可忽略其剪切變形和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量。因此，高架橋梁完全可采用Bernoulli-Euler 簡支梁模型來描述。磁浮高架橋梁的微分方程為式（11）、式（12）：

式中：EI為梁的垂向抗彎剛度；c為梁的阻尼；ms為梁的線密度；fi(t)為外力；ym、ygi分別為梁上作用點位移及其轉(zhuǎn)向架上對應(yīng)點的位移；φn(x)為梁的n階 模 態(tài) 函 數(shù)；qn(t)為n階 模 態(tài) 廣 義 幅 值；kb、cb分別為磁隙剛度、阻尼。

1.3 磁浮系統(tǒng)懸浮控制模型

根據(jù)電磁學(xué)理論，在不考慮磁阻和漏磁情況下，單個模塊懸浮電磁鐵系統(tǒng)的耦合方程組為式（13）～式（15），式（13）～式（15）分別是力學(xué)、電學(xué)和關(guān)聯(lián)方程。

式中：mb為電磁鐵懸浮質(zhì)量；Fmb為電磁力；Fp為外部干擾力；u、i為電磁鐵電壓、電流；N為線圈匝數(shù)；R0為線圈電阻；A為磁鐵有效磁極面積；δ為懸浮間隙；μ0為真空磁導(dǎo)率；zb為電磁鐵垂向位移。

中低速磁浮列車一般兩級串聯(lián)懸浮控制系統(tǒng)，其控制電壓來自懸浮塊兩端的傳感器。假定電磁與控制電路處于理想狀態(tài)，則懸浮電磁鐵PID控制的數(shù)學(xué)模型為式（16）：

式中：kp、kd、ki分別為懸浮間隙比例、微分和積分反饋控制系數(shù)；Δδczij、δ˙czij分別為懸浮間隙和間隙導(dǎo)數(shù)控制信號。

2 振動信號非線性度計算方法

根據(jù)線性代數(shù)理論，線性系統(tǒng)是一個狀態(tài)量和輸出量對所有輸入量、初始狀態(tài)都能滿足疊加、放大原理的系統(tǒng)。該準(zhǔn)則依賴系統(tǒng)的初始條件和載荷情況，這種系統(tǒng)現(xiàn)實中很少存在，這是因為現(xiàn)實中的系統(tǒng)比理想要復(fù)雜得多，輸入輸出量很難量化。Huang［15］提出了基于振動信號的波內(nèi)調(diào)制現(xiàn)象來量化信號的非線性程度，即式（17）：

式中：std 表示求標(biāo)準(zhǔn)差；IF(t)為瞬時頻率；IFzc(t)為過零點頻率；Azc(t)為零點頻率對應(yīng)的幅值。瞬時頻率的計算通常采用正交化Hilbert 變換或者DQ 變換［16］。文中采用DQ 變換方法。

3 磁浮車振動響應(yīng)非線性度分析

假定磁浮列車運行在直線高架橋梁軌道上，列車運行速度v為100 km/h；車體質(zhì)量12 000 kg；車體側(cè)滾、點頭、搖頭轉(zhuǎn)動慣量Icx=2 500 kg·m2、Icy=150 000 kg·m2、Icz=150 000 kg·m2；模 塊 質(zhì) 量1 000 kg；模塊側(cè)滾、點頭、搖頭轉(zhuǎn)動慣量分別為Ibx=100 kg·m2、Iby=1 200 kg·m2、Ibz=1 200 kg·m2；二系懸掛垂向、橫向剛度分別為120 000 N·m、25 000 N·m；二系阻尼分別為60 000 N·s/m、40 000 N·s/m；抗側(cè)滾梁垂向、橫向剛度分別為10 000 N·m、1 000 N·m；橋梁設(shè)定為12 跨，總長288 m。橋梁單跨24 m；抗彎剛度EI=2.456×1010N·m2；線密度m=3 755 kg/m。

磁浮線路的周期性不平順表示為式（18）：

式中：z0=Az為不平順幅值；λz為波長。仿真分析中，設(shè)定軌道不平順波長為24 m，幅值為2 mm。

懸浮電磁鐵長度840 mm，磁極寬度28 mm，線圈匝數(shù)為320，磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7，名義懸浮間隙10 mm，等效輸出電阻1 Ω。電磁鐵側(cè)滾剛度Kθ= 4×105N·m/rad。每個電磁鐵上集中力數(shù)量為4。懸浮系統(tǒng)采用PID 控制方式，反饋控制系數(shù)kp、kd、ki取 值 范 圍 分 別 為3 000～50 000、200～1 000、0.1～20。磁浮車輛—高架橋耦合系統(tǒng)動力學(xué)問題可采用中心差分法和龍格庫塔法求解，但求解速度較慢，文中采用翟婉明院士提出的一種快速顯式積分法［17］。

在設(shè)定參數(shù)下，磁浮車典型的動力學(xué)響應(yīng)計算結(jié)果如圖2 所示。圖中實線是懸浮模塊的振動加速度，虛線是車體的振動加速度?？梢钥闯?，懸浮模塊振動加速度大于車體，兩者均為1 個低頻振蕩承載著在載波上下波動的高頻振蕩，振動信號具有顯著的非線性特征。

對圖2 的振動加速度進(jìn)行經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解得到本征模態(tài)函數(shù)，然后求瞬時頻率IF(t)和過零點頻率IFzc(t)（幅值A(chǔ)zc(t)），運用式（17）計算振動信號的非線性度DN。磁浮列車在典型PID 控制方式下，控制參數(shù)對車輛振動非線性度的影響如下。

圖2 車體與懸浮模塊垂向振動加速度

3.1 控制參數(shù)kp 對振動非線性度的影響

懸浮控制參數(shù)kp是比例反饋系數(shù)，成比例地反映控制系統(tǒng)懸浮間隙的偏差信號Δδczij，偏差一旦產(chǎn)生，立即產(chǎn)生控制作用以減小偏差。由偏差理論知，增大kp雖然可以減小偏差，但不能徹底消除偏差。比例控制系數(shù)kp作用的大小除與偏差Δδczij有關(guān)之外，還取決于比例系數(shù)kp的大小。比例系數(shù)kp越小，控制作用越小，系統(tǒng)響應(yīng)越慢；反之，比例系數(shù)kp越大，控制作用也越強，則系統(tǒng)響應(yīng)越快。當(dāng)kp在3 000～50 000 范圍內(nèi)，磁浮車車體、懸浮模塊的垂向振動響應(yīng)的非線性度隨參數(shù)變化情況如圖3、圖4 所示。當(dāng)kp=3 000 時，車體振動DN最大值0.32，非線性程度很大；當(dāng)kp＞30 000 時，DN減 小 到0.1 以 下，非 線 性 程 度 大幅度減小。總體上，車體、懸浮塊垂向振動非線性度DN隨kp增 大 而 減 小，且 當(dāng)3 000＜kp＜10 000，DN下降幅度比kp＞10 000 時大。因此，合理范圍內(nèi)增大比例系數(shù)kp，不僅可以增強控制作用，加快系統(tǒng)響應(yīng)，而且可以降低振動響應(yīng)的非線性程度。

圖3 kp 對車體垂向振動非線性度DN 影響

圖4 kp 對模塊垂向振動非線性度DN 影響

3.2 控制系數(shù)kd 對振動非線性度的影響

磁浮PID 控制系統(tǒng)微分環(huán)節(jié)的作用是反映磁浮間隙偏差信號的變化速率δ˙czij，并在間隙偏差信號Δδczij變得太大之前引入1 個有效的修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度。微分輸出只與偏差的變化速度δ˙czij有關(guān)，而與磁浮間隙偏差Δδczij的大小以及偏差是否存在無關(guān)。如果磁浮間隙偏差Δδczij為固定值，不管多大，只要不變化，則輸出的變化一定為0，磁浮控制器沒有任何控制作用。合理的微分控制系數(shù)kd有助于克服振蕩，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。設(shè)定kp和ki為固定值（設(shè)定kp=7 000，ki=10），分析kd對振動非線性度的影響。當(dāng)kd在200～1 000 范圍內(nèi)，磁浮車車體、懸浮模塊的垂向振動響應(yīng)的非線性度隨參數(shù)變化情況如圖5 所示。當(dāng)kd=200，模塊、車體振動DN最大值分別為0.26、0.20，具 有 較 大 非 線 性 度；當(dāng)kd=1 000，模塊、車體振動DN分別減小到0.08、0.07，非線性程度大幅度減小。總體上，車體、懸浮塊垂向振動非線性度DN隨kd增大而迅速減小。

圖5 kd 對車體與模塊垂向振動非線性度DN 影響

3.3 控制系數(shù)ki 對振動非線性度的影響

磁浮PID 控制系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)中，控制器的輸出與輸入誤差信號Δδczij的積分成正比關(guān)系。積分控制作用的存在與偏差Δδczij的存在時間有關(guān)，只要磁浮間隙存在著偏差，積分環(huán)節(jié)就會不斷起作用，對輸入偏差Δδczij進(jìn)行積分，使控制器的輸出和執(zhí)行器的開度不斷變化，產(chǎn)生控制作用以減小懸浮間隙偏差。當(dāng)積分控制系數(shù)ki在0.1～20 范圍內(nèi)，磁懸浮模塊的垂向振動響應(yīng)的非線性度隨參數(shù)變化情況如圖6 所示。當(dāng)ki=0.1，模塊振動DN最大值為0.309，具有較大非線性度；當(dāng)ki=20，模塊振動DN最小為0.302，非線性程度幾乎沒有變化。計算結(jié)果表明：積分控制系數(shù)ki對車體、懸浮塊垂向振動非線性度DN幾乎沒有影響，系統(tǒng)振動響應(yīng)的非線性程度并不會隨著ki增加而明顯減小。

圖6 ki 對車體與模塊垂向振動響應(yīng)非線性度DN 影響

4 結(jié) 論

根據(jù)磁浮列車車輛—軌道—橋梁耦合動力學(xué)理論建立典型的中低速磁浮列車模型，計算不同控制參數(shù)下車輛系統(tǒng)的振動響應(yīng)，并將非線性度指標(biāo)計算方法引入仿真數(shù)據(jù)的分析中，研究磁浮控制系統(tǒng)參數(shù)對車輛振動信號非線性度的影響規(guī)律。通過仿真分析得到如下結(jié)論：

磁浮列車PID 控制系統(tǒng)的比例反饋系數(shù)kp和微分反饋系數(shù)kd對車輛系統(tǒng)振動響應(yīng)非線性度DN有很大影響。kp、kd較小時，車體、懸浮塊振動信號具有很強的非線性特征，但非線性度隨kp、kd增大而迅速減小。積分反饋系數(shù)ki對車體、懸浮塊振動非線性度影響很小，幾乎不會改變磁浮車輛動力學(xué)系統(tǒng)的強非線性特征。從降低振動非線性度方面考慮，可給出一組優(yōu)化的控制參數(shù)：kp=10 000，kd=1 000，ki=10。