構建幾何模型秒殺中點問題

李英豪

線段中點是幾何圖形中的一個重要且特殊的點，是構成一些常見幾何模型的核心要素. 下面就與中點用法相關的四個常見幾何模型展開說明.

一、模型簡介

模型1：中點 + 等腰模型

模型特征：如圖1，△ABC中，AB = AC，點D為BC邊的中點.

聯想方向：等腰三角形“三線合一”

例1 如圖2，在△ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，M為BC的中點，MN⊥AC，垂足為N. 求MN的長.

解析：根據模型1可以得出∠AMC = 90°，再根據勾股定理求出AM，最后利用等積法MN·AC = AM·CM求解即可.

模型2：中點 + 直角模型

模型特征：如圖3，△ABC中，∠ACB = 90°，點D為AB邊的中點.

聯想方向：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

例2 如圖4，在△ABC中，∠ACB = 90°，點E為AB邊的中點，D是BC延長線上一點，連接DE，CE，若∠B = 2∠D，AB = 4. 求CD的長.

解析：根據模型2可以得出CE = BE，從而得出∠B = ∠ECB，進而得出∠D = ∠DEC，得CD = CE.

模型3：中點 + 中點模型

模型特征：如圖5，△ABC中，點D，E分別為AB，AC邊的中點.

聯想方向：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.

例3 如圖6，在△ABC中，點D，E分別為AB，AC邊的中點，CD與BE相交于點H，點F，G分別為BH，CH的中點，連接DF，EG，AH. 求證：DF = GE.

解析：根據模型3可以得出DF = [12]AH，EG = [12]AH.

模型4：中點 + 平行模型

模型特征：如圖7，AD與BC相交于點O，且O為BC的中點，AB∥CD.

聯想方向：△ABO≌△DCO.

例4 如圖8，AD為△ABC的高，且AD = BD，在AD上截取DG，使DG = DC，F為BC的中點，點E為FG延長線上一點，且EC = AC. 求證：∠E = ∠BGF.

解析：如圖8，根據模型4，過點C作CH[?]BG，交GF的延長線于點H，從而得出△BFG≌△CFH，將∠BGF轉換為∠H，BG轉換成CH，通過△BDG≌△ADC將BG轉換為AC，再結合已知條件AC = EC可以得出CH = CE，進而證出∠E = ∠H，最后等量代換得出∠E = ∠BGF.

二、模型構建

例5 如圖9，AD為△ABC的中線，點E為線段AD的中點，連接BE并延長交AC于點F，求證：FC = 2AF.

解析：添加輔助線，構建中點模型示例如下：

方法一：如圖10，取BF中點G，連接DG. 內含“中點 + 中點”和“中點 + 平行”模型.

方法二：如圖11，過C作CG[?]BE，交AD的延長線于G. 內含“中點 + 平行”模型和“A”型相似模型.

方法三：如圖12，過A作AG[?]BC，交BF的延長線于G. 內含“中點 + 平行”模型和“X”型相似模型.

[A][F][C][B][D][E][圖10] [G] [A][F][C][B][D][E][圖11] [G] [A][F][C][B][D][E][圖12][G]

方法四：如圖13，取CD中點G，連接EG. 內含“中點 + 中點”模型和“A”型相似模型.

方法五：如圖14，取FC中點G，連接DG. 內含“中點 + 中點”模型和“A”型相似模型.

方法六：如圖15，取BD中點G，連接GE并延長交AC于H. 內含“中點 + 中點”模型和“A”型相似模型.

例6 如圖16，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中AC = BC，AD = AE，∠ACB = ∠DAE? = 90°，點D在邊AB上，點F是BD的中點，連接BE，CF. 求證：BE = 2CF

解析：添加輔助線，構建中點模型示例如下：

方法一：如圖17，取BE中點G，AB中點H，連接CH，HG. 內含“中點 + 中點”、“中點 + 等腰”和“中點 + 直角”模型.

方法二：如圖18，取DE中點N，AD中點G，AB中點H，連接CH，GN，FN. 內含“中點 + 中點”、“中點 + 等腰”和“中點 + 直角”模型.

方法三：如圖19，取AB中點G，連接CG. 內含“中點 + 等腰”和“中點 + 直角”模型.

三、模型應用

例7 如圖20，在等腰三角形ABC中，BC = AC，∠ACB = 90°，在等腰三角形ABD中，AB = BD，∠ABD = 30°，E為AD邊的中點，連接CE，求證：CE = [12]AB.

方法解析：考慮到BC = AC，如果取AB的中點F，連接EF，CF，這樣就可以同時出現“中點 + 等腰”、“中點 + 直角”和“中點 + 中點”三個模型，一個中點F將題中眾多的已知條件聯系在了一起. 根據“中點 + 中點”模型可得EF = [12]BD = [12]AB，EF[?]BD. 根據“中點 + 等腰”模型可得∠AFC = 90°，結合∠ABD = 30°的條件可得∠EFC = 60°. 根據“中點 + 直角”模型可得CF = [12]AB = EF，從而得出△CFE為等邊三角形即可證出CE = CF = [12]AB.

（作者單位：遼寧省葫蘆島市教師進修學院附屬中學）