非線性優化的航空電源交流畸變系數算法研究

(1.上海飛機設計研究院 民用飛機模擬飛行國家重點試驗室,上海 201210； 2.西安理工大學，陜西 西安 710048)

航空用單相或三相交流電源是重要的機載電源，其額定輸出頻率為400 Hz，輸出相電壓為115 V。交流畸變會降低電源供電質量，影響用電設備性能指標。因此，國軍標(GJB 181B—2012、GJB 5189—2003)[1-2]和航天行業標準(QJ 3233—2005)[3]等均提出，需要對航空交流電源的交流電壓畸變系數進行檢測。

國軍標GJB 5189—2003[2]對交流電壓畸變系數檢測方法進行了說明，其核心在于計算求出采樣數據和交流電壓基波信號的誤差平方和。但是，國軍標GJB 5189—2003[2]并未明確說明交流電壓基波分量的檢測計算方法。怎樣從交流電壓采樣信號中獲取基波分量，成為交流畸變系數檢測的主要難點。

交流電壓基波分量包含了幅值、頻率和相位3個參數。航空用三相交流電源的電壓幅值約為162 V(115 Vrms)；頻率固定為400 Hz，但實際頻率通常存在小幅變化；相位則由采樣起始時間決定。基波分量的檢測在電力系統中具有重要價值，在電力計量、配電自動化遠方終端、繼電保護和故障錄波等電力自動化裝置中廣泛應用。電力系統中，通常先通過硬件濾波消除或抑制高次諧波，獲得交流基波分量，之后采用硬件或軟件方法檢測幅值、頻率和相位。硬件濾波通常采用無源或有源低通濾波器，例如，楊菊[4]提出了一種基于自適應陷波器、瞬時對稱分量算法和滯環電流控制方式的飛機交流電源有源濾波器，通過硬件補償諧波方式獲得交流信號基波分量。針對基波分量檢測幅值頻率和相位，常用的方式包括硬件法和軟件方法。硬件方法通過過零比較器、方波形成電路和計數器等，利用周期或頻率測量法實現測頻[4-5]，或通過鎖相倍頻電路在線跟蹤系統頻率[6-7]；軟件方法則通過傅里葉變換法[8-11]或數字濾波器[12-13]測量頻率，或在頻率已知條件下測量幅值和相位[14]。

由于本系統旨在檢測電壓信號交流畸變，因此無法使用對原始信號硬件濾波后求解基波分量的方案。采用鎖相環或傅里葉變換方法等，通常只能對幅值頻率相位中的一個或兩個參數進行檢測，其他參數則需要固定。實際航空電源檢測中，幅值、頻率和相位均受到交流畸變影響，需要同時加以檢測。為此，研究并提出一種基于非線性優化的基波分量擬合計算方法，用于從交流電壓采樣信號中準確提取基波分量，從而實現交流畸變系數的準確檢測。

首先將交流基波分量的計算，轉換為一個同時包含頻率、相位和幅值的非線性優化問題。該問題旨在通過非線性擬合方法，從原始采樣數據中擬合出交流基波分量。之后，基于多維單純形下降法(Nelder-Mead method)[15-16]，構造數值優化求解算法，同步優化頻率、相位和幅值，使交流基波分量與采樣數據的誤差平方和最小，從而擬合出接近真值的交流基波分量。在此基礎上計算交流畸變系數。通過數值試驗，驗證了該方法的有效性。最后，將該算法應用于某最新研制的大功率航空電源檢測系統中，獲得了良好的檢測效果。

所設計算法無需對采樣信號事先進行濾波提取基波，也無需假設頻率已知等預設條件，因而能夠在不增加硬件復雜程度的基礎上，更為準確地獲取基波分量，進而更為精確地計算出交流畸變系數。該方法改進了交流基波分量和交流畸變系數檢測方法，具有理論和實踐應用價值。

1 交流畸變系數檢測原理

根據國軍標GJB 5189—2003[2]要求，交流畸變系數是交流畸變與電壓基波分量方均根之比，具體檢測方法如下。

首先按照一定采樣頻率(100 kHz以上)對待測交流電源輸出電壓進行連續采樣(采樣值記為ui)，采樣時間不小于1 s。之后，按照式(1)計算交流畸變值：

(1)

式中：UJJ為交流畸變電壓，單位為V；Tw為小于并最接近1 s期間整數個電壓周波所對應的時間，單位為s；Δt為采樣周期，單位為s；uJJi為采樣時刻交流畸變電壓瞬時值，單位為V，計算方式如下：

uJJi=ui-u1i

(2)

式中：ui為被測交流電源在采樣時刻的輸出電壓瞬時值，單位為V；u1i為被測交流電源在采樣時刻的輸出電壓基波分量瞬時值，單位為V。

由交流畸變電壓計算交流畸變系數：

(3)

式中：KJJ為交流畸變系數；U1為基波分量方均根值(即有效值)，單位為V。

盡管國標GJB 5189—2003[2]說明了交流畸變系數檢測的方法，但并沒有具體說明式(1)和式(2)中交流基波分量的計算方法。怎樣從交流電壓采樣信號中獲取基波分量，成為交流畸變系數檢測的主要難點。

2 交流基波分量擬合問題

交流畸變檢測系統中，通常采用高速ADC對被測交流信號進行高速采樣，其采樣率通常在交流信號固有頻率10倍以上。假設按照固定采樣率，在一定時間內對待測交流信號進行采樣，采樣電壓信號記作ui，共獲得n個采樣值，采樣周期為Δt。定義第i個采樣時刻，交流基波分量信號真實值為

u1i(A,f,θ)=Asin(2πfiΔt+θ)

(4)

式中：A為交流基波分量信號幅值;f為交流基波分量頻率;θ為交流基波分量信號相位。

交流采樣信號與交流基波信號之間存在誤差，該誤差一方面由采樣時的噪音產生，另一方面由交流畸變產生。定義誤差函數如式(5)所示:

(5)

正常情況下，畸變電壓僅占電源輸出電壓的一小部分，基波分量應當接近于原始采樣波形。因此，如果能夠找出一組使得E最小化的參數(f,A,θ)，該組參數所對應的正弦波應當最接近于真實基波分量。基于這一思想，可以將從采樣數據中提取交流基波分量的問題轉換為式(6)所示的非線性連續優化問題：

(6)

3 求解交流基波分量及交流畸變系數

式(6)所示問題可以采取多種非線性連續優化算法加以求解。基于梯度信息的優化方法較為常用，如梯度下降法、擬牛頓法[15]等。這類方法通常優化效率較高，但是需要在計算中對誤差函數求梯度場，計算相對煩瑣。由于畸變系數檢測對計算效率沒有要求，因此采取運算速度相對較慢，但計算精度和魯棒性較高的多維單純形下降法[15-16]求解。

多維單純形下降法是一種不依賴于梯度信息的非線性優化算法，其基本思路是在N維空間中，構造一個非退化的初始單純形，然后通過一系列的幾何操作，如反射、擴展、收縮等，逐步往極值點移動該單純形，從而最終找到極值點。以下簡要說明基于多維單純形下降法求解式(6)所示問題的過程。

首先需要計算基波分量幅值、頻率和相位的初始值(f0,A0,θ0)，以便從初始值出發，構造初始單純形。盡管從理論來說，從任意一個初始解出發，都應當能夠收斂到最優解，但如果初始解接近于最優解，則能夠大幅降低迭代計算時間。

初始解的頻率采用被測電源的額定輸出頻率，或者按照式(7)計算：

(7)

式中：m為采樣數據中的過零點數量。

初始解的幅值為

(8)

初始解的相位則由采樣點中第1個正向過零點計算：

θ0=2πf0i0Δt

(9)

式中：i0為采樣信號中第1個正向過零點的序號。

獲得基波分量初始解后，構造初始單純形。由于式(6)中包含3個待優化變量，因此初始單純形包含4個端點，構成一個多面體。每個端點均為一個解，分別為x1=(f0,A0,θ0)，x2=(1.1f0,A0,θ0)，x3=(f0,1.1A0,θ0),x4=(f0,A0,θ0+0.1π)。由初始單純形出發，依據下面的算法計算交流基波分量。

算法:基于單純形計算交流基波分量。

① 將x1、x2、x3、x4代入式(5)，計算相應的誤差值E(x1)、E(x2)、E(x3)、E(x4)。對解重新排序，使得E(x1)≤E(x2)≤E(x3)≤E(x4)。

② 計算最差解x4以外其余各點的中心點：

(10)

計算x4相對于的對稱點：

(11)

式中：t為實數。

③ 令t=1，基于式(11)計算對稱點,以及誤差，考慮以下情況：

④ 令x2、x3、x4朝向x1收縮，即：

(12)

如圖1(e)所示，進入步驟⑤。

⑤ 如果|E(x4)-E(x1)|<(其中為計算精度閾值)，則停止迭代計算，將x1中的頻率f、幅值A和相位θ作為式(6)優化問題的解，記做(f*,A*,θ*)；否則，重復步驟①。

基于上面的算法完成對交流基波分量的計算后，將計算所得(f*,A*,θ*)代入式(4)，即可獲得每個采樣時刻交流基波分量電壓值u1i。將交流基波分量代入式(1)～式(3)，即可計算出交流畸變和畸變系數。

4 算法測試

采用數值仿真對論文所設計交流基波分量計算算法加以測試。生成一條交流電壓曲線，頻率f=400 Hz，電壓Vrms=115 V，初始相位θ在測試中采取不同值。采樣頻率為fs=200 kHz，連續采樣1 s。在每個采樣點上，隨機疊加一定的白噪音，噪音幅值范圍為[-e,e]，在測試中選擇不同幅值。使用論文所設計算法從包含噪音的電壓曲線中計算出基波分量，進而計算出交流畸變系數，并與準確的交流畸變系數加以對比，按照式(13)計算誤差:

式中：KJJ為計算所得交流畸變系數;為實際交流畸變系數。

由于每次疊加噪音均為隨機產生，為了準確評價算法準確性，在不同噪音范圍和初始相位條件下對算法進行20次重復檢測，并將平均計算誤差和最大計算誤差顯示在表1中(在所有測試中，最小計算誤差均小于0.01%，因此不在表1中予以顯示)。可以看出，采用本方法計算所得交流畸變系數與實際值高度一致，滿足交流畸變檢測要求。

5 算法應用

筆者為某單位設計制造了一套航空電源檢測系統，用于對航空交流、直流電源進行檢測與校準，如圖2所示。

該系統的基本結構框圖如圖3所示，外部工頻電源經調壓變壓器變壓后，向被測機載電源供電(為檢測被測電源的電源特性，輸入電壓需要在一定范圍內由調壓變壓器改變，實際電壓值由電壓表V1檢測)。被測機載電源輸出至電子負載，由電子負載提供必要的交流負載。被測電源的輸出電壓、電流通過功率分析儀進行高速采樣。本系統采用致遠電子PA-6000H型功率分析儀，用于對交流電源輸出電壓、電流進行高速采樣，采樣速率為200 kHz，采樣分辨率為16位。功率分析儀內置計算模塊可滿足常規檢測項目需求，可進行電源穩態電壓、電流、頻率等的檢測，但缺乏交流畸變系數檢測功能。因此，功率分析儀通過以太網將采樣數據上傳至上位計算機，由計算機基于論文所設計算法，對電壓波形數據計算交流畸變系數。

圖4顯示了功率分析儀對某電源進行采樣獲得的原始電壓波形(連續采樣1 s，圖中僅顯示起始兩個周期內的電壓波形，紅色曲線)。通過第3節的算法，從采樣數據中獲得交流基波分量，同時顯示在圖4中(綠色曲線)。交流電源額定輸出頻率400 Hz，額定有效值115 V。試驗中，電源輸出實測有效值為114.68 V。由采樣信號提取出交流基波分量頻率為400.001 Hz，有效值為114.61 V。由圖4可以看出，計算所得交流基波分量與原始電壓波形高度接近，同時準確反映了實測電壓波形中的畸變部分。將基波分量代入式(1)～式(4)，計算得到交流畸變系數為0.037，該被測電源滿足國軍標GJB181B—2012[1]對于交流畸變系數的要求。

6 結束語

交流畸變系數是航空電源性能指標中的重要項目之一，筆者對該系數的計算進行了研究，提出了一種基于非線性優化方法，從原始采樣波形中提取基波分量，進而計算交流畸變和畸變系數的方法。該方法已在某大功率電源檢測系統中得到應用，取得良好的檢測效果。