一類新的曲率積分不等式*

馬磊，羅慶仙，徐鎮(zhèn)猛

(廣東茂名幼兒師范專科學校 理學院, 廣東 茂名 525200)

1 文獻綜述及問題的提出

19世紀, 出于對部分物理現象和實際問題研究的需要, 幾何學家們研究了曲線或曲面受不同外力的影響時曲率函數發(fā)展的相關問題。尤其, 針對沿曲線法線方向且以主曲率函數為速度的曲線的發(fā)展問題已引起了廣泛的關注.Gage[1]在研究平面上一類保面積的曲率流的發(fā)展問題時, 得到了一個涉及平面凸曲線的曲率積分的不等式 (1)。目前，一般稱此不等式為Gage等周不等式[2],具體表述如下；設?K：(I→R2)為平面上邊界光滑的緊致閉凸集K的邊界曲線, 其曲率為κ, 面積及周長分別為A,L,則

(1)

20世紀,Green 與 Osher在[2]中推廣了Gage的結果 (1),得到了一般形式的結果,其表達式形如

(2)

即曲率的冪積分的下界可以由曲線所圍成的面積與其長度作為參數來估計.特別地,不等式 (2) 中n=2時,即為著名的Gage等周不等式；n=3，4時，其表達式分別為

這類不等式的新證明及推廣參見文獻[4,5,6,7,8],相關的應用參見文獻[9,10,11]。

本文利用文獻[12]中的分析形式的仿射等周不等式, 得到了一類分析形式的積分不等式并給出了其等號成立的條件。應用這類積分不等式應用我們得到了一類關于凹函數的曲率積分不等式, 這類曲率積分不等式的特殊形式為著名的曲率熵不等式(3)[3,8]與部分曲率的冪積分上界估計的不等式 (4)。

曲率熵不等式具體表述如下：設K為R2中邊界為C2光滑的緊致閉凸集,則K的面積A,邊界曲線?K的相對曲率k滿足不等式

(3)

當且僅當?K為圓時等號成立。

(4)

等號成立當且僅當?K為圓。

2 預備知識

在平面幾何中, 關于支撐函數的理論部分可以參見經典的著作[14-16]。

平面R2中的直線G可以由垂直于G的方向與x軸的正方向的夾角θ以及原點到直線G的距離p=p(θ)決定.并且滿足方程xcosθ+ysinθ-p(θ)=0.

(5)

當p=p(θ)隨θ變化時,方程(5)為一族直線的方程, 且p=p(θ)是以2π為周期的連續(xù)函數。對直線族方程(5)兩邊同時關于θ求導可得

(6)

由方程 (5) 與 (6) 可得直線族的參數方程

x=-pcosθ+p′sinθ，y=-psinθ-p′cosθ.

(7)

如果直線族為緊致凸集K的邊界?K的包絡, 則稱p=p(θ)為凸集K的支撐函數(或凸曲線?K的支撐函數)。

假設p=p(θ)是C2(二階連續(xù)可微) 函數, 凸曲線?K的弧長微元為ds,則由 (7) 可知,

(8)

眾所周知,以2π為周期的函數p=p(θ)為凸集K的支撐函數(或凸曲線?K的支撐函數)的充要條件為ρ=p+p″>0(參見[14,15])。另外,當且僅當ρ為某一正常數時K的邊界曲線?K為圓,即當且僅當存在常數a,b,c使得p(θ)=acosθ+bsinθ+c時,K的邊界曲線?K為圓。若凸集K的支撐函數(或凸曲線?K的支撐函數)是C2函數, 則凸集K的邊界(凸曲線?K)的相對曲率, 周長及其面積可分別為(參見[14,15,16])

(9)

(10)

(11)

3 定理及其證明

下面的結論(引理1)為仿射微分幾何中分析形式的仿射等周不等式(參見[12]), 對證明本文的結論起著關鍵性的作用。

引理1設K為R2中邊界為C2光滑的緊致閉凸集, 其支撐函數為p(θ), 則

(12)

定理1 設K為R2中邊界為C2光滑的緊致閉凸集, 其支撐函數為p(θ),φ(t)為(0，+∞)上單調遞增的凹函數,則

(13)

當且僅當存在常數a,b,c使得p(θ)=acosθ+bsinθ+c時等號成立。

證明由于K是R2中邊界為C2光滑的緊致閉凸集, 所以K的邊界曲線?K的相對曲率κ大于0(參見[14],[15]). 由 (9) 式可知p+p″>0.

因此, 當p+p″為某個固定的正常數c時, 則存在常數a,b使得

p(θ)=acosθ+bsinθ+c，

且此時

(14)

(15)

所以,

(16)

由于φ(t)為(0，+∞)上的凹函數, 根據Jensen不等式可知

(17)

等號成立當且僅當p+p″為常數。

因此, 當p+p″不是常值函數時, 根據Jensen不等式等號成立的條件可知, 不等式 (17) 無法取到等號. 故當p+p″為不是常數c時,

(18)

又因φ(t)為(0，+∞)上的增函數, 由不等式(12)可知

(19)

所以

綜上可知，不等式(13)成立且當且僅當存在常數a,b,c使得p(θ)=acosθ+bsinθ+c時等號成立。

定理2'設K為R2中邊界為C2光滑的緊致閉凸集,其面積A與邊界曲線?K的相對曲率κ，φ(t)為(0,+∞)上單調遞增的凹函數, 則

(20)

當且僅當?K為圓時等號成立。

(21)

根據(11)式可得

(22)

由等式 (21), (22) , 結合定理1中的不等式 (13) 可知不等式 (20) 式成立, 且當且僅當?Κ為圓時等號成立。

推論1 設K為R2中邊界為C2光滑的緊致閉凸集，它的面積A與邊界曲線?K的相對曲率κ滿足不等式

(23)

當且僅當?K為圓時等號成立。

(24)

當且僅當?Κ為圓時等號成立。

4 結語

本文利用分析形式的仿射等周不等式, 得到了一類新的積分不等式并給出了其等號成立的條件。作為這類積分不等式的直接應用, 得到了一類關于凹函數的曲率積分不等式, 這類曲率積分不等式的特殊形式為曲率熵不等式與一些特殊情況下曲率的冪積分上界估計的不等式。這種用分析的方法研究幾何不等式的手段, 豐富了分析與幾何的聯系, 為研究曲率的冪積分的上下界估計提供了一種新的思路。