廣義HEISENBERG-GREINER p-退化橢圓算子的兩類含權Hardy不等式

王勝軍，韓亞洲

1.青海師范大學 數學與統計學院，西寧 810008；2.中國計量大學 理學院，杭州 310018

(1)

(2)

(3)

而且當2≤p

本文使用類似于文獻[9]中的方法，利用散度定理，引入一類性質恰當的向量場，結合逼近的思想，推廣了(1)，(2)和(3)式，得到了廣義Heisenberg-Greinerp-退化橢圓算子的兩類含權Hardy不等式，進一步給出了最佳常數的證明．

1 預備知識

廣義Heisenberg-Greinerp-退化橢圓算子為一類具有高奇性的平方和退化橢圓算子[10]，被更多的學者所關注，并得到了許多重要的成果[11-12]．其構成向量場(見下文)Xj，Yj(j=1，2，…，n)在k>1時不滿足H?rmander有限秩條件，從而它的亞橢圓性無法由此導出，增加了研究的難度[13-14]．以下給出廣義Heisenberg-Greinerp-退化橢圓算子的基本知識．

廣義Heisenberg-Greinerp-退化橢圓算子形為

Lpu=divL(|Lu|p-2Lu)

(4)

設ξ=(z，t)=(x，y，t)∈R2n+1，相應于(4)式中Lp的一個自然伸縮為

δτ(z，t)=(τz，τ2kt)τ>0

(5)

與伸縮(5)式相應的齊次維數是Q=2n+2k．由(5)式誘導的一個擬距離為

(6)

通過(6)式直接計算知道

(7)

另外，定義中心在{0}∈R2n+1，半徑為R的擬開球為BR(ξ)={ξ∈R2n+1|d(ξ)

下的完備化，其中：Ω?R2n+1，1

2 一類含權Hardy不等式

(8)

當p≠Q，有

(9)

(10)

(11)

當0∈Ω，(8)，(9)，(10)和(11)式中的常數是最佳的．

證由(7)式直接計算得到

divL(d-a+1|Ld|b-2Ld)=(Q-a)d-a|Ld|b

(12)

在Ω上，引入C1類向量場

divLH=divL(C|C|p-2d-(a-1)|Ld|b-2Ld)=p|C|pd-a|Ld|b

|H|=|C|p-1d-a+1|Ld|b-1

這樣就得到

(13)

也即

(14)

將(13)式代入(14)式的右邊，利用(7)式得到(8)式．

在(8)式中，取a=2p，b=p得到(9)式；在(8)式中，取a=p，b=0得到(10)式；在(8)式中，取a=0，b=-p得到(11)式．

以下分兩種情況證明(8)式中的常數是最佳的．

計算可以得到

從而有

進一步取ε→0，得到(8)式中的常數是最佳的，從而(9)，(10)式及(11)式中的常數也是最佳的．

2)若Ω?R2n+1，已知(8)式中的常數可表示為

由于(8)式在(5)式的伸縮δR下不變，所以對于R>0，有

Cinf(BR(ξ))=Cinf(B1(ξ))

因此，當BR(ξ)?Ω?R2n+1，有

|C|p=Cinf(R2n+1)≤Cinf(Ω)≤Cinf(BR(ξ))=Cinf(B1(ξ))

(15)

Cinf(BR(ξ))=Cinf(B1(ξ))

可得

Cinf(B1(ξ))≤Cinf(R2n+1)

結合(15)式，得到(8)式中的常數是最佳的，從而(9)，(10)及(11)式中的常數也是最佳的．

注1在(8)式中取Ω=R2n+1，a=p，b=p時，得到(1)式，且p的取值范圍較文獻[5]中結果寬泛．

注2在(8)式中取a=p，b=p時，得到(2)式．

3 一類帶有余項的含權Hardy不等式

(16)

特別地，在(16)式中取a=b=0，有下列帶有余項的含權Hardy不等式

(17)

證為方便證明(16)式成立，首先令

從而當R足夠大時，在Ω上有Λ0>0，Λ1>0．

(18)

(19)

(20)

利用(18)，(19)及(20)式，得到

(21)

(22)

通過(21)，(22)式，得到

(23)

又由于

也即

(24)

將(23)式代入(24)式，利用(7)式，得到(16)式．

注1在(17)式中取k=1，α=p，β=p時，得到(3)式．