煤巖裂隙高位注漿漿液擴散規律

戚緒堯，王 濤，陳良舟

(1.中國礦業大學 煤礦瓦斯與火災防治教育部重點實驗室，江蘇 徐州 221116；2.中國礦業大學 安全工程學院，江蘇 徐州 221116)

煤炭在相當長時間內仍是我國能源結構的主要部分。深部煤炭資源開采及老舊采區復采是拓展煤炭資源、保障煤炭供應的有效途徑。隨著大規模高強度的回采和深部開采活動的進行，巷道頂板或再生頂板中頂部煤巖體在采動應力或沖擊地壓下易破裂產生裂隙，隨著裂隙的進一步擴展，易發生裂隙漏風及頂板失穩等風險，從而引發諸如頂板或再生頂板垮落、再生頂板遺煤自燃、高冒區遺煤自燃等重大安全問題。

鉆孔注漿是封堵裂隙和加固煤巖體的主要手段之一，漿液在裂隙通道內的流動特性是注漿施工設計的重要參考指標。由于裂隙注漿屬于強隱蔽性的過程，煤礦井下難以實時監測漿液的流體力學參數，現場注漿設計一般依據注漿理論。但注漿理論的發展滯后于現場需求，特別是針對上覆煤巖裂隙的高位注漿，由于應力消失后煤巖裂隙的擴散逐步停止，此時的煤巖裂隙屬于有界的裂隙空間?，F有注漿理論難以適用于有限裂隙空間內的高位注漿，導致現場注漿設計大多憑經驗設計，具有較大的盲目性，因此開展煤巖裂隙高位注漿模型研究具有重要的工程意義。

國內外學者主要從理論模型、模型實驗和數值模擬方面對裂隙巖體內注漿漿液流動規律進行了大量研究。在理論模型方面，由于裂隙網絡分布的復雜性，解析解主要集中于單裂隙的通道流和徑向流中?；跐櫥频募僭O，部分學者推導了不同流變特性流體在單裂隙中的流動解析解，如LI等推導了變密度聚合物漿液在平面裂縫中的徑向瞬態流動的解析式；MAJIDI等推導了屈服冪律流體在平板裂隙間的徑向流動理論解，并通過數學簡化，給出了近似解析式；ZOU等分析了Bingham流體徑向流動解析式，并從力平衡的角度推導了塞流區合理的表達式；MOHAMED等系統地推導了非線性牛頓流體在恒壓、恒流量和恒能量3種工況下的平板裂隙通道流和徑向流的解析式；王東亮等基于不同流體的本構方程及運動方程，推導了不同流型漿液的擴散方程。HU等建立了冪律流體在傾斜管狀裂隙中擴散的解析式，并分析了裂隙傾角等因素對漿液擴散距離的影響；裴啟濤等建立了恒速率注漿條件下反映漿液黏度時空變化的傾斜裂隙注漿擴散模型。李術才等建立了單一平板優勢劈裂注漿擴散模型，推導了考慮漿液流變特征的優勢劈裂注漿擴散控制方程。上述研究成果在一定程度上推動了注漿理論發展，但未考慮有限裂隙空間中裂隙邊界對漿液流動狀態的影響，限制了在煤巖體裂隙高位注漿施工設計中的應用。

模型試驗和數值模擬廣泛應用于理論模型驗證以及探究復雜流動。模型實驗中數據的獲取依賴于傳感器的鋪設，對復雜裂隙流動模型實驗難以獲取全局的流體力學參數。與模型實驗的局限性相比，數值模擬只需給出合理的本構模型、邊界條件和計算參數便可得到更精確的全局解，因此數值模擬逐漸成為探究裂隙注漿規律的重要手段。

綜上，現有裂隙注漿研究主要側重于無限延伸單裂隙內流動的解析解和裂隙網絡中的數值解，對高位注漿和裂隙側壁對漿液流動影響研究較少。筆者在分析高位注漿工藝和漿液流變特性的基礎上，建立了任意傾角下有限邊界裂隙注漿擴散數學模型，然后通過對數學模型進行數值計算探究了不同裂隙傾角和注漿速率下裂隙高位注漿中漿液的擴散形態、流量及壓力場變化規律?；跀抵涤嬎憬Y果，建立了漿液高位流動數學模型，給出了恒定注漿速率工況下的解析解，并對解析解的合理性進行了驗證，以期為煤礦井下煤巖裂隙災害治理過程中高位注漿工藝設計提供一定的理論參考。

1 煤巖裂隙高位注漿理論

1.1 注漿工藝

裂隙注漿工藝主要包括恒定流量注漿、恒定壓力注漿及恒定能量注漿，不同的注漿工藝對漿液在裂隙流動過程中流動規律影響顯著。井下通過注漿管將漿液泵送至裂隙煤巖體內部對裂隙空間進行填充，而頂部的煤巖裂隙體屬于易碎結構，在承受較大鉆孔壓力和注漿壓力時易發生垮塌。為避免過大的初始注漿壓力破壞煤巖裂隙結構，針對高位注漿時宜采用恒定流量注漿工藝。在恒定流量注漿工藝下，注漿壓力將會隨著漿液的擴散距離逐步增加，直至達到高位煤巖所能承受的最大壓力。因此，本文的模型推導和數值建模均采用恒定的注漿速率邊界條件。

1.2 漿液流變方程

井下煤巖裂隙的注漿介質以非牛頓流體為主，包括凝膠、泡沫、黃泥漿、水泥等及其幾種介質的混合物。由于非牛頓流體的流變性能在裂隙滲流過程中的變化是非線性的，為有效控制注漿介質的流動范圍，通常在注漿設計時通過改變注漿介質內材料的配比來調整介質的整體流變特性。本文以滿足Bingham流變模型的漿液作為研究對象，其流變模型可描述為

(1)

式中，為剪切應力，Pa；為屈服應力，Pa；為黏度，Pa·s；為流速，m/s；為垂直流體流動方向。

1.3 漿液流動方程

基于Bingham流體流變特性，以傾斜有限邊界的光滑平板裂隙為研究對象，則漿液在裂隙中流動的物理系統如圖1所示(其中，為裂隙開度，m；為塞流區高度的一半，m；為注漿孔半徑，m；為注漿孔出口壓力，Pa；為裂隙傾角，(°))。

圖1 漿液在傾斜裂隙內流動示意Fig.1 Illustration of slurry flow in inclined fracture

由圖1可知，漿液自注漿管流出進入裂隙空間后沿裂隙擴展方向徑向流動，由于裂隙存在傾角，漿液流動方向可分為克服重力方向沿裂隙壁面向上的高位流動和趨于重力方向沿裂隙壁面向下的低位流動。為描述上述物理系統，在建立數學模型前，做出以下基本假設：① 裂隙形態不隨注漿過程變化；② 漿液在裂隙壁面上滿足無滑移條件；③ 漿液視為各向同性的均質不可壓縮流體，滿足連續介質假設描述；④ 漿液的流動只發生在裂隙空間內。

滿足連續介質假設的流體在流動過程中可由連續性方程和動量方程描述。基于潤滑近似，考慮漿液自注漿管流出后沿裂隙通道徑向流動，在柱坐標系下裂隙空間內漿液所滿足的控制方程可簡化為

(2)

式中，為壓力，Pa；為剪切應力，Pa；為高位流動擴散距離，m；為低位流動擴散距離，m；為重力加速度，m/s；為流動密度。

控制方程的邊界條件有

(3)

(4)

(=)=,(=)=

(5)

式中，為軸方向上的流速，m/s；為漿液最終擴散距離，m；為漿液擴散鋒面前端壓力，Pa。

基于平板單裂隙注漿擴散常規解法，結合塞流區高度的半經驗公式，分別對式(2)中高位流動和低位流動表達式進行多次積分，可得高位流動和低位流動流量為

(6)

式中，為高位流動流量，m/s；為漿液高位流動擴散鋒面弧長；為低位流動流量，m/s；為漿液低位流動擴散鋒面弧長。

漿液擴散過程中注漿總流量為

=+

(7)

其中，為注漿總流量，m/s。由此可分別得出高位流動和低位流動過程的壓降為

(8)

2 裂隙高位注漿數值模擬

2.1 數值模型建立

由式(8)可知，漿液流動方程中包含漿液不同流動方向上的壓降和擴散鋒面弧長2類未知項，因此難以得出基于上述基本假設下的解析解。為探究漿液在高位裂隙空間內的流動規律，采用數值模擬對上文中的控制方程進行數值求解。在上述基本假設前提下，建立有限邊界裂隙高位注漿數值模型，其幾何模型及局部網格如圖2所示。

圖2 幾何模型及局部網格Fig.2 Geometric model and local grid

由圖2可知，數值模型中注漿孔為入流口，設置為速度入口邊界，注漿速率設定為0.05，0.10，0.20 m/s三種工況。高位出流口為出口，設置為壓力出口邊界，出口壓力為0。其余面均設置為壁面，且滿足壁面無滑移條件。漿液的物性參數設置需介于井下常用注漿介質物性參數的合理范圍內，為不失一般性，數值模型中漿液的密度設為1 300 kg/m，塑性黏度設為5 Pa·s，屈服應力設為5 Pa。通過改變數值模型中不同坐標方向的重力加速度分量實現不同傾斜角度下的流動模擬，分別設置15°，30°，45°，60°，75°五個傾斜角度的計算工況。同時，為定量對比流域內關鍵位置流體力學參數變化規律，在模型中設有監測線。注漿是漿液對裂隙空間內原生介質(空氣、水等)驅替的過程，本模型中的原生介質為空氣，初始時刻裂隙內空氣體積分數為1。為捕捉漿液在裂隙中擴散鋒面的變化規律，使用VOF模型計算氣液交界面。使用ANSYS FLIENT 15.0軟件進行數值計算，壓力-速度耦合項使用PISO算法，空間離散化中壓力項采用PRESTO!算法，動量項采用二階迎風格式，體積分數項采用CICSAM算法，時間步長設置為0.01 s。數值模型采用多面體網格進行離散，為避免網格數量對結果造成的誤差，進行了網格無關性驗證。以傾角30°、注漿速率0.10 m/s計算工況下注漿50 s和100 s時的壓差作為檢驗指標，通過改變面網格尺寸及裂隙開度方向上的網格層數設置5組計算網格，計算結果如圖3所示。由圖3可知，當網格數量超過30萬后，壓力值的增速放緩，且隨著網格數量的增加相對誤差大幅下降。綜合考慮計算效率和誤差，選取第3組網格進行數值計算，該套網格的網格數量為305 188。

圖3 網格無關性驗證Fig.3 Grid independence verification

2.2 模擬結果及分析

2.2.1 擴散形態分析

分別以注漿速率為0.1 m/s和傾角為30°的計算工況為例，分析傾角和注漿速率對漿液在裂隙空間內擴散規律的影響。取裂隙開度中心(=0.003 m)的計算結果作為參考結果，數值模擬注漿過程中漿液的擴散形態如圖4所示。

圖4 數值模擬注漿擴散形態Fig.4 Numerical simulation of grouting diffusion pattern

由圖4可知，以與注漿口中心水平對齊的黃色虛線為界，虛線上方的流動為高位流動，虛線下方的流動為低位流動。根據高位流動和低位流動擴散鋒面的變化規律，可將漿液在裂隙內的流動過程劃分為3個階段：自由擴散階段、過渡階段和受限堆積階段。在自由擴散階段，漿液整體擴散形態呈圓形，受重力作用影響，低位流動趨勢大于高位流動，整體擴散形態的圓心隨流動時間的延長逐漸下移轉變為橢圓形，直至低位流動的擴散鋒面前端與裂隙底部接觸時停止。在過渡階段，受裂隙底部壁面支撐作用，漿液整體擴散形態逐漸由橢圓形轉變為“n”形。該階段內低位流動在底部壁面的支撐作用下向兩側壁面擴散，同時高位流動鋒面逐漸延展，弧度逐漸變大，形狀由半圓形向矩形過渡。在受限堆積階段，底部空間均被填充，低位流動已經結束，在底部和兩側壁面的限制下，漿液流動以高位流動為主，整體擴散形態由“n”形轉變為類矩形。在此過程中，高位流動的擴散鋒面已經穩定不再隨擴散的距離而改變。

由圖4(a)可知，在任意傾角下，漿液的擴散形態演變規律相同，傾角大小對自由擴散階段和過渡階段影響較大，對受限堆積階段影響較小。傾角越大，漿液完成自由擴散階段和過渡階段的時間越短。這是因為越大的裂隙傾角使漿液在低位流動時所分配的重力分量越大，漿液的擴散以低位流動為主，漿液率先完成底部區域充填。在底部區域填充完畢后，漿液以高位流動為主，該階段內漿液流動趨于穩定，鋒面與形態不再發生變化。圖4(a)中相同注漿時間下漿液在傾角60°和75°時的擴散形態基本一致，這是因為傾角增大到一定程度后，重力分量的增幅開始減緩，低位流動趨勢逐漸達到閾值，對高位流動的影響也逐漸減小。由此可得出，裂隙傾角對漿液擴散形態的影響程度隨著裂隙傾角的增大先增強后減弱。

由圖4(b)可知，注漿速率對漿液流動階段的轉變速度具有顯著影響，注漿速率越大，完成流動階段轉變的時間間隔越小。在注漿初期，不同注漿速率下的漿液均處于自由擴散階段。但隨著注漿時間的延長，注漿速率大的漿液率先完成過渡階段并進入受限堆積階段。由此可得出，注漿速率對漿液擴散形態的影響程度隨著注漿時間的延長逐步加強。

取漿液體積分數大于0.5的區域作為漿液擴散區域，以漿液擴散鋒面最前沿處的距離作為漿液的擴散距離，監測線上不同工況下高位流動的擴散距離隨時間變化曲線如圖5所示。

圖5 高位流動擴散距離變化曲線Fig.5 Variation curves of high-position flow diffusion distance

由圖5可知，整體上漿液高位擴散距離隨著注漿時間的延長逐步增加，在不同傾角和注漿速率下，漿液高位擴散距離的增速不同。注漿速率0.05 m/s時，注漿64 s后漿液在15°，30°，45°，60°，75°裂隙中高位擴散平均流速分別為0.003 00，0.002 26，0.001 73，0.001 42，0.001 27 m/s；注漿128 s后，漿液在15°，30°，45°，60°，75°裂隙中高位擴散平均流速分別為0.000 959，0.000 587，0.004 33，0.000 371，0.000 309 m/s；注漿192 s后，漿液在15°，30°，45°，60°，75°裂隙中高位擴散平均流速分別為0.000 80，0.000 77，0.000 99 ，0.001 14，0.001 27 m/s。表明在相同流動階段內，隨著裂隙傾角的增大，漿液高位流動擴散增速逐漸降低，但增速下降幅度隨著傾角的增大逐漸減小，尤其是在受限堆積階段，裂隙傾角的差異對高位擴散距離增速的影響程度顯著低于自由擴散階段和過渡階段，這與擴散鋒面受重力分量變化影響的規律一致。由此可得，裂隙傾角對高位擴散距離的影響程度隨著流動階段的演化逐漸減小。

裂隙傾角30°時，在0.05，0.10，0.20 m/s工況下，注漿32 s后漿液平均流速分別為0.003 6 ，0.004 7，0.008 8 m/s；注漿64 s后分別為0.000 55，0.002 20，0.003 50 m/s；注漿96 s后分別為0.000 93，0.001 40，0.009 90 m/s。表明在相同注漿時刻注漿速率對高位擴散增速的影響隨著注漿速率的增大而增加。在不同注漿時刻注漿速率對高位擴散距離增速的影響程度，隨著注漿時間的延長先增加后減小，但當漿液進入受限堆積階段后，注漿速率變化對高位擴散距離增速開始逐步增大。由此可得，注漿流速對高位擴散距離的影響程度隨著流動階段的演化逐漸增大。

2.2.2 流量分析

根據數值模型中注漿口的幾何特征，在恒定注漿速率下，理論上一定時間內從注漿口流入裂隙空間內的總體積等于在該注漿時間段內漿液在裂隙空間內填充體積，即

==2π=+

(9)

式中，為從注漿口注入裂隙空間總體積，m；為注漿時間，s；為高位流動的體積，m；為低位流動的體積，m；為注漿速率。

為定量分析高位流動和低位流動在不同流動階段的流量分配規律，定義高位流動的分流系數為

(10)

分流系數表征在任意時刻注入裂隙空間的漿液中高位流動流量占比，不同工況下分流系數隨流動時間的變化曲線如圖6所示。

由圖6可知，漿液整體分流系數隨注漿時間的延長迅速減小，當減小到最低點后開始迅速增大直至分流系數達到1后保持不變。結合漿液不同的流動階段分析可知，在自由擴散階段，漿液受重力分量影響高低位不均衡擴散，此階段內低位流動占據優勢，漿液率先充填底部空間，表現為分流系數逐漸減小。當低位擴散距離到達裂隙底部時，低位擴散趨勢達到最大值，對應分流系數達到最小值，此后低位流動開始向四周蔓延進入過渡階段，此階段開始低位流動逐漸消失，表現為分流系數開始逐步增大，表明該階段高位流動趨勢開始增強。當低位空間被填充完畢后，漿液進人入高位堆積階段，此時低位流動已結束，表現為分流系數迅速增大直至達到峰值1，并保持峰值不變，表明在高位堆積階段只存在高位流動，此階段內注漿管所注入的漿液體積均為高位流動增加的體積。

圖6 分流系數變化曲線Fig.6 Variation curves of shunt coefficient

0.10 m/s工況時，在傾角15°裂隙內，分流系數在注漿88 s后達到最小值0.337，176 s后達到最大值1；在傾角30°的裂隙內，分流系數在注漿64 s后達到最小值0.219，136 s后達到最大值1；在傾角45°裂隙內，分流系數在注漿56 s后達到最小值0.144，128 s后達到最大值1；在傾角60°裂隙內，分流系數在注漿48 s后達到最小值0.101，120 s后達到最大值1；在傾角75°裂隙內，分流系數在注漿46 s后達到最小值0.083，118 s后達到最大值1?？芍严秲A角越大，分流系數的最小值越小，達到最小值和最大值的時間越短，表明過大的裂隙傾角加大了高位流量的損耗，并加快了流動階段的轉變。

裂隙傾角30°工況下，0.05 m/s注漿速率時，分流系數在注漿96 s后到達最小值0.123，256 s后達到最大值1；0.20 m/s注漿速率時，分流系數在注漿40 s后到達最小值0.312，88 s后達到最大值1。 由此可知，注漿速率越大，分流系數的最小值越大，達到最小值和最大值的時間越短，表明過大的注漿速率減緩了高位流量的損耗，并加快了流動階段的轉變。

..壓力場分析

以監測線上壓力值時空變化結果作為漿液流動方向上壓力場變化的參考結果，傾角15°，75°工況下監測線處壓力場分布如圖7所示。

圖7 監測線處壓力場分布曲面Fig.7 Pressure field distribution surface at monitoring line

由圖7可知，整體上監測線處壓力值隨著流動時間的延長而逐漸增大，在監測線不同距離處壓力的增幅有所差異。注漿口處壓力值最大，并隨著注漿時間的延長向四周衰減，由于出口邊界設置為零壓出口，因此在漿液未覆蓋區域相對壓力始終為0。而低位擴散區域受底部支撐作用導致漿液堆積，因此低位區域壓力值隨注漿時間延長逐漸增大。分析圖7中不同傾角的工況可知，裂隙傾角的增加加大了擴散相同距離所需的注漿壓力，注漿壓力隨傾角的增長呈非線性變化，在初期自由擴散階段注漿壓力隨裂隙傾角的變化不明顯，而在高位堆積階段的增幅產生較大差異。同時，過大的裂隙傾角也加大了裂隙底部區域的壓力值，裂隙傾角越大，底部區域壓力值增幅越大。分析圖7中不同注漿速率工況可知，注漿速率顯著改變了曲面幅度，即注漿速率越大，相同擴散距離處的壓力值也越大。

將注漿口處壓力視為注漿壓力，不同工況下注漿壓力隨時間變化規律如圖8所示。

圖8 注漿壓力變化曲線Fig.8 Variation curves of grouting pressure

由圖8可知，整體上注漿壓力隨注漿時間的延長而緩慢增加，但不同流動階段的變化趨勢不同。在自由擴散階段和過渡階段的注漿壓力增幅較小，整體波動不大。當漿液進入受限堆積階段后，注漿壓力開始發生突變，壓力值迅速增大。同時，不同裂隙傾角和注漿速率對不同階段的注漿壓力影響不同，注漿速率和裂隙傾角的增大均會導致注漿壓力增加，但傾角大小在自由擴散階段和過渡階段對注漿壓力的影響程度較小，在漿液進入受限堆積階段后產生明顯差異，這與傾角對高位擴散距離的影響規律不同。注漿速率對初始注漿壓力影響較大，且同樣在漿液進入受限堆積階段后發生突變。

3 漿液高位流動數學模型

3.1 模型求解

通過數值模擬，可得出漿液在傾斜裂隙空間內漿液擴散鋒面的變化規律，以及流動方向上的壓力場和流量分配規律，但數值模型建模過程復雜，計算結果難以反映物理量之間的量化關系。由煤巖裂隙結構性質和高位注漿工藝可知，注漿管難以向上伸入高位裂隙深部區域，因此漿液在傾斜裂隙內的低位流動空間有限。為此，以高位流動為研究對象，建立注漿漿液高位流動數學模型，探究漿液向高位裂隙深部流動過程中各流體力學參數變化規律對高位注漿施工設計具有重要意義。由圖4可知，漿液在不同流動階段中高位流動的擴散形態不同，其轉變規律如圖9所示(紅色區域表示高位流動擴散區域，其中，為等效圓半徑；′為高位流動擴散距離；為裂隙兩側壁面寬度，m；，，分別為擴散階段、臨界階段、堆積階段等效圓心與擴散鋒面對應的等效圓心角)。

由圖9可知，裂隙傾角為0時，漿液的理想擴散形態為以注漿口為圓心的圓形；而裂隙傾角不為0時，漿液擴散形態在重力影響下發生改變，但高位流動擴散封面始終保持為弧形。在自由擴散階段(圖9(a))，低位流動趨勢大于高位流動，該階段的高位流動擴散鋒面為圓弧，圓弧所對應的等效圓心為，則其擴散形態可視為以為圓心的圓弧和弦圍成的弓形。漿液進入受限堆積階段(圖9(c))后低位流動消失，漿液的擴散受兩側壁面的限制向上堆積，該階段的高位流動擴散鋒面為圓弧，圓弧所對應的等效圓心為，則其擴散形態可視為以為圓心的圓形與兩側壁面以及與注漿口中心平齊的圍成的區域。

在漿液流動階段的轉變中，等效圓的半徑受側壁的影響在過渡階段內存在臨界狀態(圖9(b))，此時等效圓心與注漿口距離為0，即注漿口()與受限堆積階段的等效圓心重合，此時等效圓半徑與高位流動擴散距離′相等，該臨界狀態可視為高位流動擴散形態開始受側壁面間距離影響的最初狀態。為此，以臨界狀態為界將高位流動過程劃分為臨界狀態之前的擴散階段和臨界狀態后的堆積階段。

圖9 不同流動階段高位流動擴散形態轉變規律Fig.9 Transition law of high-position flow diffusion form in different flow stages

根據三角形的構成條件，臨界狀態下滿足

(11)

可將高位流動距離小于側壁距離一半的高位流動劃分為擴散階段，大于側壁距離一半的高位流動劃分為堆積階段。基于此定義，在擴散階段內漿液高位流動擴散面積(m)為

(12)

等效圓心與注漿口距離為

(13)

根據半角公式，有

(14)

聯立式(12)～(14)可得

(15)

求解式(15)，取其正根可得

(16)

則高位流動擴散階段擴散鋒面弧長為

(17)

在高位流動的堆積階段，漿液受兩側壁面限制，其擴散面積(m)為

(18)

等效圓心與注漿口距離為

(19)

根據半角公式，有

(20)

聯立式(18)～(20)可得

(21)

高位流動堆積階段擴散鋒面弧長為

(22)

根據質量守恒定律，任意時間內高位流動的注入量等于該時間內高位擴散覆蓋的總體積，即

=

(23)

式中，為高位流動面積，m。

聯立式(6)與式(21)，(23)可分別得出高位流動擴散階段和堆積階段的流量為

(24)

結合擴散鋒面弧長表達式可知，決定高位流量與擴散鋒面弧長中的等效圓心角為未知變量，其影響因素與流動狀態轉變的影響因素有關。為此，針對本文建立的物理模型，選取注漿速率、注漿時間、裂隙傾角作為反演變量，結合數值模型中高位擴散面積計算結果，對式(24)中擴散階段和堆積階段的等效圓心角進行反演，反演結果為

(25)

高位擴散階段、高位堆積階段的等效圓心角反演相關系數分別為0.984，0.992，說明等效圓心角的變化與注漿速率、裂隙傾角和注漿時間具有良好的相關關系，精度能夠滿足模型計算需求。由此，聯立式(8)，(17)，(25)并進行分離變量積分，代入式(5)可得漿液高位流動擴散階段注漿壓差Δ為

(26)

聯立式(8),(22),(25)并進行分離變量積分，代入式(5)可得漿液高位流動堆積階段注漿壓差Δ為

(27)

3.2 模型驗證

為驗證漿液高位流動擴散階段和堆積階段數學模型的有效性，取不同計算工況下375個樣本，以注漿壓力作為對比指標，將數學模型與數值模型計算結果進行對比。擴散階段與堆積階段數值模型與數學模型計算結果相對誤差如圖10所示。

圖10 數值模擬與數學模型相對誤差Fig.10 Relative error between numerical simulation and mathematical model

由圖10(a)可知，擴散階段數學模型與數值模型計算結果的最小誤差為0.14%，最大誤差為25.07%，最小誤差出現在注漿速率0.20 m/s、傾角75°計算工況的過渡階段，最大誤差出現在注漿速率0.05 m/s、傾角75°計算工況的自由擴散階段。注漿速率0.05，0.10，0.20 m/s時，相對誤差分別為0.30%～25.07%，0.18 %～19.63%，0.14%～13.28%。注漿速率0.10， 0.2 m/s工況時數學模型與數值模型相對誤差在所有流動階段內均低于20%，而注漿速率0.05 m/s工況僅在自由擴散中期誤差超過20%，表明擴散階段數學模型在工程誤差允許范圍內具有一定合理性。

由圖10(b)可知，堆積階段數學模型與數值模型計算結果的最小誤差為0.071%，出現在注漿速率0.10 m/s、傾角60°計算工況的自由擴散階段；最大誤差為6.62%，出現在注漿速率0.20 m/s、傾角15°計算工況的自由擴散階段。注漿速率0.05，0.10，0.20 m/s工況內，相對誤差分別為0.18%～2.49%，0.071%～2.26%，0.24%～6.62%。堆積階段所有工況數學模型與數值模型相對誤差均低于20%，表明堆積階段數學模型在工程誤差允許范圍內具有一定的合理性。

綜上，經過與數值模型計算結果對比得出，高位流動數學模型中相對誤差低于20%樣本占比為97%，相對誤差低于10%樣本占比為78.4%，誤差總體在工程應用允許范圍內，表明高位流動數學模型具有一定合理性。

3.3 工程意義

(1)根據高位注漿的擴散形態的轉變規律可知，漿液在不同時間段高位裂隙深部擴散范圍受裂隙邊界影響，僅當底部裂隙空間被填充完畢后，漿液才會在裂隙邊界支撐下快速向深部堆積，因此在現場高位注漿設計時應先探明裂隙區域的邊界范圍。

(2)注漿速率對高位擴散距離的影響程度隨流動階段的演化逐漸增大，且過大的注漿速率會減緩高位流量的損耗并加快流動階段的轉變，因此在實際工程中若僅針對上覆煤巖表層區域范圍的裂隙封堵可采用較低的注漿速率，以延長自由擴散階段的時長，有利于漿液低位流動快速填充底部裂隙空間。

(3)傾角在自由擴散階段和過渡階段對注漿壓力的影響較小，而注漿速率對初始注漿壓力的影響較大，因此在實際工程中，若對煤巖裂隙深部區域進行注漿充填時，可先使用較高的注漿速率，待漿液進入受限堆積階段后降低注漿速率，使注漿壓力控制在安全可控的范圍內。

(4)注漿壓力在漿液進入受限堆積階段后將發生突變，因此在實際工程中可通過壓力表變化來反映漿液的流動狀態，以此推測裂隙的封堵情況。

4 結 論

(1)高位注漿中漿液流動過程可劃分為自由擴散階段、過渡階段、受限堆積階段3個階段。自由擴散階段，漿液初期擴散形態呈圓形，隨著流動時間增加逐漸變為橢圓形；過渡階段，漿液整體擴散形態逐漸由橢圓形轉變為“n”形；受限堆積階段，整體擴散形態由“n”形轉變為類矩形。

(2)漿液進入受限堆積階段后分流系數達到峰值，此時注漿管注入的漿液體積均為高位流動所增加的體積。不同工況下分流系數變化規律表明，過大的裂隙傾角加大了高位流量的損耗并加快了流動階段的轉變，過大的注漿速率減緩了高位流量的損耗并加快了流動階段的轉變。

(3)裂隙傾角和注漿速率的增加提高了擴散相同距離所需的注漿壓力，注漿壓力隨傾角的增長呈非線性變化，在初期自由擴散階段注漿壓力隨裂隙傾角變化不明顯，而在高位堆積階段的增幅產生較大差異。同時，過大的裂隙傾角也加大了裂隙底部區域壓力，裂隙傾角越大，底部區域壓力值增幅越大。

(4)基于高位流動擴散鋒面變化規律，將高位流動劃分為擴散階段與堆積階段，并通過反演證實等效圓心角與注漿速率、裂隙傾角和注漿時間相關性較好。漿液高位流動數學模型與數值模型的最小誤差為0.07%，最大誤差為25.08%，且97%樣本相對誤差在20%以內，78.4%樣本相對誤差在10%以內，表明高位流動數學模型在工程誤差允許范圍內具有一定合理性。