基于反正切函數的LMS自適應濾波算法及應用

張曉亞，劉建勛，倪元相，吳 亮，彭金奇

(1 廣東工貿職業技術學院機電學院,廣州 510510;2 東南大學機械工程學院，南京 211189; 3 廣東理工學院科技處,廣東 肇慶 526200)

0 引言

無線電引信是依靠無線電波來獲取目標物信息，進而獲得準確的引爆時機。環境中的噪聲對無線電波的干擾較大，所以對無線電波的信號濾波問題成為研究的重點。早在20世紀80年代，LMS理論就已經被提出。基于這種理論的自適應濾波器算法被廣泛應用于通信、故障診斷、雷達引信濾波等領域。然而在收斂性能和穩態特性方面，存在不能同時兼顧的矛盾。為此研究人員對LMS算法進行了改進和優化。汪潮等基于分段的方法，提出了一種變步長數學模型，該模型雖然能夠有效緩解這種矛盾，但是增加了算法的復雜度和應用的局限性，導致實用性能很低。Li等、Ao等考慮了迭代過程中的步長與誤差的非線性關系，但忽略了相鄰步長之間的關系對算法濾波性能的影響。張紅梅等雖然改善Li等的不足，但步長算法太復雜，導致計算量非常大，算法的實用性不高。

為了完善上述不足，文中依據LMS原理和反饋控制原理，構建了本次步長和本次誤差與前一次誤差的比率關系。同時為了避免算法失去迭代性，有必要在迭代的過程中，動態的約束步長的變化。引入一個約束因子，當迭代次數比較小時，該因子幾乎不起作用；當迭代次數較大時，該約束因子對步長具有一定的約束作用。最后再將新算法模型應用到無線電引信的濾波處理中，以驗證其特性。

自適應濾波器的基本原理如圖1所示。

圖1 自適應濾波器簡圖

其中：()為輸入信號；()為輸出信號；()為與()不相關的輸入信號；()為期望信號；()=()-()。圖1的濾波器是最常用的FIR數字濾波器。LMS的迭代公式為：

()=()()

(1)

()=()-()

(2)

(+1)=()+2u()()

(3)

式中：為步長因子。

滿足算法的收斂條件為：0≤≤1，是()的自相關矩陣最大特征值。

1 自適應濾波算法

變步長的算法模型為：

(4)

式中,,均為常量，其最佳取值為：=50,=02,=2。在此算法模型的基礎上，引入反饋控制函數和步長函數幅度因子。即當為常數時，將作為跟當前與前一次誤差值的比率的平方呈正相關的動態變量；將當是迭代次數成非線性關系的動態變量。其表達式為：

(5)

()=exp()

(6)

改進的步長與誤差關系的新模型為：

(7)

2 新算法濾波仿真及參數確定

在新算法模型中，共有4個待確定的參數：，，，；自適應濾波器階數為2。濾波器系數在仿真的過程中具有兩個值，開始預設值是=[08 05]，當采樣點數為500時，重置預設值=[04 02]。初設采樣點數為1 000，獨立仿真次數為200次。

2.1 確定參數b對新算法濾波性能的影響

取=100,=0001,=2時,自適應濾波算法的收斂曲線如圖2所示。

圖2 不同b值的算法收斂曲線

由圖2可知：值對濾波性能的影響主要體現在收斂速度上。當=001時，收斂速度慢；當=002時，收斂速度明顯加快；當=004時，收斂速度與=002時相比，收斂速度更快。當=008時，收斂速度最快，但是其穩態誤差最大。當分別取001，002，004時,曲線的穩態誤差基本沒有變化。綜合考慮，取=004

所謂的外匯資金池，就是可以自由兌換外幣經營項目賬戶和資金賬戶的管理模式。外匯資金池的構建以委托貸款作為基礎，在其作用下，境內企業外匯資金的運用更加便利，外匯資金經營更加高效。

2.2 確定參數f對新算法濾波性能的影響

當=004，=100，=2時，取不同值時，自適應濾波算法的收斂曲線如圖3所示。

圖3 不同f值的算法收斂曲線

由圖可知，當采樣點數小于500時，取不同值幾乎不影響對收斂曲線的收斂速度和穩態誤差。當采樣點數大于500時，的取值對收斂曲線的穩態誤差和收斂速度都有影響。在穩態誤差方面，當分別取-0001，-0002，-0003時，曲線的穩態誤差大小基本一樣;當=-0004時，曲線的穩態誤差明顯變大。在收斂速度方面，=-0004時，曲線的收斂速度最慢；當=-0003時，曲線的收斂速度有所加快；當=-0002時，收斂速度明顯加快；當=-0001時收斂速度最快。綜合考慮曲線的收斂速度和穩態誤差，因此取=-0001。

2.3 確定參數p對新算法濾波性能的影響

當=004，=-0001，=2時，取不同值時，自適應濾波算法的收斂曲線如圖4所示。

圖4 不同p值的算法收斂曲線

由圖可知，的取值對收斂曲線穩態誤差的影響不明顯。當=01時，曲線的收斂速度最慢；當=03時，曲線的收斂速度與=01時相比收斂速有所加快；當=1時，曲線的收斂速度比=03時的更快；當=20時，曲線的收斂速度最快。綜合考慮曲線的穩態誤差與收斂速度，取=20。

2.4 確定參數r對新算法濾波性能的影響

當=004,=-0001,=20時，取不同值時，自適應濾波算法的收斂曲線如圖5所示。

圖5 不同r值的算法收斂曲線

由圖可知，的取值對收斂曲線的穩態誤差和收斂速度的影響較大。在收斂速度方面，當=4時，曲線的收斂速度最慢；當=3時，曲線的收斂速度加快；當=2時，曲線的收斂速度明顯加快；=1時，收斂速度最快。在穩態誤差方面，當=4時，曲線的穩態誤差最大。當=3,=2,=1時，曲線的穩態誤差沒有明顯差別。綜合考慮，取=1。

2.5 新算法與文獻[11]算法濾波性能對比

由圖6可知：與文獻[11]算法相比，從收斂速度上可以看出，新算法的收斂性能明顯比較好。從穩態誤差方面看，新算法的穩態誤差值也明顯低于文獻[11]的。綜合以上分析，文中提出的新算法能夠有效改善LMS算法濾波性的不足。

圖6 算法的收斂曲線對比

3 新算法模型在引信中的應用

對文獻[13]中的超寬帶無線電引信回波信號進行分析，其時域的數學模型如下：

(8)

式中：為無線電引信的中心頻率；為無線電引信的脈沖寬度。為了使得信號在輸出時刻近似為零，設置為08。根據實際回波信號的波形特點。設置=2 GHz，=5 ns。仿真結果如圖7、圖8所示。

圖7 文獻[11]算法和新算法處理后的回波信號

圖8 文獻[11]算法與新算法對回波信號的誤差性能

由圖7可知：在=4 ns時，圖7(d)子圖更加接近理想信號，圖7(c)子圖相比于理想信號有明顯的失真。新算法濾波的逼真度、濾波性能明顯優于文獻[11]。

由圖8可知：在=2 ns處誤差開始產生一次明顯的尖峰效果。此時，兩種算法產生的尖峰最高點對應的縱坐標值約為：新算法誤差約為0.02；文獻[11]算法誤差約為0.09。即：新算法的抗干擾能力是文獻[11]的4.5倍。

4 結論

綜合考慮LMS算法的迭代步長與誤差的關系，前一次迭代步長與當前迭代步長的關系以及當前步長隨著迭代次數的變化情況，提出了一種能夠涵蓋上述3個因素的數學模型。通過對高斯白噪聲和引信濾波信號的實驗，驗證了文中提出的算法具有較好的穩態特性和收斂特性，極大的改善了LMS算法濾波性能的不足。