一種微波介質材料介電常數的測量方法

朱明亮，李 勃，郭云勝

(1.內蒙古科技大學 理學院，內蒙古 包頭 014010;2.清華大學 材料學院 新型陶瓷與精細工藝國家重點實驗室，北京 100084)

介電常數和損耗是描述電磁場與材料相互作用最基本的特征參數，準確、快速、方便地測出微波介質材料的介電常數和損耗，是設計和制作以微波介質材料為核心部件的各種電子器件的前提和基礎[1]。目前對介電常數的測量方法比較多，就其原理而言，主要有網絡參數法和諧振腔法[2]。網絡參數法將測試樣品和測試器具視為單端口或雙端口網絡，利用波的反射和透射特性計算出材料的電磁參數。諧振腔法是利用諧振腔中有無測試樣品的情況下諧振頻率和品質因數的變化，計算出材料的電磁參數。網絡參數法主要包括反射透射法、多狀態法、多厚度法和自由空間法，但是每一種測量方法都會存在各自的優缺點。反射透射法將電磁參數測試歸結為互易雙端口網絡散射系數測試問題，能夠對介質材料電磁參數進行寬頻測試，但要求樣品與同軸線的內外導體及波導壁緊密接觸，對樣品的要求比較高，留有的任何空氣縫隙會導致測試誤差，還容易損壞傳輸線的表面鍍層[3-4]。多狀態法是針對各種反射系統無法測到透射系數的特點，通過改變樣品的終端狀態(短路或開路)測得材料參數，但存在的問題是當終端狀態改變時，高損耗材料的反射信號幅值和相位變化較小，導致測試的準確度降低[5]。與多狀態法類似，多厚度法也能夠在無法測到透射系數的情況下得到材料的電磁參數，但要求兩個樣品均勻一致，且有嚴格的厚度對應關系，所以不太容易測到準確結果[6-7]。自由空間法較上述方法有極大改進，樣品制作也相對簡單，但是需要平坦的、雙面平行的、面積足夠大的測試樣品，這對于某些材料的樣品制備而言比較困難[8-9]。諧振腔法具有較高的靈敏度和測試準確度，但是適用于低損耗材料的測量，測試過程中腔中還可能會存在多種諧振模態，所以對放入樣品的大小及待測材料參數也有一定的范圍限制[10-11]。近年來出現的一些自動化程度非常高的電磁材料綜合測試平臺，能夠快速準確地測出各種材料的電磁參數，測量的頻率范圍也非常寬，但是這些儀器設備十分昂貴，不利于大眾化使用和推廣。另外，尤其需要說明的是，上述各種測量方法，無論是自動給出材料的電磁參數，還是人機互動后得出材料的電磁參數，都需要在測出散射系數后進行反演計算才能得到材料參數，這就需要有嚴格的解析表達式。電磁波與材料相互作用是一個復雜的過程，能夠從Maxwell 方程組得到材料參數解析表達式需要滿足樣品結構規則和一定的邊界條件。所以，上述材料參數測量是在解析表達式的基礎上得到的，而不是直接在電磁波與材料相互作用的基礎上得到。隨著現代計算機技術和計算電磁學的快速發展，出現了許多商業電磁分析軟件如CST、HFSS 和COMSOL 等，它們能夠對各種復雜電磁結構和材料特性進行全波仿真，極大地拓寬了電磁波與物質相互作用的研究范疇，對材料電磁參數的測量提供了有效的手段。

矩形直波導的結構簡單，使用方便，是微波實驗中常用的器件。本文通過在矩形波導中放入待測樣品構建電磁波與材料相互作用的基本模型，系統研究待測樣品的幾何結構和材料參數對散射系數的影響規律，通過比對模擬計算和實驗測量的散射系數結果，直接得出材料的電磁參數而無需知道波與材料相互作用的解析表達，為微波介質材料介電常數的測量提供一種有效的方法。

1 測量原理

本文通過電磁波與樣品材料相互作用的仿真和實測散射系數的比對，直接得到樣品的介電常數而無需知道介電常數的反演解析表達，對模型的幾何形狀并無具體要求，只要仿真模型完全等同實物即可。目前在材料電磁性能的研究過程中，測試樣品大多被制備成具有一定直徑和厚度大小的圓片。為了方便與傳統的測量方法進行比較，本文以通用的Φ10 樣品(直徑為10 mm 的圓柱)為研究對象。矩形直波導的型號比較多，測試頻率范圍從1 GHz 延伸到100 GHz 左右。型號BJ100 直波導的橫向截面大小為22.86 mm ×10.16 mm，對于Φ10 樣品的取放非常方便，所以本文以BJ100 波導中的Φ10 樣品為對象，對介電常數的測量方法進行研究。與非諧振相比，諧振效應是電磁波與物質相互作用的一種強烈和敏感的響應行為[12-13]，波導中的測試樣品發生諧振時會產生十分明顯的透射或反射峰。為了提高測試精確度，始終以特征諧振峰為研究目標，通過找到諧振峰與材料參數的對應關系得出材料的介電常數。

CST 微波工作室廣泛應用于微波技術領域[14]，本文采用CST 建模仿真。為了證明軟件建模仿真的可靠性和準確性，首先以Fabry-Perot 干涉儀的多光束干涉為例，對電磁波照射在介電常數為100、厚度為3 mm的理想材料上的透射系數進行研究，結果如圖1 所示，在頻率為4.998 GHz 和9.994 GHz 處分別發生厚度諧振，與理論預測的在頻率為5 GHz 整數倍的頻點發生諧振而實現全透射的結果完全一致。

圖1 Fabry-Perot 干涉儀的多光束干涉透射系數Fig.1 Transmission coefficient of multi beam interference of Fabry-Perot interferometer

接下來以氧化鋁陶瓷為例，研究樣品放入波導中產生的諧振特性與樣品幾何結構、材料參數大小的關系。圖2(a)為Φ10 樣品放入BJ100 直波導中的情形，其中波導橫截面的長邊為a，寬邊為b，樣品的半徑為r，高度為h，樣品下底面與波導下壁重合且位于長邊中點(p=11.43 mm，其中p表示樣品底面中心相對于波導某一窄壁的位移量)。當樣品是h=3 mm 的高純(99.7%)細晶Al2O3微波陶瓷(ε=9.8)材料時，計算得到的透射系數S21如圖2(b)所示，在10.84 GHz 產生了諧振峰(實際上，放入波導中的樣品會產生一系列諧振峰，本文只研究最低頻率處的諧振峰)。圖2(b)中的插圖為圓柱樣品xz平面上的磁場在諧振頻率處的分布，從磁場分布特點可知其諧振類型屬于磁偶極子諧振。所以，本文始終以尋找第一個諧振峰為目標，研究樣品介電常數和厚度的變化對透射峰的影響。圖2(c)研究了圓柱樣品的介電常數ε、高度h、半徑r和放入波導中的橫向位移量p的變化對諧振頻率的影響，可以看出圓柱樣品的材料和幾何參數的微小變化對諧振頻率的影響較為顯著，而樣品在波導中央橫向位移量的微小變化對諧振頻率幾乎沒有影響，這不僅為本文利用諧振頻率的大小準確得到介電常數提供保證，而且還為實驗測試時樣品的放入提供了寬松的環境。圖2(d)給出了固定直徑Φ10 樣品在不同厚度和介電常數時所對應的諧振頻率圖譜，從圖中可知，當樣品厚度h=7 mm 固定時，樣品的介電常數從2.5 變化到13 所對應的諧振頻率變化范圍為13.864 GHz 到7.452 GHz;當樣品厚度h=6 mm 固定時，樣品的介電常數從3 變化到14 所對應的諧振頻率變化范圍為13.538 GHz 到7.15 GHz;以此類推，直到樣品的厚度h=1 mm 時，可以利用Φ10 樣品在7～14 GHz 的頻率范圍內測量出介電常數從2.5 變化到100 的材料。圖2(e)研究了介質材料的損耗角正切對透射系數的影響，可以看出在諧振頻率及其附近，損耗對透射系數的影響較大，當損耗角正切為0.002 時，透射系數為-36 dB;當損耗角正切為0.01 時，透射系數為-23.4 dB。所以，本文提出的介質圓柱放入矩形波導中的測量方法，不僅可以準確知道介電常數實部的大小，還能知道它的虛部(損耗)大小。

圖2 介質圓柱樣品放入矩形波導中測量介電常數的方法Fig.2 Method for measuring permittivity of dielectric cylindrical sample placed in rectangular waveguide

2 結果與討論

在上述理論研究和分析的基礎上，實測了兩組Φ10 樣品，第一組為損耗非常小的氧化鋁陶瓷(國內訂購)，第二組為具有適中損耗的滑石陶瓷(日本京瓷訂購)。根據圖2(c)得出的結論可知，樣品幾何尺寸對諧振頻率的影響較為敏感，所以還需要對樣品的幾何大小進行精確測量。氧化鋁樣品的直徑和高度經測量分別為10.01 mm 和3.90 mm，滑石樣品的直徑和高度經測量分別為9.98 mm 和6.01 mm，樣品及放入BJ100 矩形波導中的情形如圖3(a) 所示，其中白色樣品為氧化鋁陶瓷，黑色樣品為滑石陶瓷。氧化鋁樣品測量得到的透射系數S21和經優化得到的仿真結果如圖3(b)所示，在9.65 GHz 出現-55 dB 的透射諧振峰，仿真優化結果對應的介電常數為9.8，損耗角正切為0.0001，所以就確定了氧化鋁的介電常數，結果與第三方(成都恩馳微波科技有限公司，下同)采用諧振腔法測試的結果完全一致。滑石樣品測量得到的透射系數S21和經優化得到的仿真結果如圖3(c)所示，在10.353 GHz 出現-35 dB 的透射諧振峰，仿真優化結果對應的介電常數為6.8，損耗角正切為0.0052，所以同樣確定了滑石樣品的介電常數，與第三方采用諧振腔法測試的結果也完全一致。

圖3 實驗裝置及測量和仿真結果Fig.3 Experimental device and measured and simulated results

需要說明的是，由圖2(c)得到關于樣品放入波導中心的橫向偏移對測試結果的影響比較小的結論，實驗過程中也證實了這一點。在氧化鋁和滑石樣品的測試過程中，分別隨機放入矩形波導下壁中心(肉眼感覺是中心即可)10 次，除2～3 次諧振頻率受測試分辨率(0.015 GHz)的影響有微小的上下波動之外，其他大部分諧振頻率保持不變，充分說明本文提出的測試方法是準確可行的。實驗測試分辨率由測試頻率區間上的采樣點決定，采樣點越多，分辨率越高。圖2(b)和2(c)中的測試區間為3 GHz，采樣點為201 個，故諧振頻率的測試分辨率為0.015 GHz。本文的測試方法不是通過解析得到的，介電常數的測量精度不能通過解析運算得出，但是它完全可以通過數值模擬計算得出。在上面兩種樣品材料的測量方案中，經計算可知諧振頻率變化0.015 GHz 時氧化鋁和滑石樣品的介電常數在9.8 和6.8 的基礎上分別變化0.02，故樣品介電常數測量結果的精度為0.02，能夠滿足一般的微波應用場景中對材料介電常數精確性的要求。

以上研究了Φ10 樣品放入BJ100 波導中測量的情形，為了說明本文方法的普適性，還對其他尺寸樣品放入BJ100 波導中進行了測量。圖4 為直徑12.89 mm、高度7.71 mm 的MgF2陶瓷樣品(國內訂購)放入BJ100 波導中測量和模擬的結果，根據樣品電磁諧振特征峰在9.92 GHz 的特點得出其介電常數為5.306，損耗角正切為0.0065，與第三方采用諧振腔法測試的結果一致。

另外，為進一步拓寬本文方法的實用性，還對其他直徑的圓柱樣品放入BJ70 波導(橫截面為34.849 mm × 15.799 mm)中測量進行了研究。圖5 為直徑12.01 mm、高度6.02 mm 的(1-x)CaWO4-xMg2SiO4樣品(x=0.1，國內訂購)放入BJ70 波導中測量和模擬的結果，根據樣品電磁諧振頻率在7.055 GHz 以及諧振峰值小于-50 dB 的特點得出其介電常數為9.935，損耗幾乎為0，與第三方采用諧振腔法測試的結果一致。

圖5 CaWO4-Mg2SiO4 樣品的實驗測量和仿真透射系數Fig.5 Measured and simulated transmission coefficient of CaWO4-Mg2SiO4

最后，研究了Mg1-xZnxTiO3陶瓷樣品(國內訂購)在不同Zn 摻雜量的情況下介電常數的大小。圖6 為Zn 摻雜量x分別為0.04(圓柱Φ=8.58 mm，h=5.34 mm)、0.06(圓柱Φ=8.52 mm，h=5.41 mm)和0.08(圓柱Φ=8.49 mm，h=5.42 mm)時樣品放入BJ70 波導中測試的透射系數，根據相應電磁建模仿真計算可知其對應的介電常數分別為16.95，18.08 和19.55，與文獻[15]中報道的結果基本一致。

圖6 Mg1-xZnxTiO3 樣品的實驗測量透射系數Fig.6 Measured transmission coefficient of Mg1-xZnxTiO3

3 結論

本文提出了一種在矩形波導中直接放入待測樣品，通過研究樣品的低頻特征諧振透射峰的位置直接得到樣品介電常數的測量方法，具有簡單、高效、便捷等優點。以不同直徑的樣品放入BJ100 和BJ70 矩形波導中的情況為例，研究并實測了氧化鋁、滑石、氟化鎂、CaWO4-Mg2SiO4和Mg1-xZnxTiO3樣品的介電常數，得到與第三方測試一致的結果。本文提出的測量方法能夠對微波介質材料的電磁性能分析及其在各種微波器件中的應用起到很好的作用。