基于MATLAB 的流行病死亡率預測

謝瑜 唐豪 李丹 楊方源*

（1、新疆農業大學，新疆 烏魯木齊 830052 2、新疆水利水電學校，新疆 烏魯木齊 830013）

新發的流行病以及傳染病已經嚴重地危害到人類的健康和社會的經濟發展。傳染病發病機制、傳播規律及防控策略研究日益突出。相關學者非常重視流行病致病原因的分析，為了提高應對流行病突發事件的效率，控制監管感染者以防止大規模傳染，衛生部創建疫情監管機制，收集疫情相關數據，并進行動態分析，在此基礎建立防治評價體系并制定防治政策，最終逐漸消滅傳染病，提高人民健康水平。而關于傳染病的傳播不可能通過醫學角度一一分析，因此，我們可以通過MATLAB 建立相關的數學模型分析傳染病數據來描述這一系列傳染病的傳播過程，分析感染人數和死亡人數的變化，從而預測發病人數和死亡人數。

1 模型的建立與求解

1.1 模型假設

在疾病傳播期間檢查的地理范圍沒有考慮人口動態因素，例如出生、死亡和流動性，總人口數N(t)不變，人口始終保持一個常數N。人群分為以下三類：易感人群，其人數比記為s(t)，表示在t 時刻未感染但有可能感染該病的總人數的比例；感染人數比，記為i(t)，表示在t 時刻被感染且具有傳染性的人數比例；康復人數，其比例記為r(t)，表示在t 時刻從感染者身上被帶走的人數（這部分人群既沒有感染也沒有感染，沒有傳染性者將沒有被再次感染，他們已經退出感染系統）占總人數的比例。患者日暴露率（每名患者每日有效接觸人數）為常數λ，日治愈率（每天治愈的患者占患者總數的比例）為常數μ，顯然為1/μ 的平均感染持續時間和σ=λ/μ。該模型的缺陷在于結果往往與實際結果有所不同，這是因為模型中的有效曝光率被假定為恒定的。不考慮流行病感染的潛伏期.將因人口流動帶來的n 城市感染者當前人數與原始人數的比值視為α，不考慮不同城市間人口流向n 城市的差異。

1.2 模型的建立

大多數傳染病如天花、流感、肺炎、麻疹等，治愈后免疫力強，所以痊愈的人也就是不健康（易感染）或生病（感染），表明他們已經退出了傳染病系統。在基本假設下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如圖1 所示。

圖1 易感染者從患病到移除的過程框圖

再記初始時刻的健康者和病人的比例分別是S0（S0>0）,i0（i0>0），則由（1），（2）式，SIR 模型的方程可以寫作

根據方程（3）無法求出s(t)和i(t)的解析解，但是可以通過數值計算來預估s(t)，i(t)的一般變化規律。

1.3 模型的求解

1.3.1 龍格- 庫塔算法求i(t)

從建立的模型無法直接得到s，i，r 的解析解。但是我們可以利用龍格- 庫塔算法來求得這個方程的數值解。

Runge-Kuta 算法是一類重要的用于求解非線性常微分方程的隱式或顯式迭代方法。

它是一種在工程中廣泛使用的高精度單步算法。其理論基礎來源于泰勒公式和斜率的使用近似表達式微分，預先計算積分區間內幾個點的斜率，然后進行加權平均，作為下一個一點基礎，從而構建出精度更高的數值積分計算方法。

在本模型中，我們采取較為經典的四階龍格- 庫塔方法，迭代表達式如下：

首先假定了參數μ，λ 的初值，通過龍格- 庫塔方法求解出i(t)的數值解為i(0)=0.379。

1.3.2 模擬退火算法求解i(t)的優化擬合函數

我們通過模型而解出的數值解后，做出i(t)的圖象。對比i(t)圖象與數據，很明顯地發現在實際情況和理想的函數之間存在著一定的差異，這是因為參數不合理估計引起的，我們要做的是通過不斷調整最初非計算得到的參數（μ，λ）來使

首先，我們利用先用蒙特卡洛算法迭代幾次全局去找最優的區域，得到λ∈(0.72,1.31) μ∈(0.14,0.52)，以此來盡量降低產生局部最優解的概率。得到最優區域后，我們利用matlab 中的fminsearch 函數進行迭代來求解，模擬退火得到總殘差最小也即代價最小的新參數解，λ=0.71, μ=0.2，這時，實際圖象和理論圖象有最好的貼合，如圖2 所示。

圖2 發病人數擬合函數圖像

1.3.3 灰色預測算法求解死亡率與死亡人數

對于死亡率以及死亡人數的預測，我們使用灰色預測算法進行求解。灰色預測模型所需的建模信息較少、運算較為方便、建模精度更高，所以在很多的預測領域都有著廣泛的應用，也是我們在處理小樣本預測問題上的有效工具。

對原始數據x（0）作一次累加，得到新的序列x（1），并構造數據矩陣B 及數據向量Y，有

便可以得到如圖3 所示的死亡預測統計圖。

圖3 2004-2019 死亡率統計預測圖

如圖所示，我們采取灰色模型GM（1，1），利用最小二乘法可以求出2020 年的死亡率約為0.338%，同時預測出2020年的死亡人數約為2346。

在求解死亡率中，我們假定我國人口總量保持相對不變，以此得出了該傳染病的SIR 模型，我們希望通過改變中國人口相對于2004 年人口數的比例，分析該模型對于人口發生相對變化的靈敏度。

我們設每年中國人口增長率為v，則有如下關系：

我們通過改變中國人口增長率，使其趨近于真實的人口增長變化，得到新的SIR 曲線，通過計算，在相同時間下感染率變化不超過1.3%，感染率變化對于人口波動的靈敏度較低，系統結果穩定。該模型的優點在于，對求解死亡率建立了SIR 模型，通過帶入數據擬合出最貼合的函數，準確度較高，并且通過模型的構建作為鋪墊為求解結果搭建了良好的平臺，具有一定的實用性.同時該模型還存在一定的缺點，本文建立的SIR 模型未能考慮出生率和死亡率的共同作用，將人口總數是為定值，可能會產生誤差，所以減小誤差，我們可以將SIR 模型進一步拓展，引入感染人群的死亡率為d，變為SIRD 模型，則死亡率與時間t 的關系可以表示為

其過程框圖可以表示為如圖4 所示。

圖4 DSIR 模型示意圖

拓展后的DSIR 模型對死亡人數、死亡率的分析和推測將更加精確。但是對于新冠病毒這種感染具有較長潛伏期，且癥狀可能與其他常見流行病類似的傳染病，實際模擬過程中則需要考慮更多的相關因素。

2 結論

本文通過統計并分析2004-2016 年的一系列流行病學變化趨勢，并預測2020 年全國感染該疾病的發病人數和死亡人數，我們可以得出在2004 年至2006 年間處于發病和死亡的波動時期，從2006 年開始，全國發病人數和死亡人數總體處于下降趨勢，但是仍處于相對較高水平，面對突發性傳染病的襲擊，根據對隔離參數和采取強制控制時間的要求，面對突如其來的傳染病，我們應該以預防為主、防治結合、早點發現、早點隔離。對患者和疑似患者實施第一時間隔離，第一時間治療，防患于未然，是我國衛生工作的重要方針，我國政府應加大力度，構筑醫療衛生體系，以數學模型為理論指導，建立傳染病預警機制，這對以各種傳染性疾病的控制具有十分重要的意義。