陀螺儀噪聲對軌道高低不平順檢測的影響

程朝陽 趙延峰 陳仕明 韓志 張茂軒 魏世斌

1.中國鐵道科學研究院集團有限公司基礎設施檢測研究所，北京 100081；2.中國鐵道科學研究院研究生部，北京 100081

軌道檢測是及時掌握軌道幾何形位、指導工務養護、保證鐵路安全運行的重要保障［1］。基于慣性基準法的軌道檢測一般采用光纖陀螺提供慣性基準，因此有必要分析光纖陀螺噪聲對軌道檢測的影響［2］。

衡量光纖陀螺性能的基本指標是零偏穩定性。零偏穩定性是指輸入角速率為零，采樣周期一定，陀螺輸出角速率的標準差。零偏穩定性是一個綜合指標［3］，包含多項誤差。Allan 方差法［4］是在時域上對頻域特性進行分析的方法，可估計光纖陀螺角度隨機游走、零偏不穩定性、角速率隨機游走的功率譜密度［5］。三種噪聲的功率譜密度分別與頻率f的γ次方成反比，滿足冪律譜模型，屬于1∕f γ分形噪聲，其功率譜密度的傅里葉逆變換可仿真三種噪聲的時間樣本序列。

用正弦波窄帶信號模擬軌道不平順空間連續波形，基于鏈式法則對時間和空間求導獲取該空間波形對應的角速率時間序列，進行抗混濾波、空間采樣、速度補償、高通濾波等高低不平順檢測算法流程，對比疊加噪聲的角速率通過相同算法流程的結果，可表征陀螺儀噪聲對檢測結果的影響。

1 用Allan方差估計陀螺儀噪聲功率譜密度

1.1 用Allan方差和噪聲功率譜密度的關系

令{x(t)，- ∞＜t＜∞}為各態歷經的零均值平穩過程（t為時間），樣本函數的時間平均可替代過程的總體平均，獲取過程{x(t)}的一個樣本函數xj，j=0、1、…、M，將其分成若干個連貫數組［7］，每組有連貫的n個數據點。相鄰的第k、k+1 組的平均值分別表示為

式中：tk、tk-1分別為相鄰兩組時間起始值；τ為時間差，tk=tk-1+τ。

由式（1）、式（2）可知

因為x(t)為各態歷經的平穩過程，自相關函數R(τ)與功率譜密度Sω為傅里葉變換對，且只與時間差τ有關，總平均功率與平均交流功率相同，自相關函數即為協方差，故協方差與功率譜密度為傅里葉變換對，表達式為

將式（5）代入式（4），可得

又因協方差為實函數，功率譜密度為偶函數，故Allan方差為

式（8）建立了Allan 方差和功率譜密度的關系，可有效分析陀螺各種隨機誤差［8］。

1.2 陀螺儀噪聲功率譜對應的Allan方差

基于慣性基準法的高低不平順檢測要求陀螺測量輸出的角速率在短時間內保持較高精度，故角度隨機游走是影響檢測的主要因素；同時軌道幾何檢測中陀螺儀工作時間通常較長，因此導致長期漂移誤差的零偏不穩定性和角速率隨機游走也成為影響檢測精度的主要因素［9］。本節主要對光纖陀螺的角度隨機游走、零偏不穩定性、角速率隨機游走噪聲的功率譜密度與Allan方差的關系進行說明。

1.2.1 角度隨機游走

角度隨機游走表現為陀螺輸出的角速率白噪聲。角度隨機游走反映了角速率信號中寬帶白噪聲的特性，是寬帶角速度白噪聲積分的結果，即陀螺從0時刻起累積的總角增量誤差表現為隨機游走［10］，而每一時刻等效角速度誤差表現為白噪聲。這種噪聲是服從高斯分布、具有零均值的廣義平穩白噪聲，其功率譜密度為

式中：Sω，ARW(f)為角度隨機游走噪聲功率譜密度；N為角度隨機游走噪聲功率譜密度系數。

因此，N由Allan方差表達為

1.2.2 零偏不穩定性

采樣周期較短時，光纖陀螺的零偏穩定性隨采樣周期的增大而減小。采樣周期增加到某一值時，零偏穩定性會限制在某一量級內，此時光纖陀螺輸出中的低頻漂移開始起作用，通過增加平均時間無法加以抑制。零偏不穩定性可用于描述陀螺角速率測量數據中的低頻漂移。當光纖陀螺工作時間較長時，零偏不穩定性是角誤差的主要來源。

零偏不穩定性具有低頻特性，該噪聲表現為偏置不穩定性，最簡單的表達形式為隨機常數。考慮到陀螺的動態時變特性，選擇用1∕f來模擬偏置不穩定性噪聲功率譜，其表達式為

式中：Sω，BI(f)為零偏不穩定性噪聲功率譜密度；B為零偏不穩定性噪聲功率譜密度系數。

因此，B由Allan方差表達為

1.2.3 角速率隨機游走

陀螺角加速率誤差表現為寬帶白噪聲，角速率隨機游走（Rate Random Walk，RRW）是角加速率經過積分后疊加在陀螺角速率觀測量上的一部分誤差，這類誤差的方差隨采樣周期增大而增大。積分后的角速率誤差表現為隨機游走，可通過對白噪聲的積分來近似得到，其隨機統計特性服從布朗運動特征。角速率功率譜密度表達式為

式中：Sω，RRW(f)為角速率隨機游走功率譜密度；K為角速率隨機游走功率譜密度系數。

K對應的角速率誤差S∫ωt(f)為

角速率隨機游走對應的Allan方差σ2RRW(τ)為

因此，K由Allan方差表達為

1.3 用Allan方差計算陀螺儀噪聲功率譜密度系數

按照上述分析，陀螺儀輸出角速率構成的一個樣本空間采用Allan 方差法進行處理，可以辨識出角度隨機游走、零偏不穩定性、角速率隨機游走各項誤差的噪聲系數。計算Allan方差的具體步驟如下。

①采集陀螺儀角速率靜態輸出數據，以采樣頻率f采集光纖陀螺的輸出角速率，獲取長度為L的樣本空間。

②將長度為L的樣本空間每m個數據分成一組（m＜L∕2），得到L∕m個獨立的數組。

上述步驟的Allan方差σ2(τ)計算公式為

按照上述方法采集陀螺儀靜態輸出角速率，計算Allan方差曲線，結果見圖1。

圖1 陀螺儀Allan方差曲線

用最小二乘法擬合Allan 方差曲線，獲取噪聲功率譜密度系數，結果見圖2。可知，角度隨機游走噪聲功率譜密度系數N= 12.608 2°∕h1∕2，零偏不穩定性噪聲功率譜密度系數B= 1.030 4°∕h，角速率隨機游走功率譜密度系數K= 0.060 0°∕h3∕2。

圖2 陀螺儀噪聲功率譜密度系數

2 基于FFT生成陀螺儀噪聲

2.1 陀螺儀噪聲的仿真

仿真生成角度隨機游走、零偏不穩定性、角速率隨機游走等1∕f γ分形噪聲一般有兩種方法：①利用小波［11］方法通過Karhunen-Loeve 展開式來合成；②利用FFT（Fast Fourier Transform）方法將白噪聲［12］通過一個線性濾波器，利用測定的N、B、K即可建立所有功率譜密度頻率的比例因子，采用IFFT（Inverse Fast Fourier Transform）得到分形噪聲的時間序列樣本。

本文選用第二種方法，如圖3 所示，隨機信號x(t)經線性濾波器后得到分形信號y(t)，其功率譜密度為|H(f)|2Sx(f)。

圖3 冪律噪聲仿真算法

如圖4所示，基于同一個白噪聲信號，仿真了一組功率譜密度分別為N∕f0、B∕f1、K∕f2（自上而下）的分形噪聲，分別對應陀螺儀輸出角速率信號中的角度隨機游走d、零偏不穩定性b和角速率隨機游走ωg，幅值歸一化，單位為°∕h。

圖4 分形噪聲仿真結果

2.2 仿真陀螺儀噪聲的驗證

理論上分形噪聲的功率譜系數-2～0是噪聲功率譜密度對應的傅里葉頻率f的冪，故功率譜密度線性擬合的斜率可以驗證仿真噪聲的真實性。

如圖5 所示，自上而下依次是角度隨機游走d、零偏不穩定性b和角速率隨機游走ωg的功率譜密度，仿真生成的噪聲功率譜密度為藍色曲線，其一次線性擬合的結果為紅色直線，直線的斜率即為噪聲功率譜密度的系數。

圖5 仿真冪律噪聲擬合結果

陀螺儀噪聲功率譜密度系數見表1。可知，FFT方法生成的分形噪聲的實際仿真值與理論值的最大相對誤差不超過1%，且隨著取樣點數的增加，仿真值將更接近理論值。本文所提方法的實際仿真值與理論值的最大相對誤差不超過2%。

表1 陀螺儀噪聲功率譜密度系數

將三種噪聲疊加生成陀螺噪聲信號（圖6），即為影響陀螺儀高低不平順檢測精度的主要噪聲信號。

圖6 陀螺儀噪聲仿真信號

3 高低不平順的陀螺儀信號

3.1 高低不平順陀螺儀實測信號的仿真

軌道不平順的空間曲線幅值y（單位：mm）和軌道不平順對應的陀螺儀角速率ω（前后兩空間采樣點之間的平均角速率，單位：rad∕s）的表達式分別為

式中：x為空間里程，m；λ為軌道不平順波長，m；A為軌道不平順幅值，mm；v為速度，m∕s。

3.2 陀螺儀實測信號融合噪聲

陀螺儀信號融合噪聲算法見圖7。其中，ωn為二階環節的自然振蕩頻率；s為復頻率；ωout為陀螺的輸出頻率；在忽略標度因數誤差、安裝誤差及頻帶寬度的情況下，陀螺儀信號融合噪聲后輸出為ωm，其表達式為

圖7 陀螺儀信號融合噪聲算法

4 高低不平順算法仿真

4.1 高低不平順算法（圖8）

圖8 高低不平順算法

仿真后的陀螺儀信號融合噪聲的信號ωm在通過抗混濾波、空間采樣、速度補償、高通濾波等算法流程后即可得出高低不平順。

4.2 抗混濾波及速度補償

抗混濾波H1(s)計算公式為

式中：Ω1為濾波器固有頻率，rad∕s。

時間空間的頻率對應關系為

式中：Ω為時間角頻率，rad∕s；l為空間波長，m；φ為空間頻率，1/m。

由s= jΩ及式（24），式（23）轉化為

式中：H1(φ)關于空間頻率和車速v的函數。

對于同樣的時間截止角頻率，車速不同，則對應的空間截止頻率不同。為消除速度對抗混濾波器在空間截止波長的影響，采用去移變濾波器H1(z)消除H1(s)的移變特性，計算式為

式中：a1、a2為常系數；z為拉普拉斯變換因子，z= esLi∕vi，Li為空間采樣距離，vi為采樣距離對應的車速。

則H1(z)的拉普拉斯變換表達式為

由H1(s)H1z(s) ≡1，取其物理意義為空間波長為零時滿足條件，此時Z平面的零點與S平面的極點相互抵消。H1(z)可寫成

式（28）中，H1(z)的系數中含有Ti，與列車運行速度有關，從而實現濾波特性隨車速的變化而變化。

4.3 高通濾波器

高通濾波器P(z)采用矩形窗、三角窗并聯的形式，其表達式為

式中：b1、b2、b3、p、q、r、u均為常系數，隨截止頻率變化而變化。

按照式（29）可將濾波器系統函數利用轉化為差分方程形式，或單個濾波器時域補零后卷積，二者均可快速實現該高通濾波器，25 ～ 120 m 不同截止波長的對應的幅頻特性曲線如圖9所示。

圖9 高通濾波器幅頻特性

4.4 仿真結果

按照圖8 算法流程，對于模擬的幅值為12.5 mm的正弦軌道高低不平順波形，陀螺儀疊加仿真噪聲與非疊加仿真噪聲的差值見圖10。可以看出角度隨機游走、零偏不穩定性、角度隨機游走、三種噪聲同時疊加對軌道高低不平順檢測精度的影響。可知，三種噪聲中，角度隨機游走對陀螺儀高低不平順檢測結果影響較小，而角速率隨機游走和零偏不穩定性噪聲在算法中并未受抑制，是檢測中慣性基準誤差的主要來源。

圖10 高低不平順仿真結果對比

5 結論

1）在陀螺儀軌道高低不平順檢測中，零偏不穩定性、角速率隨機游走是影響系統檢測精度的主要因素。

2）利用Allan 方差擬合出陀螺儀噪聲的功率譜密度系數，并基于該系數使用FFT 逆變換仿真符合該功率譜密度的噪聲時域信號，能夠有效仿真生成符合陀螺儀特性的噪聲。

3）陀螺儀噪聲對檢測結果的重復性具有一定影響，選取合適精度的陀螺儀，尤其是零偏不穩定性、角速率隨機游走噪聲較小的陀螺儀可有效提高檢測結果的重復性。

4）本文分析結果為軌道幾何高低不平順檢測系統的慣性組件選型提供了參考，也為提升高低不平順檢測的重復性提供了方向。慣性器件是軌道幾何檢測中的重要傳感器，也應用于超高、水平檢測項，可以基于相同思路對超高、水平檢測算法流程的慣性噪聲誤差進行分析，研究影響測量精度的主要因素。