矩陣的通俗解釋

梁鐸強 劉芳遠

摘要：本文嘗試通俗解釋矩陣，讓矩陣學習者能夠抓住學習的主線。

關鍵詞：矩陣;通俗解釋

1 前言

線性代數課程，無論你從行列式入手還是直接從矩陣入手，從一開始就充斥著莫名其妙。比如說，在全國一般工科院系教學中應用最廣泛的同濟線性代數教材（現在到了第四版），一上來就介紹逆序數這個古怪概念，然后用逆序數給出行列式的一個極不直觀的定義，接著是一些簡直犯傻的行列式性質和習題——把這行乘一個系數加到另一行上，再把那一列減過來，折騰得那叫一個熱鬧，可就是壓根看不出這個東西的用途。為了改變這種情況，本文研究了如何通俗解釋矩陣。

瑞典數學家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中說：“如果不熟悉線性代數的概念，要去學習自然科學，現在看來就和文盲差不多。然而“按照現行的國際標準，線性代數是通過公理化來表述的，它是第二代數學模型，這就帶來了教學上的困難。” [1]

矩陣是大部分本科生都要接觸的數學，也是老三高的難點之一。矩陣對他們非常重要，為此通俗解釋矩陣對于矩陣學習也是很有必要的，。

2 正文

我們在課堂上進行了嘗試，發(fā)現效果不錯。具體教法如下。

1） 空間是一個集合。我們最熟悉的是歐式空間，我們常用的是歐式空間的高維推廣得出的空間，即希爾伯特空間。空間（space），這個概念是現代數學的最重要的概念，從拓撲空間開始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線形空間其實還是比較初級的，如果在里面定義了范數，就成了賦范線性空間。賦范線性空間滿足完備性，就成了巴那赫空間;賦范線性空間中定義角度，就有了內積空間，內積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間。總之，空間有很多種。某種空間的數學定義，大致都是：存在一個集合，在這個集合上定義某某概念，然后滿足某些性質，就可以被稱為空間。這未免有點奇怪，為什么要用“空間”來稱呼一些這樣的集合呢？大家將會看到，其實這是很有道理的。最熟悉的空間，毫無疑問就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對時空觀）的三維空間，從數學上說，這是一個三維的歐幾里德空間，我們先不管那么多，先看看我們熟悉的這樣一個空間有些什么最基本的特點。

2） 1、2、3維的歐式空間分別是直線、面、體。詳細說來，0維，是一個點;1維，是點的無限重疊，即一條線;2維，是線的無限重疊，即面;3維，是面的無限重疊，是立體;

3） 對于空間上的每一個點，都可以看做是一個向量。比如1這個點，可以看作是起點為原點，終點為1的一個（有方向，有長度）向量。在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向;線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向;

4） 我們假設線就是y=0的面，這么說的話，原點就是0到0的向量，用[0，0;0，0]表示。1點就是0到1的向量，用[0，0;1，0]表示。-1點就是0到-1的向量，用[0，0;-1，0]表示;

5） 我們發(fā)現，點就是向量，向量用矩陣表示，這種表示方法是唯一的，所以得出第一個解決，向量可以用矩陣表示。

6） 空間中物質的位置變化，可以看做是從一個點到另一個點的變換。換句話說，我們把物質從1點移到-1點。那么，[0，0;1，0]才能變成[0，0;-1，0]，我們嘗試矩陣的乘法，發(fā)現[-1，0;0，-1]左乘[0，0;1，0]，就得到[0，0;-1，0]。那么這個操作就相當于[-1，0;0，-1]。我們可以看出，操作就是運算，運算就是算符，算符可以用矩陣表示[2]。

7） 我們再考察2、3等這些點，顯然，用矩陣表示就是[0，0;2，0]，[0，0;3，0]等。它們和[0，0;1，0]很像啊，沒錯，我們可以把[0，0;1，0]看做是最基本的東西（我們暫且稱為基），那么向量就可以以這個基為基礎，乘以一個矩陣便可以得出整個向量的矩陣形式。比如[0，0;2，0]，我們可以以[0，0;1，0]為基，左乘一個矩陣[2，0;0，2]。所以我們說，坐標基可以用矩陣表示[3]。

8） 綜上，向量、算符、坐標基都可以用矩陣表示。天啊，整個數學不就是一個矩陣的本征方程么？是的，所有數學就是一個本征方程。

9） 我們從直線擴展到面，我們會發(fā)現，一個向量A進行了一個操作S，之后再進行整個操作的逆操作S^（-1），那相當啥也沒做，用SA S^（-1）=B表示。那么我們說A和B的操作是等效的（我們稱S是相似變換矩陣），但是A和B的值不同，是不是出事了？沒事，A和B的值不同，但A和B的本征值是一樣的，你隨便一個向量C（當然維數要匹配），你會發(fā)現，AC=BC。

10） AC=BC？不可能！對的，你說的沒錯。但你只要把AC和BC都用同一基E表示的時候，它們的左乘矩陣是一樣的。

11） 那么，AC和BC都用同一任意表示的時候，情況是否一樣呢？答案是顯而易見的。因為其他任意基D和基E的關系顯然是唯一的，當然這個唯一是說它的左乘矩陣的本征值一樣[4]。

12） 因此我們可以得出結論，同一個變換，在不同的坐標系下表現為不同的矩陣，但是它們的本質是一樣的，所以本征值相同[5]。

13） 后面，我們還會知道，矩陣的本征值之和等于矩陣跡，本征值之積等于矩陣行列式。群用矩陣表示，群的很多特點和矩陣的特征標有關[6]。

按這條思路講解矩陣，學生反應不錯。

3 結論

本文對矩陣進行了通俗解釋。通過簡單的實例也可以讓復雜的矩陣理論變得通俗易懂。通過通俗解釋，學生更容易入門，對線性代數的興趣更加持久。

參考文獻

[1]北京大學數學系兒何與代數教研室代數小組.高等代數.第二版，北京：高等教育出版社，1988

[2]蔣爾雄，高坤敏，足景琨.線性代數.北京：人民教育出版社，1978呂炯興.矩陣論.北京：航空工業(yè)出版社，1993

[3]孫繼廣.矩陣擾動分析.北京：科學出版社，1987

[4]陳公寧.矩陣理論與應用.北京;高等教育出版社，1990

[5]羅家洪.矩陣分析引論.廣州：華南理工大學出版社，1992

[6]周樹荃，戴華.代數特征值反問題.鄭州：河南科學技術出版社，1991

（2019年度廣西工業(yè)職業(yè)技術學院教科研項目《以技能比賽為導向的建筑室內設計專業(yè)課程體系建設研究》

項目合同編號：桂工業(yè)院科研2019015KY015）

（2021年度廣西高校中青年教師科研基礎能力提升項目《虛擬現實技術在廣西少數民族室內設計中的應用研究》

項目合同編號：2021KY1264）