基于可靠度的鋼桁架拱橋施工期間扣索索力優化研究*

康俊濤，趙子越

武漢理工大學土木工程與建筑學院，湖北 武漢 430070

當前斜拉扣掛法已經大范圍應用于鋼桁架拱橋的施工中，由于結構材料的隨機性，施加的載荷以及行為模型中的錯誤引起的不確定性是不可避免的，在設計中必須考慮這些以確保結構安全性和可靠性，所以扣索索力優化是典型的需考慮不確定因素的多目標優化問題。國內外學者采用了不同的方法求解斜拉扣掛施工的扣索索力，研究橋型多為鋼管混凝土拱橋，且大多數的研究都是基于結構參數完全確定性的假設。朱誼彪等［1］采用二次多項式回歸的響應面模型作為代理模型并結合非線性回歸的方法求解鋼管混凝土拱橋扣索索力。徐岳等［2］提出了一種改進的迭代算法，以達到理想線形為目標確定扣索索力。涂光亞等［3］以一次落架的成拱線形作為目標，結合影響矩陣法求解鋼管混凝土拱橋的扣索索力。以上方法均是以單一的線形為目標沒有直接兼顧到結構受力方面，同時也沒考慮到施工過程中的各種隨機性。基于可靠度的優化可以考慮不確定性因素的影響，Jin Cheng 等［4］提出了一種針對基于可靠性的優化問題的混合遺傳算法，并應用于一個主跨為500 m的大跨度鋼桁架拱橋。Jin Cheng［5］提出了一種基于人工神經網絡結合一階可靠性方法（FORM）來解決逆可靠性問題的方法。

但以上優化方法都是針對單一目標進行優化，若選擇多個目標進行優化將會使得結構更加合理。本文提出了一種基于可靠性的多目標優化方法。將可靠度作為優化的約束條件，對結構應力、線形或經濟成本進行多目標優化，最終得到最優解集，再結合實際工程情況從中選擇一個解，這樣在保證結構可靠性同時也起到對結構優化的作用。

1 基于可靠度的多目標優化方法

基于可靠性的優化是可靠度計算與設計優化算法相結合的方法。一般包含兩個循環：一個用于優化設計的外循環和一個用于可靠性分析的內循環。在結構可靠度分析模塊，本文首先采用拉丁超立方體抽樣法抽取樣本點，帶入有限元計算模型獲得目標函數值；采用支持向量回歸建立代理模型，之后利用一次二階矩法分析結構的可靠度指標。優化部分包含兩個步驟：擬合目標函數、約束函數及多目標粒子群優化。

1.1 基于支持向量機的可靠度計算方法

常用的計算可靠度的方法有蒙特卡洛法和近似可靠度計算方法，如一次、二次可靠度計算方法。前者需要大量抽樣以保證可靠度計算精度，后者需要功能函數的顯式表達式。由于蒙特卡洛法用于基于可靠度的優化計算時需大量的抽樣嚴重影響計算效率，本文采用一次可靠度方法計算可靠度。

對于鋼桁架拱橋這類較復雜的結構，施工期內力、應力位移等數據的顯式函數是很難得到的。蒙特卡洛法則需要大量抽樣，利用有限元軟件反復計算效率太低，故需要利用合適的代理模型來代替復雜的有限元以提高計算效率。常用的方法如二次響應面法、神經網絡、Kriging、支持向量回歸等，其各有優劣：二次響應面非線性擬合功能較其他幾種方法較差；Kriging 法由于擬合函數無法很好地顯示表達不能與一次可靠度方法配合使用；神經網絡具有網絡拓撲結構設計缺乏有理論依據的嚴格設計程序、局部收斂和過擬合等缺點，這些缺點容易影響計算結果的精度，造成計算迭代過程的不穩定［6］。支持向量回歸基于結構風險最小原則，不受樣本數量的限制，具有很出色的小樣本學習能力［7-8］，本文選取支持向量回歸結合一次可靠度的方法求解可靠度。

由以上的功能函數以及一階偏導的函數表達式，結合一次可靠度方法即可求得可靠度。

圖1 SVM參數尋優流程圖Fig.1 SVM parameter optimization flowchart

1.2 基于粒子群算法的多目標搜索算法

多目標粒子群優化算法（MOPSO）相較粒子群優化算法（PSO）算法通過增加外部儲備集保存算法迭代過程中出現的非劣解，采取適當的更新策略更新每一次迭代中的pbest（個體引導者）、gbest（全局引導者）和外部儲備集來解決多目標問題。為了維護所得非劣解的多樣性及保證這些解是沿著Pareto 前端均勻伸展的，采用基于自適應網格法的多目標粒子群算法。

外部儲備集即非劣解集的更新主要分為三個步驟：①每次迭代后所得粒子與當前非劣解集中的非劣解按Pareto 占優準則比較，若存在支配解或非劣解則添加至非劣解集中。②每次迭代更新后的非劣解集，若存在受支配解時將其剔除。③若非劣解集中粒子數量超出上限，則利用自適應網格法將擁擠程度高的粒子隨機剔除。

在進行種群初始化時，隨機生成粒子的位置x和速度v，粒子速度和位置更新模塊根據文獻［9］的方法進行。

1.3 基于可靠度的多目標優化算法模型

本文建立的基于可靠度的多目標粒子群優化模型為

其中Xn=[x1，x2，…，xn]T表示設計變量組成的向量；fobji(X)表示各目標函數（結構的總花費、截面面積、內力應力、位移等）；fi(X)表示約束函數，為結構的某個可靠度指標；-βi表示第i個設計指標要求的可靠度。

該優化過程主要分為兩部分：1）可靠度分析流程，包括①利用拉丁超立方抽樣法并結合隨機變量的特征及概率分布生成隨機樣本；②利用有限元軟件計算各組樣本對應的極限狀態函數值；③利用樣本訓練極限狀態函數的SVR 代理模型，并測試其精度；④采用一次可靠度方法并結合代理模型求解可靠度指標。2）基于代理模型的多目標粒子群優化，包括：①確定需要優化的設計變量，以及目標函數的指標以及用于約束條件的可靠度指標；②初定設計變量的優化區間，根據實際案例選擇優化區間，一般可選擇以當前設計方案X0為中心，優化區間為[Xmin，Xmax]；③采用LHS抽樣方法，在優化區間抽取設計變量樣本點。結合有限元模型，計算每個樣本點的優化指標，得到相應的優化指標樣本數據；④利用擬合函數擬合設計變量與目標變量的函數關系式；⑤將④中得到的函數關系式作為目標函數并將上述可靠度分析結果作為約束函數，進行多目標粒子群優化求解。具體流程如圖2所示。

圖2 基于可靠度的多目標優化模型流程圖Fig.2 Flowchart of reliability based multi-objective optimization model

2 算例分析

本節利用一個平面簡支桁架模型結構作為數值算例，使用前文所述的可靠度分析方法以及多目標優化方法進行優化設計。采用ANSYS 有限元軟件中的Beam3 梁單元來建立桁架模型，模型由21 個單元和12 個節點組成，總跨徑為6 m；采用圓形截面，截面面積為0.002 m2；在桁架跨中處施加200 kN 集中力；桿件質量密度的設計值為2 500 kg/m3。桁架模型如圖3所示。

圖3 平面桁架示意圖Fig.3 Schematic diagram of plane truss

其中桿件分為3 類即上弦桿、下弦桿和腹桿。選取了6 個隨機變量，其中Ai表示第i種桿件的彈性模量；Bi表示第i種桿件的面積。假設上述變量之間均無相關性，其中6 個變量分布情況如表1所示。

表1 隨機變量統計特征Table 1 Statistical characteristics of random variables

三類桿件的初始截面面積均為0.002 m2，選取桿件的應力作為可靠度的研究對象，材料的容許應力值取為σ= 160 MPa。

2.1 可靠度分析

同時采用五種方法來求解可靠度：（1）直接蒙特卡洛法，采用拉丁超立方抽樣500次帶入有限元模型計算得出可靠度（MC）；（2）采用二次響應面為代理模型，并結合FORM 求解可靠度（RSM+FORM）；（3）采用BP 神經網絡為代理模型結合FORM 求解可靠度［10-11］（BP+FORM）；（4） 采用SVR 作為代理模型并結合FORM 求解可靠度（SVR+FORM）；（5）采用SVR 作為代理模型并結合蒙特卡洛求解可靠度（SVR+MC）。圖4 顯示了不同樣本下各種方法所得下弦桿的可靠度數值的變化趨勢。

圖4 五種方法不同樣本數量下可靠度計算結果Fig.4 Calculation results of reliability using 5 methods and different quantities of training samples

由圖4可看出，直接蒙特卡洛法與二次響應面模型結合FORM的方法計算誤差都很大，而其他三種模型在樣本數量大于200時效果相差不大，SVR模型在樣本數量小于200時波動較小，擬合效果略好于BP 神經網絡。而，SVR 結合蒙特卡洛法，與SVR結合FORM 的方法計算結果幾乎一致，誤差很小，而SVR 結合FORM 的方法的計算效率明顯優于蒙特卡洛法。故選擇SVR 結合FORM 的方法計算可靠度。

最終計算所得的三類桿件的可靠度分別為1.14、6.535、11.64。分析可知下弦桿失效概率為17.1%，存在較大的安全隱患，有必要對其進行可靠度的優化。

2.2 基于可靠度的優化

在提高可靠度的同時，需要考慮其經濟性和跨中的撓度。為了達到上述優化目的，本文對三類桿件的面積進行優化，提高可靠度的同時使得結構總質量以及跨中位移盡量減小，建立多目標優化模型

模型中B1，B2，B3表示三類桿件的截面面積；δ(x)為桁架結構跨中豎向位移；W(x)為結構總體積； min[fbbeta(X)]為優化約束函數，表示三類桁架桿件的應力可靠度的最小值應滿足設計要求β0，本文中β0取值為2.5。表2 為算法搜索到的非劣解集合。

表2 非劣解集Table 2 Pareto solutions

由上述結果可看出非劣解集中跨中位移值均在區間［6.582 mm，9.222 mm］，結構總體積在區間［0.065 9 m2，0.090 5 m2］，跨中撓度容許值為l/1500 = 8 cm，故選擇第一組解。對優化前后進行對比，結果如表3。

表3 優化前后對比Table 3 Comparison before and after optimization

由表3可知，通過優化后的結果可以看出，下弦桿的可靠度指標由1.143 增加至2.664，最小可靠度為2.664，對應的失效概率為0.1%；同時總體積由0.093 9 m2減小至0.075 7 m2，相對于初始狀態減少了約19.4%。跨中位移由于腹桿面積的減小導致略有增大，但也小于l/1500 即8 mm，故優化后結構可靠性大大提升，材料節約19.4%，同時跨中位移也滿足要求，優化效果顯著。通過算例驗證了本文提出的基于可靠度的多目標優化方法的可行性，同時采用SVR代理模型結合FORM計算可靠度提高了計算效率，且計算精度好于二次響應面，略好與BP神經網絡。

3 鋼桁架拱橋扣索張拉方案優化

3.1 工程概況

某下承式鋼桁架拱橋主橋跨徑布置為（70 m+240 m+70 m），主橋拱肋由2 片拱肋桁架和8 道橫聯組成，2 片拱肋桁架橫向中心間距38.2 m。每片拱肋桁架由上弦桿、下弦桿和腹桿組成，在拱頂處上、下弦桿豎向中心間距7 m。下弦桿采用拋物線方程，矢高54 m，矢跨比1/4.444，上弦桿采用二次拋物線和圓曲線相結合，見圖5。

圖5 鋼桁架拱橋立面圖Fig.5 Elevation drawing of the steel trussed arch bridges

本案例橋梁使用斜拉扣掛法和纜索吊裝施工技術，先依次對稱吊裝拱肋及風撐直至拱肋合龍，再由邊跨向中跨對稱施工主梁至主梁合龍。施工期間扣索索力承擔了大部分拱肋的重量，扣索可以增加施工過程中結構的剛度、減小主結構的內力，施工過程中的標高控制也與索力息息相關。而在施工過程中存在許多不確定性因素，可能會出現扣索失效的情況，所以施工過程扣索的可靠性分析尤為重要。故將三根扣索的初張力作為待優化變量F1，F2，F3。

3.2 扣索可靠度分析

影響施工期扣索索力大小的因素有很多，本文選取鋼梁重度γg，鋼梁彈性模量Eg，1#、2#、3#扣索的初張拉力F1、F2、F3，以及三根扣索的抗力R1、R2、R3。

在施工進行期間，影響扣索抗力R的影響因子有很多，依據并結合鋼桁架拱橋施工方案已基本確定的條件下，考慮影響較大的設計變量，為：扣索材料特性的不確定性、扣索截面幾何參數的不定性和計算模式的不確定性，分別用隨機變量KM、KA、KP表示。依據文獻［12］，考慮KM、KA、KP均服從正態分布，KM的均值和方差為1.14、0.024；KA的均值和方差為1.13、0.14；KP的均值和方差為1、0.10。得到扣索的抗力模型

式中fk為扣索抗拉強度標準值，扣索材料采用抗拉強度為1 860 MPa 的鋼絞線。按設計方案三根扣索的規格分別為15φ15.2，18φ15.2，18φ15.2。由此可以確定三根扣索的抗力的統計特征。根據以上分析并結合參考文獻［13］的統計結果，上述5種因素的統計特征如表4所示。

表4 隨機因素統計特征Table 4 Statistical characteristics of random variables

由圖6可知，由于施工順序的推進，扣索索力呈現一定的變化趨勢：1#扣索在安裝2#風撐階段扣索索力達到最大，之后由于2#扣索的張拉導致1#扣索部分松弛；同理2#、3#扣索分別在安裝7#拱肋及安裝9#拱肋時達到最大，且在扣索索力調整時，索力變化趨勢依舊如此。由于三根扣索在扣索索力最大最不利，易達到極限狀態，于是將最大索力fi(x)作為目標函數值。

圖6 不同施工階段扣索索力變化趨勢Fig.6 The trend of the tension of buckle cable at different construction stages

故極限狀態方程為

式中ri(x)為第i根扣索的抗力，fi(x)為第i根扣索施工過程中達到的最大索力。

采用拉丁超立方抽樣的方法抽取200 組數據，五個變量取值范圍為[μ- 3δ，μ+ 3δ] （μ、δ分別表示隨機變量的均值與標準差），并結合有限元分析得出目標值作為樣本（其中180 個作為訓練樣本，20 個作為測試樣本）。其中，fi(x)由180 個訓練樣本結合支持向量回歸擬合得到，并與二次響應面的方法和神經網絡方法對比。代理模型預測值與抽樣點的匹配程度由誤差平方和S確定。

初始張拉方案下，1#、2#、3#扣索的初張拉力分別為2 500 kN、3 500 kN、3 000 kN。將SVR和FORM 結合的可靠度計算方法，與SVR 模型和107次蒙特卡洛抽樣結合計算所得的可靠度指標對比，結果如表6所示。

由表6可知，兩種方法計算可靠度結果誤差很小，SVR和FORM結合計算可靠度的方法可以保證計算精度，且計算效率大大提高。目前，針對施工期PC剛構橋的目標可靠度指標，有關規范［14］并沒有明確的規定。根據美國AASHTO 規范［15］，施工期結構的可靠度指標為3.5，而對于扣索這類臨時結構，可靠度大于2.5 時失效概率就小于0.62%，可以滿足施工安全的要求，故取容許可靠度指標為2.5。由以上計算結果可知，1#、2#扣索可靠指標較小，均小于2.5。但，2#扣索失效概率為7%，存在較大安全隱患，應對索力進行優化。

表5 誤差平方和計算結果Table 5 Sum of squares of error

表6 扣索可靠度指標計算結果Table 6 Reliability index of the buckle cable

3.3 基于可靠度的扣索索力優化

為保證結構的施工安全和正常使用，需要采取措施控制扣索的失效概率，同時還應兼顧到應力和成橋線形，本文通過調整3根扣索的張拉力對應力及線形兩個目標進行優化，同時保證扣索可靠度指標在2.5以上。

其中，應力考慮施工至合龍時結構最大應力，通過有限元分析可知，最大應力出現在拱腳下弦桿處的應力。對于斜拉扣掛施工的拱橋線形優化，可取計入預拱度的拱肋坐標線形為目標安裝線形，即以計入預拱度的坐標建立有限元模型，則施工至全橋合龍拆除扣索后，若各關鍵節點處于設計位置，即認為滿足合龍目標線形要求［16］。因此取施工至成橋階段1～17#吊桿處橋面高程與設計高程的偏差的范數為待優化的目標函數，當位移值為0時，則表示完全滿足合龍目標的線形要求。位移值越小表示線形越好，越有利于施工時的位移控制，既保證拱肋變形不至太大，又為以后的線性規劃提供充足的可行域。

建立多目標優化模型

模型中σ(x)為拱腳處的最大應力；h(x)為線形優化目標函數；Δi(x)為施工至成橋階段第i#吊桿處實際高程；Δi為第i#吊桿設計高程；min[fbbeta(X)]為優化約束函數，表示三根扣索的可靠度的最小值應滿足設計要求β0，本文中β0取值為2.5；|X0|為優化初始值。通過多目標粒子群進行優化，表7為算法搜索到的非劣解集。

表7 非劣解集合Table 7 Pareto solutions

由上表可知，非劣解線形目標大多集中在21.3 cm＜h(x)＜26.7 cm，而應力非劣解多集中在135 MPa ＜δ(x) ＜142 MPa。考慮到應力變化較小且富裕度較大，故選擇線形優化較為明顯的解的第7組解，同時保證一定的應力優化，選擇其中一個非劣解，1#、2#、3#扣索初張力分別為2 172 kN、1 542 kN、1 867 kN。在實際施工中，1#、2#、3#扣索張拉值為2 128、1 606、1 930 kN，實際張拉值與優化后張拉理論值誤差均不超過5%。優化前后施工至拱合龍肋階段位移誤差的理論計算值以及實測值如圖7所示。

由圖7可知，優化后的理論線形誤差相較于優化前明顯降低，且由于2#扣索的索力調整較大，導致8-12#吊點處的線形優化較為明顯。同時施工至拱肋階段時，實測的線形誤差與優化后的理論值誤差大致吻合。各吊點處實測線形與設計線形最大誤差為19 mm，基本滿足線形控制的要求。

圖7 線形優化前后對比Fig. 7 Comparison of bridge line before and after optimization

從表8可以看出，優化后三根扣索的可靠度均大于2.5，且2#扣索可靠度由1.477 增加至2.616，可靠度最小的1#扣索失效概率為0.41%。優化后的失效概率在1%以內，對于扣索這類臨時結構可以滿足施工的要求，保證了施工的安全。同時線形累計誤差由29.3 cm 降低至21.3 cm，最大拱腳處應力由140.6 MPa 減小至138.7 MPa。通過扣索初張力的優化使得扣索可靠度滿足要求，線形也有了明顯的優化，同時拱腳最大應力相對于原方案略有減小，并未造成整體結構受力性能的降低。

表8 各項指標優化前后對比Table 8 Comparison of indicators before and after optimization

4 結 論

1）使用支持向量機與一次可靠度計算方法求解可靠度，與蒙特卡洛法相比大大提高了效率，且對于小樣本問題其計算精度優于神經網絡與一次可靠度結合的方法。

2）將基于可靠度的優化與多目標優化結合起來，可同時優化多個目標函數，并考慮結構中不確定因素的影響，優化得出的不再是唯一解而是非劣解集，可以供決策者根據具體情況選擇合適的解，較僅考慮單一目標的優化更加合理。

3）將上述方法應用于某下承式鋼桁架拱橋的扣索索力優化，保證扣索可靠度指標均大于2.5的前提下線形累計誤差減小約27.3%，同時優化了結構應力。該方法也同樣適用于鋼桁架拱橋的成橋狀態索力的確定。