一類變指數離散二階系統的周期解*

張申貴

西北民族大學數學與計算機科學學院，甘肅 蘭州 730030

差分方程主要來源于微分方程的離散化，許多實際問題中都涉及到大量差分方程模型，這些模型廣泛地出現在信息科學、金融學和生物遺傳學等科學領域。

臨界點理論是非線性泛函分析的重要分支，許多基于臨界點理論的分析方法已成為研究具有變分結構的算子方程可解性的有效工具，如極小極大方法、下降流不變集結合單調迭代的方法、移動平面法、Nehari 流形方法和指標理論等。Guo 等［1］建立了二階差分方程周期解問題的變分結構，并利用鞍點型臨界點定理得到了二階差分方程周期解的存在性。隨后，該問題引起了學者的興趣，很多學者開始利用臨界點理論研究離散二階系統對所有(k，x)∈Z×RN成立。文獻［5-6］中得到了系統（1）周期解和多重周期解的可解性定理。文獻［7］利用指標理論得到了非線性二階差分方程邊值問題多重解的存在性結果。文獻［8］應用Schaefer 不動點定理獲得了一類分數階差分方程解的存在性結果，同時得到了方程的解具有Ulam穩定性。

本文研究變指數離散二階系統

本文中，先將系統（3）的周期解轉化為定義在離散變指數Sobolev 空間上一個泛函的臨界點。對比已有研究，問題（3）對應的能量泛函的形式的選取是不同的。再利用臨界點理論中的極小作用原理和鞍點定理證明變指數離散二階系統（3）至少一個T-周期解的存在性定理。

1 準備知識

2 主要結果

定理1 設條件（M1），（H），（F1）和（F2）成立，則問題（3）有一個T-周期解。

定理2 設條件（M1），（M2），（H），（F1）和（F3）成立，則問題（3）有一個T-周期解。

類似于式（9）的證明有

由條件（M1）和式（11），有

又由式（6）得

由條件（M2）和式（12）有

綜上所述，泛函φ滿足引理4（鞍點定理）中所有條件。由引理4 知，泛函φ至少有1 個臨界點，從而問題（3）至少有一個T-周期解。