隱含隨機波動率模型：構建由數據驅動的金融衍生品定價模型

隨機波動率建模是金融計量經濟學和金融工程學領域中的重要進展之一。本文介紹的 “隱含隨機波動率模型”，基于觀測到的隱含波動率曲面信息，來客觀且直接地構建由數據驅動的金融衍生品定價模型。這一發現可廣泛應用于各種類型標的資產期權，助力交易決策和風險管理，進而對我國金融衍生品發展具有重要指導意義。

金融衍生品市場

在國際和國內金融市場的發展中，金融衍生品在對沖基金、風險管理、優化資源配置、提高金融創新能力、有效地增加市場流動性等方面發揮著重要作用。特別是，隨著我國經濟對外開放和滲透全球市場的程度以及經濟市場化程度的提高，經濟不確定性的上升導致企業和金融機構等市場參與者對于風險管理的需求隨之攀升。近年來我國金融市場正在迎來金融衍生品的發展機遇。以滬深300交易所交易基金（Exchange Traded Fund，簡稱ETF）期權為例，在2020年新冠肺炎疫情期間，“黑天鵝”事件頻發，我國股票市場行情波動加大，投資者不僅面臨方向性風險，也面臨波動性風險。但是滬深300ETF期權在自身穩定運行的基礎上，有效發揮了“保險”功能，特別是作為下跌“保險”的看跌期權，其成交、持倉占比均持續走高，體現了期權積極滿足市場避險需求的作用。又如，我國也在大力發展如貸款市場報價利率（Loan Prime Rate，簡稱LPR）期權等利率衍生品，這將彌補中國利率市場中期權產品的空白，對未來整個人民幣衍生品市場的創新和發展都具有深遠意義。

隨機波動率建模：從經典方法到創新理念

隱含波動率（Implied Volatility）是市場參與者衡量期權和其他嵌入了期權的金融資產價格的一種通用標度。成功地進行期權定價的關鍵在于建立可以充分擬合隱含波動率曲面的隨機模型。而在以往的金融計量經濟學與金融工程學的研究和實踐中，為了便于實施無套利定價，自然要從標的資產的價格出發進行建模，而此時對于隱含波動率的刻畫和建模往往是間接的，如使用針對標的資產價格及其波動率建立的隨機波動率（Stochastic Volatility）模型。

隨機波動率建模是金融計量經濟學和金融工程學領域中繼布萊克-舒爾斯-墨頓（Black-Scholes-Merton，1973）期權定價理論（1997年諾貝爾經濟學獎所表彰的工作）之后最重要的進展之一。赫斯頓（Steve Heston）在其1993年題為《隨機波動性期權的顯式解及其在債券和貨幣期權中的應用》（A Closed-form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options）的著名論文中，較早地提出了此類模型的典范，這篇文章發表于《金融研究評論》（Review of Financial Studies），并長期躋身于該期刊所發表論文中的高被引文章行列，在學術研究和實踐中均影響深遠。這類傳統的建模方法需要首先假設并處理模型的具體而又特定的數學表達形式，之后再進行模型參數校準（Calibration）或者參數估計（Estimation）。因此，對于擬合隱含波動率數據而言，這樣的模型構建過程是相對主觀和間接的。此外，這類建模方法通常需要在數學易處理性和實證表現這兩者之間做出權衡。然而，越來越多的研究顯示，要解釋真實交易數據的統計特性，與數學上較難處理的模型相比，一些分析上易處理的模型往往并不能夠產生令人滿意的實證表現。

那么，一個創新的想法自然就是，如何基于觀測到的隱含波動率曲面信息，來客觀且直接地構建由數據隱含的隨機波動率模型，使得該模型自動地擬合隱含波動率曲面的形狀規律與動態演化過程，從而在盡可能靈活而豐富的模型框架下進行期權定價。

《隱含隨機波動率模型》一文針對該問題進行了開創性的探索，為隨機波動率建模帶來了全新的理念，使其呈現出前所未有的“人工智能化”與“機器學習化”。

理論根基：從隱含波動率曲面到模型系數函數

文章應用連續時間金融計量方法和技術，成功地構建了隱含隨機波動率模型（Implied Stochastic Volatility Model）。其首先假設標的資產價格和其波動率服從一般的隨機波動率模型，模型中的漂移（Drift）和擴散（Diffusion）項的函數均為一般化的形式，它們有待推斷確定[而非大量文獻中人為假設的具體參數化形式，參見例如Heston（1993）]。進而建立了這些未知函數和隱含波動率曲面之間的聯系，即將這些未知函數通過波動率曲面上可觀測的幾何特征表達出來，如平價（At-the-Money）短期限情形下的曲面高度（Level）、斜率（Slope）以及凸性（Convexity）等。

這一理論貢獻依賴于筆者系統性、創新性地基于馬利亞萬（Malliavin）隨機分析理論提出并發展的針對任意連續時間隨機微分方程模型的顯式漸進展開（Asymptotic Expansion）理論和方法。此方法的“雛形”可參見筆者較前期獨立撰寫發表的論文，例如2013年發表在統計學國際頂級期刊《統計年刊》（Annals of Statistics）上題為《通過顯式密度展開進行擴散過程的最大似然估計》（Maximum-likelihood Estimation for Diffusion Processes via Closed-form Density Expansions）的論文;2014年發表在運籌學國際頂級期刊《運籌學數學》（Mathematics of Operations Research）上題為《顯式展開、條件期望和期權定價》（Closed-form Expansion，Conditional Expectation，and Option Valuation）的論文;以及于2021年合著發表于計量經濟學國際頂級期刊《計量經濟學雜志》（Journal of Econometrics）上題為《帶跳躍的隨機波動率模型的顯式隱含波動率曲面》（Closed-form Implied Volatility Surfaces for Stochastic Volatility Models with Jumps）的論文。此方法靈活有效，可以突破以往大量研究中模型設定帶來的局限性，適用面寬廣，為在復雜而盡可能接近現實的模型下進行金融衍生品定價和相關的計量經濟學實證分析提供了有力工具。

實證方法：構建隱含波動率曲面數據驅動的隨機波動率模型

基于上述模型和隱含波動率之間的理論關系，即可“構建”與模型系數函數相應的觀測數據。進而，自然地使用非參數回歸（Nonparametric Regression）技術來實現對于這些未知函數的非參數估計，從而客觀地推斷模型應有的形式。這樣即實現了隱含波動率曲面數據（衍生品價格相關數據）和標的資產價格隨機波動率模型的直接對接，實現了建模過程的“數據驅動”化。文中的蒙特·卡羅（Monte Carlo）模擬以及基于標普500指數期權數據的實證研究，表明了方法是成功且穩健的;實證結果證明其擁有較好的樣本外表現。特別是，應用2007年至2011年這一跨越2008年全球金融危機的時間段的數據和金融危機之后的2012年至2017年時間段的數據，分別構建隱含隨機波動率模型，實證結果顯示出應有的敏感度和穩健性，進而從金融計量經濟學角度為此次金融危機提供了一些理解。

數據驅動的金融衍生品定價模型

《隱含隨機波動率模型》一文提出的方法可被廣泛地應用于基于各種類型標的資產的期權（例如股票期權、股指期貨期權、利率期權等）。特別是，在我國金融衍生品市場逐步發展的當下，也無疑會提供一種新工具，可有助于探索和建立適應我國市場的新模型，從而助力交易決策和風險管理。隱含隨機波動率模型的研究充分體現了，當前在大數據時代的管理科學研究中應注重數據驅動（Data-driven）建模的理念，同時兼顧理論發展和實際應用，在相關的學術和實踐領域正在產生積極影響。筆者期待《隱含隨機波動率模型》一文能對后續系列研究帶來啟發。

（李辰旭為北京大學光華管理學院教授。原論文《隱含隨機波動率模型》（Implied Stochastic Volatility Models）由作者與普林斯頓大學教授Yacine A t-Sahalia等合作完成，刊發于《金融研究評論》（Review of Financial Studies）2021年1期。本文編輯/孫世選）