基于先驗信息和一維數據聚類的專家賦權方法

易平濤, 王士燁, 李偉偉, 王 露, 董乾坤

(東北大學 工商管理學院,遼寧 沈陽 110167)

0 引言

綜合評價通常基于多指標體系結構，對被評價對象進行客觀、公正、合理的全面評價[1,2]。多屬性群體評價作為綜合評價的一個重要分支，在經濟、社會、管理、科技等諸多領域被廣泛應用。面對日益復雜的評價問題，通過群體評價匯集多位專家的知識、經驗等解決復雜評價問題，是諸多專家學者研究的一個重要方向。截止到目前，國內外學者針對群體評價的問題展開了持續討論并取得了豐盛的成果。如，李貴清等[3]根據語言評價標準提出的大規模群體評價方法；董慶興等[4]從雙重反饋的視角出發，對語言型動態群體評價問題提出了解決方案；張發明等[5]從網絡視角出發，對動態交互式的群體評價進行了信息集結的探索，并有效地集結群體意見；Sujit Das等[6]提出了一種利用中性軟矩陣(NSM)和專家相對權重來求解群體決策問題(GDM)的算法；Soumava Boral等[7]提出一種新的混合多準則群決策方法。

合理確定專家權重是多屬性群體評價需要解決的重要問題。目前，有學者對該問題從不同方面展開了深入討論。如，何立華等[8]根據聚類的思想，從類內和類間兩個視角刻畫專家權重；王新鑫等[9]提出專家對應準則擴充猶豫模糊集，利用擴充后的矩陣計算出專家權重；金飛飛等[10]構建專家之間信任關系模型，以此度量專家權重；劉業政等[11]在已知專家主觀權重的基礎上，提出一種權重自適應調整的方法；馮源等[12]依據平均差概念和修改后的平均差系數公式，對專家權重從局部到整體逐次進行微調整；王俊英等[13]從TOPSIS法和灰色關聯度出發，提出了專家權重自適應調整算法；Xu[14]通過最小化個體區間和集體區間模糊偏好關系的偏差，構建二次規劃模型確定專家權重；Yue[15]通過投影法度量專家權重；劉安英等[16]利用語言標度確定專家的后驗權重；周宇峰等[17,18]通過對信息自身邏輯一致性和群體相容性程度的判斷，基于專家判斷信息可信度進行后驗權重的確定，并綜合先驗和后驗信息來對專家進行賦權。

本文在上述研究基礎上，針對多屬性群體評價中專家權重的確定問題，基于文獻[19]中的數據聚類思想及信息集結方法、文獻[20]中時間權向量的求解思路，給出了一種專家權重確定方法，該方法同時兼顧專家先驗權重和后驗權重。

本文的創新之處在于以下幾點：

(1)提出了一種確定專家先驗權重的方法，根據專家的先驗信息(即專家的歷史評價數據)，利用專家歷史評價活動中的序值相關系數，計算出本次評價活動的預測值，從而確定出專家先驗權重。

(2)提出了一種確定專家后驗權重的方法，基于群體共識視角，對各專家所給出的后驗信息(即在當前評價活動中專家提供的信息)進行一維數據聚類，結合不同分組情況下出現的概率，進而確定專家后驗權重。最后將兩種權重組合實現專家賦權。

本文對于專家賦權的方法充分考慮了歷史信息和當下信息，相比傳統專家賦權方法僅考慮當下信息有更好的適用性和靈活性。但本文所提供的方法對于使用者提出了更高的要求，如何為方法使用者提供更為科學合理的參照標準，是本文下一步重要的研究方向。

1 問題描述與條件假設

設被評價對象集合為O={o1,o2,…,on}，被評價對象綜合評價值集合為Y={y1,y2,…,yn}，評價指標集合為U={u1,u2,…,um}，評價指標權重集合為Ω={ω1,ω2,…,ωm}，評價專家集合為E={e1,e2,…,ek}，專家權重集合為A={A1,A2,…,Ak}，專家的權重由各專家的先驗信息和后驗信息確定。xijq表示專家eq對于被評價對象oi關于評價指標uj的賦值，其中i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;q=1,2,…,k。不失一般性，令m,n,k≥3，由xijq組成的評價信息矩陣如表1所示。

表1 評價專家給出的指標信息

為了更準確地說明問題，現給出3個假設：

(1)參評者均為本次評價活動專業相關領域的專家；

(2)僅收集參評專家專業相關領域的歷史評價信息；

(3)各位專家的判斷具有一定的穩定性。

2 方法與基本原理

2.1 專家先驗權重的確定

k位專家對問題作出評價，但因各個專家的知識結構、經驗、能力、專業水平等的不同，這些因素在一定程度上會導致專家評價水平的差異。本文期望通過專家在以往評價活動中的歷史數據判斷專家評價水平，這些數據均屬于先驗信息，因此，由這類信息確定的專家權重稱為先驗權重。

確定先驗權重的基本思路：首先對評價者q(q=1,2,…,k)在tb(b=1,2,…,v)時期內的評價活動中所給出的方案的評價結論與該方案最終的評價結論進行一致性程度的分析(這里，本文考慮信息采集的經濟性與簡便性，選擇序值信息作為度量依據，在寬松的分析環境中一定程度上也保證了度量的準確性)，由此可以度量出每個評價者在各個時期內進行評價活動的準確性；然后基于k組序值相關系數，結合指數平滑法[21,22]，計算出k位評價者在本次評價活動中對方案正確排序準確性的預測度量。最后對k位評價者在本次評價活動中序值相關系數的預測度量進行歸一化處理，得到k位評價者的先驗權重。

基于上述關于專家先驗權重的確定思路，下面給出確定專家先驗權重的具體過程:

1)收集專家eq的歷史評價信息，如表2所示。

表2 專家eq的歷史評價信息

2)計算專家eq的歷史序值相關系數

因序值具有等級變量的性質，本文采用斯皮爾曼等級相關系數[1]，對評價者在t時期內進行的評價活動進行序值之間的相關系數計算。歷史序值相關系數的基本公式為:

(1)

式中d表示兩個序值之間的差值，j表示等級個數，r越高表明兩個序值之間的一致性程度越高。

3)運用指數平滑法計算專家eq在本次評價活動中的序值相關系數(因序值相關系數沒有明顯的趨勢變化，故選用一次指數平滑法)。一次指數平滑法的平滑公式為:

(2)

α—平滑系數，其取值范圍[0,1]。

預測度量計算公式為:

(3)

平滑系數α的取值對于指數平滑法的預測效果有重要的影響，現有的研究和應用中，確定α值的方法一般為以下兩種：

①經驗估算和試算法[21,22]。α越接近于1，遠期實際值對本期平滑值影響程度的下降越迅速；反之，越緩慢。一般來說，時間序列波動越小，α取小值；時間序列波動越大，α相應地取大值。根據這種經驗，對α進行不同的取值，反復試算，最后選擇試算過程中誤差最小的平滑系數α作為最優的值。

②規劃求解[22]。將目標函數設置為真實值與預測值差值的平方和，對其進行最小化求解，便可以較快的速度進行α系數的優選。

本文為保證預測效果和計算過程的簡潔性，選用規劃求解的方式來確定α值。

對于(一次指數)平滑序值相關系數初始值的確定，我們一般根據時間序列號t的大小來確定，若t≥15，則以第一期的序值相關系數作為初始值，若t<15，則以前三期的序值相關系數的絕對平均值作為初始值[21]。

4)確定專家先驗權重，公式如下:

(4)

2.2 基于群體共識視角的專家后驗權重的確定

在評價過程中，由于專家自身知識結構、權威度等因素的影響，各位專家所做判斷信息的可信度會有所差異。根據專家給出的指標信息可信度，進而確定專家權重，一種可行思路是基于群體共識視角，對專家給出的指標信息進行聚類分組度量。本文將基于該思路確定的專家權重稱為后驗權重。

評價活動中，各位評價者給出各個方案的指標信息，從各位評價者的指標信息中抽取出Z{G11,G12,…,G1m;G21,G22,…,G2m;…;Gn1,Gn2,…,Gnm;Z=n·m}個一維數據集(一維數軸上若干數據點的集合)。Gnm表示方案on在指標xm下，k位專家給出的指標評價信息集。

定義3[1]對Gij={xij1,xij2,…,xijk}中數據由大到小進行排序，得到有序組gij={bij1,bij2,…,bijk},bijq(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;q=1,2,…,k)為Gij中第q大元素，稱{Δd|Δd=bijq-bij(q+1),q=1,2,…,k-1}為Gij的有序增量集，Δd為Gij的有序增量。

(5)

(6)

(7)

(8)

從h次分組中和Z個一維數據集中，抽取出專家eq對應的指標信息被賦予的比重和，即

(9)

由此計算相應的專家后驗權重為

(10)

基于上述關于專家后驗權重的確定思路，給出確定專家后驗權重的具體過程：

1)根據定義1，從各評價者的指標信息中，抽取出Z個一維數據集；

2)對Gij={xij1,xij2,…,xijk}按定義3求得Gij的有序增量集；

3)依據定義4，求得有序組η；

4)根據定義5，求出有序組η的極差；

5)求出總的分組次數h和每一次分組中的數據群；

6)依據式(5)計算出數據集Gij中不同分組情況出現的概率；

7)根據式(6)計算出數據集Gij在第f次分組中第u個數據組中的指標信息個數占總體的比重；

8)根據式(7)計算出數據集Gij在第f次分組中第u個數據組中的指標信息xijq被賦予的比重；

9)根據式(8)得出數據集Gij中，第f次分組出現的概率情況下，每一個指標信息xijq被賦予的比重；

10)根據式(9)從h次分組和Z個一維數據集中，計算出專家eq的比重和；

11)根據式(10)，進行歸一化處理，求出各專家的后驗權重。

2.3 專家權重的確定

在本次評價活動中，考慮專家先驗信息和后驗信息的專家權重為

(11)

其中0≤φ≤1，且φ的取值越大，說明在本次評價活動中越關注專家的先驗信息；φ的取值越小，說明在本次評價活動中越關注專家的后驗信息。

3 應用算例

某風險投資公司對4個擬投資的初創企業(o1,o2,o3,o4)進行評估，為此邀請了行業內10名專家對它們從商業模式u1、市場洞察力u2、產品潛力u3、團隊能力u4總計4個方面進行評價，評價方式采用打分制，分數越高，表示越優，打分范圍為1～10分。

3.1 專家先驗權重的確定

計算10位專家的序值相關系數，囿于篇幅，此處僅列出專家e1的歷史評價信息。假設整理信息可得專家e1相關歷史評價活動進行了6次，具體步驟如下：

1)專家e1的歷史評價信息見表3所示：

表3 評價專家e1的歷史評價信息

2)依據式(1)可得e1在6次評價活動中序值相關系數，如表4所示。

表4 評價專家e1的歷史評價序值相關系數

4)選取合適的α值：通過規劃求解，計算出最優的α值為0.0623。

3.2 基于群體共識視角的專家后驗權重的確定

所有的指標信息均由各位專家根據自己的知識、經驗等給出相應的分值(考慮到所有指標均為極大型指標且量綱一致，不對決策矩陣的進行規范化處理)，相應評價矩陣信息如表5所示。

表5 專家e1～e10的指標信息

囿于篇幅，此處僅展示數據集G11的運算。

1)從10位專家的指標信息中，抽取出一維數據集G11={2.2,6.7,2.7,5.3,6.0,4.4,8.4,6.3,7.2,6.9};

2)根據定義3對G11中的指標信息按照從大到小的順序進行排列，排列后的數據集為g11={8.4,7.2,6.9,6.7,6.3,5.3,4.4,2.7,2.2}。并求得g11的有序增量集Δd={Δ1=1.2,Δ2=0.3,Δ3=0.2,Δ4=0.4,Δ5=0.3,Δ6=0.7,Δ7=0.9,Δ8=1.7,Δ9=0.5};

8)根據式(7)計算出數據集G11第f次分組下每一個數據組中的指標信息x11q被賦予的比重：f=1時，Δd*∈(0.2,0.3]:

其余分組情況以此類推;

9)根據式(8)計算出數據集G11中，第f次分組出現的概率情況下，每一個指標信息x11q被賦予的比重，f=1時，Δd*∈(0.2,0.3]:

其余分組情況以此類推;

10)根據式(9)從7次分組和16個一維數據集中，計算出專家eq的比重和：

Bq=(5.5878,6.9763,5.3845,6.3678,6.1429,

6.2181,6.6279,5.7412,6.4134,7.3793)

11)根據式(10)進行歸一化處理，求出各專家的后驗權重：

Aq″=(0.0889,0.1110,0.0857,0.1013,0.0978,

0.0990,0.1055,0.0914,0.1021,0.1174)

3.3 專家權重的確定

根據式(11)計算10位專家的權重。實際應用過程中，若更傾向于先驗信息，則對φ賦予較大的值；若更傾向于后驗信息，則對φ賦予較小的值，本次計算φ取0.5，計算結果見表10。

表6 10位專家的權重

在計算中可以看出，因知識結構、經驗、能力、專業水平等的不同，以及受不確定性因素的影響，專家們在問題的分析及評判上存在差異，進而在群體評價中各位專家的權重也存在差異。

對φ從0到1以0.01的步長取值，可以發現專家1、3、4、5、6、8、9的權重呈上升趨勢，專家2、7、10的權重呈下降趨勢。當φ=0時表示僅考慮后驗信息；當φ=1時表示僅考慮先驗信息。對φ在不同情況下取值，求解對應的10位專家權重的誤差平方和(實際應用過程中，可根據具體情況選用其它度量離散程度的方法)，具體見圖1。通過求解專家權重誤差平方和，可為評價活動的實施者對專家賦權提供參考。若決策者傾向于專家之間的差異性，則選擇專家權重誤差平方和較大時對應的φ值，反之，選擇專家權重誤差平方和較小時對應的φ值。

圖1 專家權重誤差平方和散點圖

3.4 不同方法的比較研究

應用文獻[23]中提出的離差最大化的決策者權重確定方法，經計算得到的專家權重為:

A1=0.0782;A2=0.1267;A3=0.1194;

A4=0.1190;A5=0.0828;A6=0.1101;

A7=0.0988;A8=0.1112;A9=0.0973;A10=0.0565

應用線性加權計算各初創企業的綜合評價值分別為

y1=6.2707;y2=6.1465;y3=6.1227;y4=5.5073

因此，各初創企業的排序結果是：o1?o2?o3?o4。

在保證指標權重與上述方法一致的前提下，利用本文提出的專家權重確定方法(φ取0.5)，可得各初創企業的綜合評價值為

y1=6.2033;y2=6.1377;y3=6.0352;y4=5.5320

對應的排序結果是：o1?o2?o3?o4。經過比較發現，本文提供的方法與文獻[23]中所提方法排序結果是一致的，表明本文所提出的專家權重確定方法的合理性以及適用性，可在評價信息為精確值時的場景中作進一步應用。本文通過對φ值的選取，既考慮到歷史評價信息，又兼顧到當下評價信息，將兩種客觀權重進行組合賦權，得到比較科學合理的專家權重。φ取值的大小，充分考慮了方法使用者對于先驗信息和后驗信息的偏好，基于專家權重誤差平方和，進一步為方法使用者針對評價專家差異性的偏好選擇提供了參考。相比文獻[24]中將主客觀權重進行組合的方式，本文中專家先驗權重和后驗權重的確定均以一定的客觀數據信息為依據，進一步減少了主觀因素的影響。

4 結語

本文根據現有確定專家權重的研究，以及一維數據聚類等思想，給出了確定專家先驗權重和后驗權重的方法：

(1)根據專家以往參與群體評價的歷史信息，給出了一種確定專家先驗權重的方法。為專家賦權的過程中，充分考慮各位專家的歷史評價信息，利用現有統計方法預測下一次專家評價活動的準確度，以此給出相應權重。本文先驗權重的求解方法，相比傳統的打分制確定權重的方式，減少了一定的隨機性，對先驗信息的利用更加公正合理。

(2)結合一維數據聚類的思想，給出了一種確定專家后驗權重的方法。考慮專家對各個方案在各個指標之下的理解程度，基于群體共識視角進行聚類分析，將分組以概率的形式展現，保證了參評專家信息的完整性，避免了信息缺失。相比傳統的剔除異常值的求解思路，更大程度地保證了評價活動中信息的完備性。

最后，本文通過一個算例說明了這兩種確定專家權重方法的合理性和有效性。在未來的研究工作中，可以嘗試將后驗權重的求解思路拓展至指標權重的求解方法和評價信息為不確定值時的評價情景中。