基于折合勞動成本視角的工作時間優化及影響因素研究

馬衛民， 邵偉,2， 季曉東

(1.同濟大學 經濟與管理學院,上海 200092; 2.上海商學院 工商管理學院,上海 201400; 3.上海工程技術大學 管理學院,上海 201620)

0 引言

工作時間問題是伴隨工業化生產而誕生的決策問題，對社會發展有著深遠的影響。隨著產業結構和生產模式的改變，居家辦公、遠程協作等新型工作環境出現，傳統工作時間決策方法逐漸失效。現階段我國存在相當突出的勞動者工作時間長、過勞現象泛濫問題，科學的工作時間優化可以部分解決這一問題，從而提高生產效率、促進工人全面發展，也是產業智能化轉型和實現高質量、可持續發展的現實需求。

研究者從數個不同角度支持了縮短工作時間對于提高生產過程質量[1]、改善員工健康狀況[2]、提高社會生活水平[3]、降低失業率和減少碳排放[4]等方面的積極意義，但研究思路都是將其作為一個靜態因素，對于工作時間的定量優化問題，即“給予多長的工作時間才能使現狀有所改善”這一問題的研究相對匱乏。

工作時間需要進行優化的觀點來源于科學管理理論認識到了工人工作效率隨持續勞動時間的動態變化[5]。如果在工作時間的持續時長和工人整體工作效率之間尋找一個平衡位點，就可以實現對工作產出、勞動成本等特定關注目標的優化。早期工作時間優化研究傾向于以不同形式的疲勞積累和工作效率恢復函數去調整工作時間，實現直接產出最大化。基于上述思路產生了單次工作間斷恢復模型[6]、單一模式工作-休息周期循環平衡模型[7]、基于有限時間段的工作-休息周期平衡模型[8]和基于不可分割休息周期假設的工作-休息周期平衡模型[9]等。同一時期，也有基于勞動成本的考量，以給付工資的邊際收益最大化作為工作時間優化目標的模型研究[10]。

隨著近年來管理科學的發展，對工作時間進行優化的研究依然沿襲上述思路穩步進行，對問題的分析趨于精細化。Ma等[11]基于局內不確定決策理論提出了在工人的工作效率函數可變情況下的工作-休息周期優化模型，突破了傳統理論只能以單一循環模式對工作時間進行決策的缺陷，并證明了該優化方法可以適用于復雜工作效率函數[12]。Baucells等[13]基于受到指數式疲勞積累影響的工作效率函數提出有限時域下的工作時間優化模型，研究了不同情景下疲勞和生產率的最佳管理方式，重新審視了合理的休息周期在減輕疲勞方面的作用。上述研究依然是以勞動產出作為優化目標的，Castex等[14]基于勞動力的供給與成本假設，提出了基于工人選擇偏好的工作時間決策模型，雖然采用傳統優化方法，但是其將勞動力視為一種可進行再生產的商品的觀點十分獨特。這些研究方法在本文研究思路的形成中均起到了積極的啟發作用。

本文將經濟優化決策應用于對勞動力的研究，將工作過程中的疲勞積累與休息活動對勞動產出造成的損失折合為勞動成本，并以該成本最小化為目標，分別構建確定時域和不確定時域兩種情形下的工作時間優化模型，將理論[11～14]融會貫通，從綜合角度對工人的工作時間開展進一步優化。本文的研究豐富了勞動科學理論體系，成果可以指導現實工作制度改進，提高企業運作效率和勞動利用率，避免過勞現象發生，兼具理論價值與實踐價值。

1 確定時域下工作時間等分模型

工人連續工作時間的長度及其造成的疲勞因素對工人的工作效率有著直接的影響。隨著持續工作時間的延長，工人在單位時間內的產出呈逐漸下降的趨勢。當效率下降到一個不再適合繼續工作的閾值時，工人需要停止工作進行休息以使其體力和精神得到恢復，然后投入到下一個工作周期。如何安排每個工作周期的長度來實現總時間內的成本最小化是本文需要解決的核心問題。

1.1 因素分析和變量設置

工作效率函數：工人工作效率隨著持續工作時間的延長而下降。本文采用線性估計下的工作效率函數形式，表達式為P(t)=β-θt。其中，θ稱為勞動強度系數，代表工人勞動力隨著時間下降的速率。該系數與勞動任務耗費的體力息息相關，勞動強度越大的工人，其工作效率下降得也越快。設該系數的取值范圍為[0,1]區間，取值為1代表極端的勞動情況如舉重運動員，在這種情況下工人在一次動作之后就會失去絕大部分的勞動力而必須強制進行休息，無法持續施展動作。

工作-休息周期：工人進行生產活動的時間稱為工作周期，周期時長用表示。工人進行休息，不參與生產活動的時間稱為休息周期。假設工人的連續休息時間不得小于某一個固定的時間長度，否則無法恢復工作狀態，稱為必要休息時間，其時長用r表示。工作周期與休息周期交替排列，決策需要給出每一個工作周期的長度，即“在哪個時間點結束工作”是解決工作時間問題的主要目標。

折合勞動成本：包括疲勞成本和休息成本。由疲勞積累而未能轉變為勞動產出的部分損失稱為疲勞成本，Cj為疲勞成本系數。而安排工人休息需要為生產過程的中斷設置一個等價的成本，稱為休息成本，用Cr表示，后續靈敏度分析時采用其分解形式C0+λr。其中，C0稱作休息程序成本，一旦進入休息周期就會產生，與生產中斷的時間長度無關；λ為單位時間內耽誤生產造成的損失，稱為休息延誤成本率。

1.2 模型假設

在變量設置的基礎上，工作時間模型還需做出以下基本假設：

假設1需要用來恢復勞動力的必要休息時間r恒定，不會隨時間的持續而改變。因此所有休息周期的長度均相等，休息成本也都相同。

假設2勞動強度系數θ是恒定的。在一個工作周期開始時，工人工作效率處于最大值，之后隨工人儲備勞動力的消耗而逐漸下降。當工作效率以勞動強度系數為速率下降到某一閾值時結束工作，進入到休息周期。

假設3工人在工作過程中每消耗1單位勞動力，就產生1單位的疲勞成本，故總疲勞成本與其工作效率降低的程度呈正比。在線性估計工作效率函數下，當勞動時間為t時，在這段時間上的平均勞動成本等于t時刻瞬時勞動成本的二分之一。

假設4總時間的劃分方案一旦確定，工人的工作周期與休息周期規劃便可以持續進行，即通過模型求得的最優解總在可行解集之內。

工作時間問題可采用如下模型化的方法描述：給定一段已知的時間長度T，決策者將這段總時間劃分為n個工作周期及n-1個休息周期，為體現有效利用時間原則，不出現工作時間的浪費，截止時間T出現在第n個工作周期的結尾處，n個工作周期長度分別用w1,w2,…,wn表示，n-1個休息周期長度相等，均為必要休息時間r。時間T內，決策者的總成本為n個工作周期的疲勞成本和n-1個休息周期的休息成本之和。已知每一工作周期的長度都不允許超過工人勞動力極限的情況下，求w1,w2,…,wn的分配策略，使得總折合成本最小。

1.3 等分模型的建立與求解

根據基本假設和模型描述，存在如下公式:

(1)

公式(1)為工作時間規劃模型需要滿足的主要約束條件之一，以此為基礎上構建工作時間問題的混合二次-整數規劃模型如下:

wi≥0,i=1,2,…,n

n∈N+

(2)

模型(2)需要同時求得每個工作周期的長度wi及需劃分的周期總個數n，其決策變量w1,w2,…,wn維度是不確定的，需要首先確定的取值，以將決策變量的維度確定下來，然后再求每個工作周期的長度。通過觀察目標函數和約束條件的表達式特點，可利用均值不等式中多個數的均方根下限為算數平均數的充要條件，得到經濟工作時間模型的最優解出現在處w1=w2=w3=…=wn的一般性結論，設每個的取值統一為：

(3)

將模型(2)簡化為只含單一變量n的非線性整數規劃，由此構建等分模型如下：

s.t.wi≥0,i=1,2,…,n

n∈N+

(4)

然后通過構造一階差分方程ΔCn=Cn+1-Cn=0對該模型進行求解。

命題1當T的取值滿足如下判別式時，取n*為整數規劃的最優解。

(5)

確定了工作周期的劃分個數n*可根據公式(3)確定最佳工作時間w*得最小勞動成本。至此，有限時間T問題的基本模型求解完畢。

等分模型旨在解決確定時域范圍內的工作時間問題，該模型適合用于排程性較強的單工人工作環境，即決策前便得到整個工作過程的全部信息。但對于居家辦公族、自由職業者等排程相對靈活的工作者，由于輸入變量T不能在勞動過程開始前就完全確定，該模型無法適用。因此，我們放寬部分假設，解除確定時域限制，研究時間未知(任意時刻終止勞動過程)情形下的工作時間優化。

2 不確定時域下工作時間拓展模型

2.1 目標函數轉化

通過利用MATLAB對模型(2)進行數值仿真(參數：θ=0.2,r=10,Cr=100,Cf=100)，最佳工作時間w*隨總時間變動趨勢如圖1所示。

如圖1所示，若T增加時沒有引起由不等式(5)所決定的n*取值變化，則w*隨之增長；而當T的增加使得n*增長一個周期的時候，由于插入了新的周期，w*立即跳變到一個較低的取值，如此往復波動。而隨著n*取值的不斷增長，新增加一個周期的變化使得w*的波動被稀釋到更多的周期內，因此波動幅度越來越小，呈現振蕩收斂的趨勢，最終趨向于一個穩定值。這種周期性振蕩收斂的特性對于研究工作時間問題至關重要。

由于T→+∞時一定有Cn→+∞。此時再以minCn作為工作時間問題的優化目標已經失去了數學意義，因此需要構建一個新的目標函數來處理此種情形。定理1從數學推理上證明了采用Cn/T作為新目標函數的合理性。

定理1當求解確定時域工作時間問題時，使總成本Cn(T)最小化的策略與使單位時間成本Cn(T)/T最小化的策略等價。

根據定理1，單位時間總成本Cn/T為目標函數與以總成本為目標函數可以求得相同的工作周期個數n*和最佳工作時間w*。因此在無限時域或不確定時域情形下可將目標函數進行解析延拓，使用單位時間總成本最小化的目標函數進行求解。

2.2 拓展模型的建立與求解

首先，將目標函數進行解析延拓，使用單位時間總成本最小化的目標函數進行求解：

(6)

稱公式(6)中的極限為TC。由確定時域下模型的解可知，每個工作-休息周期的長度分別相等，可設每個循環周期的長度均為w+r。每個周期的成本包括：休息成本Cr和疲勞成本θCfw2/2。單位時間成本為上述兩部分成本之和與w+r之比。

綜上分析，構建不確定時域下工作時間問題拓展模型：

s.t.w≥0

(7)

通過利用非線性優化理論對拓展模型(7)進行求解，可得如下性質。

命題2在不確定時域范圍下，拓展模型的最佳工作時間和單位時間總成本的最優解分別為：

(8)

(9)

2.3 模型結果分析

由于缺少輸入變量，不確定時域的工作時間問題不能使用確定時域的基礎模型進行求解，而拓展模型的求解不涉及總時間T的取值，因此可將拓展模型的最佳工作時間作為確定時域下工作時間問題的通用策略，為工人安排工作周期與休息周期。

根據圖2可得到如下結論：

(1)在T

(3)在T∈[Tn,Tn+1],確定時域模型下的總成本C*是連續單調增函數，不確定時域模型下的總成本C也是單調增函數。若C0=0，即不存在休息程序成本時函數C也連續；但由于C0的存在，在每次進入到一個新的休息周期時，函數C立即產生一個跳躍間斷點，幅度為C0。

定理2假設對于一個確定時域工作時間問題實例，采用基礎模型得到的最佳工作時間為w*，對應的總成本為C*；采用拓展模型的通用策略計算得到的工作時間為w，對應的總成本為C；且其在一個工作周期與一個休息周期所組成的循環周期上的成本記為C1。則對于任意總時間T的取值，不等式C≤C*+C1均成立。

根據定理2，在T∈[Tn,Tn+1]區間上有兩個不等式C*(T)≥C*(Tn)和C(T)≤C*(Tn+1)成立，聯合可得：

(10)

不等式(10)對任意的n均成立，其右側恰好為w+r拓展模型在一個長度為的周期上的總折合成本，即兩種模型的總成本差始終在一個有限的常數范圍內。因此，在總時間T取任意值的情況下，采取拓展模型求得的均是工作時間問題的近似最優解，從而解決了不確定時域的工作時間問題。

3 靈敏度分析和數值算例

3.1 勞動強度系數

勞動強度對工作時間的影響較為直接，公式(8)已明確了勞動強度系數與最佳工作時間呈近似反比關系。接下來采用靈敏度分析的方法來研究勞動強度系數對最佳工作時間與單位時間總成本的具體影響，將公式(8)、(9)分別對勞動強度系數進行求導，可得:

(11)

靈敏度分析的結果顯示，勞動強度系數與最佳工作時間負相關，與單位時間總成本正相關。設計算例驗證模型的有效性，取r=10,C0=20,λ=8,Cf=4，利用MATLAB對勞動強度系數的敏感性進行演示，圖3和圖4給出了勞動強度系數在0～1之間變化時對最佳工作時間和各項成本的影響。

根據圖3可以看到，最佳工作時間隨著勞動強度系數的增加而減小，當θ<0.1時，最佳工作時間的下降速率較快，說明此階段勞動強度系數的變化對最佳工作時長具有顯著影響，而隨著勞動強度系數的不斷增大，工作時間下降的趨勢變緩。由圖4可知，單位時間休息成本隨勞動強度系數的增加而增大，這是由于最佳工作時間變短，導致平均到單個周期的休息成本貢獻上升；單位時間疲勞成本隨著勞動強度呈現先增大后減小的趨勢，在θ=0.1附近時達到疲勞成本的最大值，這說明最佳工作時間w下降的影響開始超過勞動強度系數θ增加的影響，從而導致疲勞成本拐點的出現；即使在θ>0.1階段，休息成本的增加幅度也高于疲勞成本的下降，因此，單位時間總成本與勞動強度系數呈正相關關系。

3.2 必要休息時間

首先采用分解形式C0+λr對公式(8)和(9)變形，然后對必要休息時間r求導可得

(12)

下面以具體數據進行算例分析以驗證模型的有效性。基于上述靈敏度判別式的分析，我們設置如下兩組算例：Λ≥0情形，取θ=0.2,C0=20,λ=8,Cf=4。Λ<0，取θ=0.2,C0=20,λ=5,Cf=4。圖5和圖6展示了必要休息時間在4～20之間變化的情況下，采用拓展模型得到的最佳工作時間與單位時間總成本的變化情況。

圖5和圖6直觀反映了靈敏度函數分析的結果。判別式Λ≥0時，隨著必要休息時間的增加，工人的最佳工作時間也相應延長，單位時間總成本也隨之增加。此種情形下休息成本的產生主要跟休息時間長短有關，而安排一次休息所產生的休息程序成本相對較少。這對一個企業而言是一種良性管理。而Λ<0時，最佳工作時間和單位成本均隨著必要休息時間的增加而降低，此時休息成本的產生主要來自于每次安排休息時的休息程序成本，說明每次的工作暫停都會產生一筆較大的管理費用，或者是疲勞成本系數很高導致工人始終處于休息不足的狀態，這對企業來說是不利的，應盡力避免這種狀況的出現。

3.3 各項成本系數

按照相同的求解思路，分別對休息程序成本C0、休息延誤成本率和疲勞成本系數Cf進行靈敏度分析，并設置相應算例進行數值仿真可以得到如下結論：休息程序成本和休息延誤成本率均與最佳工作時間和單位時間總成本均呈正相關關系；而疲勞成本系數與最佳工作時間呈負相關關系，與單位時間總成本呈正相關關系。

根據計算公式E=|ΔA/ΔF|，(其中E為觀測變量A對參數F的敏感度系數；ΔF為參數F的變化率；ΔA為參數F變化時A的變化率)，分別計算最佳工作時間對勞動強度系數、必要休息時間、疲勞成本系數、休息程序成本和休息延誤成本率的敏感度系數。在前述數值算例設置θ=0.2,r=10,C0=20,λ=8,Cf=4基礎上將以上5個參數分別變化5%、10%和15%，計算得到各參數的敏感性結果如表1所示：

表1 參數敏感性分析結果

由表1可得：最佳工作時間對勞動強度系數和疲勞成本系數的敏感性系數均相等，且敏感性為最高；對休息延誤成本率的敏感度性次之；對休息程序成本的敏感性系數較低，而對必要休息時間這一參數的敏感性最弱。這說明單純的依靠延長或縮短必要休息時間來調整最佳工作時長的方法是不可行的，為提高整體工作效率，實現勞動折合成本最小化的目標，則主要需要通過降低勞動強度系數、疲勞成本系數和休息延誤成本率的途徑來實現。

4 研究結論及啟示

4.1 研究結論

從變動趨勢來看，最佳工作時間隨著勞動強度系數和疲勞成本系數的增加而縮短；而隨著休息程序成本和休息延誤成本率的增加而延長；折合勞動成本則均隨著上述四項因素的增加而升高；必要休息時間對工作周期決策的影響則取決于各項成本系數的構成比例，在休息程序成本占比較低的良性管理環境下，必要休息時間的縮短會導致最佳工作時間相應縮短，折合勞動成本降低；反之，必要休息時間的縮短反而會導致最佳工作時間的延長，折合勞動成本升高。

從影響程度來看，最佳工作時間對勞動強度系數和疲勞成本系數的敏感性相等且為最高；對休息延誤成本率的敏感度性次之；對休息程序成本的敏感性較弱，而對必要休息時間這一參數的敏感性最低，這與“多休息多工作”、“周末補覺恢復精力”等傳統印象中的提高效率的措施并不相符。說明以必要休息時間長短為代表的工人個體差距對于決定最佳工作時間的決策影響較小，而以勞動強度系數為代表的行業崗位性質差距對最佳工作時間有決定性作用。

4.2 管理啟示

(1)勞動強度系數代表著工人所從事工作對其體力與腦力的負荷，即勞動力的消耗速率，該系數與工作時間負相關意味著改善勞動環境，降低工人的勞動負擔有助于延長工人的持續勞動，降低勞動成本。相關行業或企業管理者通過技術與管理創新來降低勞動強度是提高勞動力利用率的最有效手段。

(2)疲勞成本系數代表著工人消耗單位勞動力的價值，該系數與工作時間負相關意味著隨著勞動價值的提高，縮短工作時間是更具經濟效益的策略，這與最大化利用高價值工人的勞動時間的直覺相反；程序成本無論在直接還是通過必要休息時間間接的反饋上都會使勞動成本增加，這意味著一個工作時間制度相對固定、變動手續繁瑣的企業比具有靈活變動機制的同行要承擔更多的勞動成本，從而從理論上解釋了彈性工作制實現降本增效的原因。

(3)承認勞動者個體差異性，對必要休息時間不同的勞動者考慮適用不同的工作時間安排，不要過多消耗勞動者的體力精力。根據工作性質的不同，企業應該創新工作-休息良性循環機制，而不僅僅將時間作為工作量的唯一考量。適度的工作時間不僅有利于降低折合勞動成本，促進企業的可持續發展，也對于緩解當前企業員工過度勞動所造成的勞資雙方利益沖突與管理矛盾的現象具有一定的積極意義。

(4)因不同行業的工作方式和勞動強度有所差別，現行標準工作時間制度難以適應所有行業的用工需求。可通過勞資雙方的集體協商實現工作時間的彈性化，雙方對工作時長和加班問題做出變通約定。與此同時，在有關工作時間的行業性集體協議的達成方面，政府應當充分發揮其推動作用以確保工時制度彈性化的實施。

4.3 局限與展望

出于理論建立初期闡明問題和證明定理的簡潔性需要，本文采用了基礎的線性工作效率函數。現實中工人的工作效率變化更傾向于二次衰減或指數衰減的函數形式。開展復雜函數情形下的工作時間優化研究是未來工作的主要方向。另外，工作時間問題是一個極具現實意義的多學科共同決策問題，作為理論研究，本文對于工作時間問題的探討局限于數學模型與仿真層面，相關優化方法與策略還需經歷實踐的檢驗。