確定性需求下的最優(yōu)保理融資與生產(chǎn)策略

李沿海, 胡夏蓮

(福州大學 經(jīng)濟與管理學院,福建 福州 350116)

0 引言

許多企業(yè)在銷售產(chǎn)品時會采用賒銷的方式，為其下游顧客提供一個延遲付款的信用期，即允許買方在購買產(chǎn)品或服務時不必立刻付款，可以在信用期結(jié)束時再付款。換言之，企業(yè)為其下游買方提供了商業(yè)信用融資，企業(yè)得到的銷售收入是應收賬款而不是現(xiàn)金。國際信用保險與信用管理服務機構(gòu)科法斯集團發(fā)布的《2015中國企業(yè)信用風險報告》顯示，賒賬銷售已成為中國企業(yè)最廣泛的交易方式，比例已從2007年的54.1%上升至2014年的89.6%[1]。如果應收賬款的比重太高或回收期太長，會給企業(yè)帶來很大的資金壓力，可能使其正常的生產(chǎn)經(jīng)營發(fā)生困難，出現(xiàn)生產(chǎn)延誤、供應不足、錯過盈利機會等現(xiàn)象，甚至因資金流的斷裂而破產(chǎn)倒閉。總之，過多的應收賬款會影響企業(yè)對生產(chǎn)經(jīng)營活動的正常投入。

許多企業(yè)會利用應收賬款進行保理融資，該融資方式是指企業(yè)將其應收賬款出售給專業(yè)的金融機構(gòu)(保理商)以提前收回資金。對許多初創(chuàng)企業(yè)或者中小企業(yè)而言，由于缺乏抵押資產(chǎn)和良好的信用評級，融資是非常難的，或者需要付出很高的融資成本。信息透明度不足或者存在高風險的企業(yè)融資時，保理具有明顯的優(yōu)勢[2]，因為保理商的風險主要取決于應收賬款的質(zhì)量，也就是買方的信用而不是企業(yè)本身。如果企業(yè)的下游買家有良好的信用，比如買家是實力雄厚的制造商或零售商，則保理可以有效地降低融資成本。保理商除了提供融資服務，還可以為企業(yè)提供應收賬款的管理與催收、商業(yè)資信調(diào)查和信用風險擔保等服務。Banerjee[3]指出保理對促進企業(yè)的業(yè)務增長與擴張、提高資金流動性有重要意義。保理在發(fā)達國家與發(fā)展中國家都有廣泛的應用，全世界的保理業(yè)務規(guī)模在2008年已經(jīng)超過1.3萬億歐元。在2008年金融危機后，保理較其它金融業(yè)務表現(xiàn)出更好的發(fā)展前景[4]。

目前已有一些文獻在多周期庫存控制問題中考慮了資金約束與融資問題。Chao等[5]在多周期隨機庫存控制問題中加入了資金約束，企業(yè)的資金流受到每周期銷售收入的影響而動態(tài)地變化，針對各周期的需求為獨立同分布的情形，證明了目標庫存策略是最優(yōu)的。Gong等[6]在此問題的基礎(chǔ)上進行了擴展，允許企業(yè)向銀行貸款，并且考慮了較為一般的貸款利率函數(shù)形式。Katehakis等[7]建立了一個類似的模型，但各周期的需求分布可以不同。高登和趙曉波[8]在多周期隨機庫存模型中考慮了延遲支付的因素，證明了(s,S)訂貨策略是最優(yōu)的，并通過算例表明延遲支付可提高企業(yè)的訂貨量并降低其總成本。Hu[9]對長期債務和短期債務進行了區(qū)分，研究了債務期限結(jié)構(gòu)對其庫存與融資決策的影響。Besbes等[10]以及Ning和Sobel[11]在多周期隨機庫存模型中研究了融資與定價決策的相互影響。還有其他文獻在多周期庫存問題中考慮了各種融資方式，包括商業(yè)信用融資與債權(quán)融資等[12,13]。

一些文獻考慮了下游買家的支付延遲，在多周期隨機庫存模型中研究了應收賬款對企業(yè)現(xiàn)金流以及運營決策的影響。在Bendavid等[14]的模型中，企業(yè)向下游買家提供商業(yè)信用融資的同時接受上游供應商提供的商業(yè)信用融資，企業(yè)的采購決策受其流動資金的約束。他們使用數(shù)值仿真的方法搜尋目標庫存策略的最優(yōu)參數(shù)值。同樣是針對上下游都存在延遲支付的情形，Luo和Shang[15]建立了多周期隨機庫存模型，但不存在硬性的資金約束，而是考慮了企業(yè)不能及時付款的違約成本，分析了最優(yōu)訂貨策略的性質(zhì)與近似求解方法。與這兩篇文獻一樣，Protopappa-Sieke和Seifert[16]也關(guān)注了信用期的長度對企業(yè)績效的影響。這些研究并未涉及利用應收賬款進行融資。

目前，在多周期庫存決策問題中考慮應收賬款融資的文獻較少。van der Vliet等[17]在多周期隨機庫存模型中允許企業(yè)將應收賬款進行貼現(xiàn)，并通過數(shù)值仿真對目標庫存策略進行優(yōu)化，分析了貼現(xiàn)率與應收賬款賬期等因素的影響，但是目標庫存策略并非是最優(yōu)的。Lekkakos和Serrano[18]在多周期隨機庫存問題中，通過大量的數(shù)值實驗分析了保理對中小供應商的影響，發(fā)現(xiàn)保理可以幫助供應商釋放現(xiàn)金流從而顯著提高其運營績效。Li和Gu[19]針對恒定需求情形下的無限周期問題，分析了企業(yè)的生產(chǎn)與保理策略，著重探討了貼現(xiàn)率對保理商和生產(chǎn)企業(yè)影響。

綜上可知，盡管應收賬款對企業(yè)的運營有重要影響，利用應收賬款進行保理融資有許多優(yōu)勢，保理行業(yè)的發(fā)展也非常迅速，但在運營管理領(lǐng)域的相關(guān)研究很少。因此，本文考慮企業(yè)的資金約束與應收賬款保理融資，在確定性需求下建立多周期庫存控制模型。本文的貢獻主要包含三個方面：1)在多周期庫存問題中考慮了生產(chǎn)與應收賬款貼現(xiàn)的協(xié)同決策，并且根據(jù)需求與應收賬款到達的時間連續(xù)性建立了三種模型：離散時間模型，連續(xù)時間模型，以及混合模型；2)通過分析該優(yōu)化問題的特點，提供了一種等價的建模方法，減少了決策變量和約束條件的個數(shù)，有效地降低了優(yōu)化問題的復雜度；3)針對連續(xù)時間模型與混合模型中的無限維決策變量，給出了離散化的方法，在保證可行性的前提下將原問題轉(zhuǎn)化為有限維線性規(guī)劃，求得原問題的近似最優(yōu)解。

1 離散時間模型

R+=(R0-cz0+R1-cγz1,R2-cγ2z2,…,

(1a)

(1b)

其中n=1,2,…,N。

在進一步分析之前，需要指出以下事實：1)企業(yè)僅在需要的時候才會將應收賬款進行貼現(xiàn)，換言之，當應收賬款被貼現(xiàn)時會立刻用于支付生產(chǎn)成本。2)通過應收賬款貼現(xiàn)所支付的生產(chǎn)成本，與被貼現(xiàn)的應收賬款具有相同的折現(xiàn)值。例如，若將第i個周期到期的應收賬款進行貼現(xiàn)(貼現(xiàn)到第j個周期)用于支付在第j個周期(j≤i)發(fā)生的一單位生產(chǎn)成本，則被貼現(xiàn)的應收賬款數(shù)量為γi-j。易知上述生產(chǎn)成本與被貼現(xiàn)的應收賬款有相同的折現(xiàn)值γ-j(按貼現(xiàn)率折算到第0個周期的值)。

(2a)

(2b)

其中n=1,2,…,N。

上述優(yōu)化問題中，第三個約束條件表示現(xiàn)金所支付的生產(chǎn)成本不能超過初始資金與已經(jīng)到期的銷售收入，第四個約束條件表示使用貼現(xiàn)支付的生產(chǎn)成本不能超過已經(jīng)產(chǎn)生的銷售收入(均指兩者的折現(xiàn)值)，第五個約束條件表示應收賬款的貼現(xiàn)只能發(fā)生在其到期之前。

命題1問題(1)與問題(2)的最優(yōu)目標函數(shù)值相同。

根據(jù)問題(1)與問題(2)建模過程中的論述可知二者是等價的。問題(2)有4N個決策變量和5N-2L個約束條件(除了決策變量非負的約束)。易知，與問題(1)中的2NL個決策變量和N(L+3)個約束條件相比，當L≥2時問題(2)中決策變量和約束條件的數(shù)量比問題(1)少，且不隨著L的增大而增大。事實上，當L=1時每周期的銷售收入會在下周期初自動到期，企業(yè)無需使用保理融資。總之，與問題(1)的建模方式相比，問題(2)的建模方式在計算復雜度方面有明顯的優(yōu)勢，且L越大優(yōu)勢越大。在下一節(jié)中，問題(2)的建模思路將被用于連續(xù)時間模型，這種建模方法在連續(xù)時間模型中體現(xiàn)出更加明顯的優(yōu)勢。

2 連續(xù)時間模型

在有限的時間段T內(nèi)，企業(yè)面臨確定的市場需求，需求率為d(t),t∈[0,T]。其它的假設(shè)與上節(jié)所述離散時間模型相似。企業(yè)允許下游顧客延遲時間τ支付其貨款，產(chǎn)品銷售出去后，企業(yè)得到的銷售收入是賬期為L的應收賬款。企業(yè)的單位生產(chǎn)成本為c，產(chǎn)品銷售價格為p。企業(yè)的初始資金為B，在必要的時候，企業(yè)可以將應收賬款進行保理。應收賬款被提前時間t出售時，折現(xiàn)率為e-at,t∈[0,τ]。企業(yè)的目標是使其周期末也就是T時刻的資金量π最大。

如同上節(jié)已經(jīng)指出的那樣，通過應收賬款貼現(xiàn)所支付的生產(chǎn)成本，與相應的應收賬款在同一時刻具有相等的折現(xiàn)值。在連續(xù)時間模型中，若將t2時刻到期的應收賬款進行貼現(xiàn)用于支付在t1時刻(t1≤t2)發(fā)生的一單位生產(chǎn)成本，則被貼現(xiàn)的應收賬款數(shù)量為eα(t2-t1)。易知上述生產(chǎn)成本與被貼現(xiàn)的應收賬款有相同的折現(xiàn)值e-αt1(折算到0時刻的值)。

設(shè)d1(t)為使用現(xiàn)金支付成本的生產(chǎn)，d2(t)為使用應收賬款貼現(xiàn)支付成本的生產(chǎn)，設(shè)r1(t)為未用于貼現(xiàn)的銷售收入，r2(t)為被用于貼現(xiàn)的銷售收入。此處銷售收入r1(t)與r2(t)均指在t時刻產(chǎn)生而在t+L時刻到期的應收賬款。企業(yè)的決策問題如下:

(3a)

其中t∈[0,T]。

上述優(yōu)化問題中，各約束條件的意義與問題(2)相似，第三個約束條件表示現(xiàn)金所支付的生產(chǎn)成本不能超過初始資金與已經(jīng)到期的銷售收入，第四個約束條件表示使用應收賬款貼現(xiàn)所支付的生產(chǎn)成本折算為現(xiàn)值時，不能超過已產(chǎn)生的銷售收入的折現(xiàn)值，第五個約束條件表示應收賬款的貼現(xiàn)只能發(fā)生在其到期之前。

問題(3)中d1(t),d2(t),r1(t),r2(t)是函數(shù)型的決策變量，目標函數(shù)與約束條件關(guān)于上述決策變量都是線性的。這是一個無限維線性規(guī)劃，也可稱為連續(xù)線性規(guī)劃，并且其約束條件中的積分約束(integral constraints)與逐點瞬時約束(instantaneous constraints)是可分離的，大致而言就是同一個約束條件中積分符號內(nèi)外沒有相同的函數(shù)決策變量。一般型連續(xù)線性規(guī)劃的求解是很困難的，許多文獻都是專門針對可分離的連續(xù)線性規(guī)劃(SeparatedContinuous Linear Program, 簡寫為SCLP)進行研究，例如Pullan[20]以及Weiss[21]。問題(3)的形式與這些文獻中的標準型SCLP有兩點主要區(qū)別：1)積分約束中存在積分上限不一致的情形，例如在第三項約束條件中不等式兩邊的積分上限不一樣，而在標準型SCLP問題中兩邊的積分上限是相同的；2)決策變量的系數(shù)不是常數(shù)，例如在第四項約束條件中被積函數(shù)是決策變量乘以一個指數(shù)函數(shù)，而在標準型SCLP中決策變量的系數(shù)是常數(shù)。

現(xiàn)有文獻中標準型SCLP均只涉及一維函數(shù)決策變量。如果采用問題(1)的建模方式，則需針對每一時刻定義類似于密度分布函數(shù)的決策變量用于描述企業(yè)的資金狀態(tài)和生產(chǎn)決策。對于整個優(yōu)化問題而言，需要使用多個二維函數(shù)作為決策變量，并寫出企業(yè)的資金狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，這是很困難的。在問題(3)的建模過程中，并未定義決策變量用于表征企業(yè)在每一時刻的資金狀態(tài)，也不涉及資金的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，因此避免了使用二維函數(shù)決策變量，僅使用四個一維函數(shù)作為決策變量。問題(3)的建模方法簡化了問題的復雜度，其形式更有利于借鑒現(xiàn)有文獻中關(guān)于SCLP的求解算法，例如Pullan[20]以及王小青[22]介紹的離散化(discretization)方法，就是針對SCLP的一種易于理解和操作的近似求解方法。針對問題(3)與標準型SCLP的區(qū)別，需要對離散化方法做出調(diào)整，將τ均等地劃分為整數(shù)段，具體方法如下。

設(shè)k和m為正整數(shù)，λ=τ/k,m=「T/λ?，即m為T/λ向上取整。事實上，當T/λ不為整數(shù)時，可以適當?shù)匮娱L周期T的長度，并令延長部分的需求為0即可。因此，不失一般性，可設(shè)T/λ為整數(shù)，即m=T/λ。據(jù)此定義區(qū)間[0,T]的一個劃分{t0,t1,…,tm}，其中ti=λi。

引入新的決策變量(x,y,u,v)如下:

據(jù)此將決策變量d1(t),d2(t),r1(t),r2(t)定義為分片常量(piece-wise constant)函數(shù):

(4)

其中t(ti-1,ti],i=1,2,…,m。由于被積函數(shù)在單獨一點的值并不影響積分的值，上述函數(shù)在t=0處的值沒有實際影響。根據(jù)需求率函數(shù)d(t)定義di,i∈{1,2,…,m}如下:di=inf{d(t)|t(ti-1,ti]},將t=t0,t1,…,tm分別代入問題(3)的約束條件中，并運用如下的等式關(guān)系:

(5)

可得離散化的問題為：

(6a)

(6b)

其中i=1,2,…,m。

命題2若(x,y,u,v)是問題(6)的可行解，則式(4)所定義的d1(t),d2(t),r1(t),r2(t)是問題(3)的可行解。

標準型SCLP要求約束條件中的決策變量系數(shù)為常數(shù)。一般而言，決策變量的系數(shù)不是常數(shù)時上述離散化方法不能保證原問題的可行性。盡管在這一點上，問題(3)與標準型SCLP不同，但命題2表明其特殊的結(jié)構(gòu)使其可行性得以保證，因而可以運用離散化方法。問題(6)是對問題(3)的近似，在保證問題可行性的前提下，運用分片常量函數(shù)對一般函數(shù)進行近似，從而將連續(xù)問題離散化，并可通過求解有限維的線性規(guī)劃得到原問題的可行近似解。王小青[22]通過理論分析指出，當SCLP問題的離散化步長趨近于0時，所求得的目標函數(shù)值會無限逼近原問題的最優(yōu)目標函數(shù)值。問題(3)中的m和k相當于問題(1)與問題(2)中的N和L。需要指出的是，當區(qū)間劃分的步長減小時，離散化的過程中m和k會同步增大。如果在連續(xù)時間模型中采用問題(1)的建模方式，則求解的計算復雜度會快速地增加。與之形成鮮明對比的是，問題(2)中決策變量與約束條件的數(shù)量不會隨著L的增大而增大。因此，問題(3)采用了與問題(2)類似的建模思路，有利于降低離散化問題的復雜度，即問題(6)的復雜度不會隨著k的增大而增大。

設(shè)時間長度為T=4，需求率為d(t)=0.2t+1,t∈[0,4]，信用期τ=1，成本c=1，價格p=1.2，初始資金B(yǎng)=0.4，貼現(xiàn)率參數(shù)α=0.05。設(shè)離散化的步長為λ=0.01，則m=400，所得到的有限維線性規(guī)劃包含大約1600個決策變量和1800個約束條件。圖1表示根據(jù)問題(6)求得的近似解，目標函數(shù)值為π=1.3977。

3 離散-連續(xù)混合模型

在企業(yè)的實際經(jīng)營中，還有另外一種廣泛存在的情形，即需求是連續(xù)的而銷售收入是離散的。例如，企業(yè)每天都為其顧客提供產(chǎn)品或服務，但采用的結(jié)算方式是月結(jié)，即每個月對交易標的進行一次計算匯總，并推遲一段固定的時間再付款。比如，“月結(jié)60天付款”是指每個月對費用進行一次結(jié)算，并在結(jié)算日起60天后再進行支付。

設(shè)總周期數(shù)為N，不失一般性，可設(shè)每個周期的長度為1，需求率為d(t),t∈[0,N]。企業(yè)為下游顧客提供的信用期為L個周期。設(shè)d1(t)為使用現(xiàn)金支付成本的生產(chǎn)，為d2(t)使用應收賬款貼現(xiàn)支付成本的生產(chǎn)，設(shè)un為第n個周期產(chǎn)生并且未用于貼現(xiàn)的應收賬款，vn為第n個周期產(chǎn)生并且被用于貼現(xiàn)的應收賬款，其他參數(shù)符號的意義與前文一致。企業(yè)的優(yōu)化問題如下:

(7a)

(7b)

其中t∈[0,N]以及n∈{1,2,…,N}。

此問題的決策變量既包含有限維向量，也包含無限維的函數(shù)，與一般的連續(xù)線性規(guī)劃存在差異，但依然可以按照上一節(jié)所介紹的方法將d1(t)和d2(t)替換為分片常量函數(shù)，對原問題進行離散化，具體方法可簡述如下。

設(shè)λ=1/m，其中m為整數(shù)。據(jù)此定義區(qū)間[0,N]的一個劃分{t0,t1,…,tmN}，其中ti=i/m。對所有的i∈{1,2,…,mN}，定義di=inf{d(t)|t∈(ti-1,ti]},并將d1(t)和d2(t)替換為如下的決策變量:

(8a)

(8b)

其中n∈{1,2,…,N}，i∈{1,2,…,mN)。

與連續(xù)時間模型的情形類似，問題(8)的任意可行解必定也是問題(7)的可行解。設(shè)周期總數(shù)為N=5，需求率為d(t)=0.2t+1,t∈[0,5]，信用期為L=3，成本c=1，價格p=1.2，初始資金B(yǎng)=0.8，貼現(xiàn)率參數(shù)a∈[0,0.15]。設(shè)離散化的步長為λ=0.01，則m=100。根據(jù)問題(8)可求得原問題的近似解。圖2(a)表示該數(shù)值例子中α值對企業(yè)利潤的影響。顯然，企業(yè)的利潤隨著貼現(xiàn)率的增大而減小。貼現(xiàn)率的增大可能從以下兩個方面影響企業(yè)的利潤：一是會改變企業(yè)付出的融資成本；二是會導致企業(yè)(主動地或被動地)減小其生產(chǎn)量，放棄更多的市場需求。當α增大到一定程度時，企業(yè)將會完全放棄使用應收賬款貼現(xiàn)，則企業(yè)的利潤不再隨著α的增大而發(fā)生變化。

考察目標函數(shù)表達式(7a)，可將其重新寫為π=π0-π1-π2，其中

π0,π1,π2的具體意義如下：π0表示企業(yè)在無資金約束(或者初始資金B(yǎng)充分大)情形下的最終資金水平，此時企業(yè)可以滿足所有的市場需求且無需使用應收賬款貼現(xiàn)。顯然，π0是不依賴于決策變量的常數(shù)。π1是企業(yè)因放棄需求而損失的銷售利潤；π2是企業(yè)因貼現(xiàn)而付出的融資成本。從圖2(b)中可以看到，隨著貼現(xiàn)率的增大，企業(yè)的需求損失π1隨之增大，但企業(yè)的所付出的總?cè)谫Y成本π2不一定隨著α的增大而單調(diào)變化。這是因為，當企業(yè)因單位貼現(xiàn)成本增大而放棄更多的市場需求時，其應收賬款貼現(xiàn)的總量會減小，因此總的融資成本不一定增大。對此，存在兩種極端情形：當α=0時，貼現(xiàn)無需成本，企業(yè)的總?cè)谫Y成本為0；當α充分大時，企業(yè)不會使用應收賬款貼現(xiàn)，其總?cè)谫Y成本也為0。

4 結(jié)論

企業(yè)采用賒銷的方式銷售產(chǎn)品，為下游買家提供延遲付款的信用期，會造成大量的資金積壓在應收賬款中。企業(yè)可將應收賬款出售給保理商以解決資金短缺問題。出售應收賬款的時間越早，可以更早得到流動資金以擴大生產(chǎn)滿足需求，但融資成本也會越高。企業(yè)需要在付出更低的融資成本和滿足更多的需求之間進行權(quán)衡。本文在確定性需求下，將企業(yè)的生產(chǎn)與保理策略結(jié)合起來，將離散時間的多周期庫存控制問題建模為線性規(guī)劃。為了降低問題求解的復雜度，本文結(jié)合該優(yōu)化問題的結(jié)構(gòu)特點，提出了新的建模方法，可以有效減少決策變量和約束條件的數(shù)量。隨后，本文將這種建模方法用于連續(xù)時間模型與混合模型。在連續(xù)時間模型與混合模型中，可使用分片常量函數(shù)代替優(yōu)化模型中的一般函數(shù)決策變量，將連續(xù)線性規(guī)劃問題離散化，通過求解有限維的線性規(guī)劃問題得到原問題的可行近似最優(yōu)解。

未來的研究可以從以下方面展開：1)考慮需求的不確定性，采用動態(tài)規(guī)劃或隨機規(guī)劃的建模方式，在隨機需求的多周期庫存問題中研究企業(yè)的應收賬款貼現(xiàn)策略；2)針對企業(yè)有多種產(chǎn)品和多個下游買家的情形，分析多個應收賬款的貼現(xiàn)策略和相互影響；3)結(jié)合保理業(yè)務的特點，考慮應收賬款的質(zhì)量與買家的信用風險等因素，分析保理業(yè)務對企業(yè)的價值。