深埋非圓形隧道開挖圍巖的彈性和黏彈性位移解析

劉淑紅，范金錄，陳智慧，朱永全

(1.石家莊鐵道大學 工程力學系，河北 石家莊 050043；2.中鐵第四勘察設計院集團有限公司，湖北 武漢 430063；3.石家莊鐵道大學 土木工程學院，河北 石家莊 050043)

軟弱圍巖具有流變特性，位移狀態隨著時間而變化。對于深埋隧道，圍巖的流變特性更加顯著，對于隧道穩定性的影響更大。圓形隧道由于形狀簡單，計算方便，因此理論研究成果相對較多。對于未施加支護的圓形隧道，劉保國等[1]根據不同溫度下，秦嶺隧道圍巖的蠕變試驗結果，得到蠕變模型中的待定參數，用黏彈性理論分析了高地熱條件下的深埋圓形毛洞圍巖黏彈性變形。劉干斌等[2]基于Biot理論，采用滲流-力學耦合模型，研究了因開挖深埋圓形隧道而引起周圍黏彈性飽和土體中的應力和位移場。何平等[3]得到了巖石為H-Kilvin黏彈性體時，圓形隧洞任意方式斷面開挖過程中的應力和位移積分形式解答。王華寧等[4]得出了流變巖體中圓形隧道分兩步開挖圍巖的黏彈性位移和應力的解析解。夏才初等[5]基于西原模型，采用拉普拉斯變換與逆變換，得到了圓形隧道圍巖黏彈-黏塑性區的解析解。對于施加襯砌的圓形隧道，賴遠明等[6]利用彈性-黏彈性對應原理，通過拉氏變換和逆變換，得到了寒區圓形隧道襯砌應力和本構關系符合鮑埃丁-湯姆遜黏彈性模型的圍巖凍脹力。考慮支護滯后效應，Fahimifar等[7]和Nomikos等[8]得到靜水應力場作用下，儲昭飛等[9]得到非靜水應力場作用下，圓形隧道圍巖的黏彈性解。Kargar等[10]、Kargar等[11]分別忽略和考慮隧道開挖影響，采用Burgers黏彈性模型圍巖，得到了圓形襯砌隧道的應力場。王華寧等[12]和Song等[13]推導了圓形隧道開挖和任意時刻施加雙層襯砌，襯砌、黏彈性圍巖的位移和應力解。對于非圓形隧道，李心睿等[14]得到了直墻圓拱形隧道圍巖黏彈性解析解。李明等[15]、寧德義[16]應用鮑埃丁-湯姆遜黏彈性模型，研究了矩形巷道圍巖的黏彈性解析解。結合實際工程的設計、施工和量測方面，王長虹等[17]結合烏鞘嶺隧道量測資料，采用有限元軟件Ansys對符合廣義開爾文模型圍巖的黏彈性問題進行優化反演分析，得出側壓力系數、彈性模量和黏滯系數。李國良等[18]通過選擇斷面形狀、多重支護，快開挖、快封閉等設計和施工方法，成功控制了復雜應力條件下烏鞘嶺隧道軟弱圍巖的大變形。譚忠盛等[19]對中老鐵路軟弱圍巖隧道隨時間變化的大變形，從支護結構和施工方法兩方面主動控制，提出軟巖大變形控制技術。

從上面的研究可以看出，目前的軟弱圍巖的黏彈性位移研究成果多集中在圓形的隧道。由于數學上的復雜性，工程上常用到的非圓形隧道圍巖黏彈性變形的研究成果相對較少。而非圓形隧道圍巖中位移彈性解的研究已經比較成熟，對于深埋的非圓形隧道，可以看成無限大彈性體中的孔洞問題，復變函數法是解決此類問題最有效的方法。基于復變函數方法，很多學者得到了不同形狀隧道圍巖彈性位移的隱式解析解表達式，通過數學軟件給出了沿隧道邊或坐標軸的分布[20-23]。李巖松等[24]得到了考慮襯砌支護，非圓形隧道襯砌和圍巖中應力及變形的解析解。

本文利用復變函數的方法，得到了工程上常見的非圓形隧道開挖引起的圍巖彈性位移的解析解，根據彈性-黏彈性對應原理，通過拉氏變換和逆變換，得到了圍巖黏彈性位移的解析解。以鐵路建設通用參考圖Ⅳ級圍巖中時速250 km客運專線鐵路雙線隧道(板式無砟軌道)為例，給出了隧道附近的彈性位移分布、及隧道拱頂、拱底和拱腰3個特殊點的黏彈性位移隨時間變化規律，為安全經濟的隧道設計和施工提供理論基礎。

1 模型假定

本文研究模型的基本假定與參數為[21,25]：① 地層視為各向同性、均勻連續的介質；②隧道為大埋深，可以看成無限大土體中的非圓形孔洞；③ 圍巖受到無窮遠處的非靜水應力場作用。深埋的非圓形隧道荷載結構圖，見圖1。圖1中，P為豎直壓力；λP為水平壓力；λ為側壓系數。

圖1 非圓形隧道

2 位移的彈性解

通過保角變換，把z平面上非圓形隧道外區域映射到ζ平面上單位圓外域，z平面上的點z=x+iy，對應ζ平面上的點ζ=ρeiθ，x、y和ρ、θ分別為z和ζ平面上的直角坐標和極坐標。保角映射函數z=ω(ζ)的一般形式為

(1)

式中：k=1，2，…；Ck為與隧道截面形狀有關的系數；n為項數，對于常見的隧洞斷面，一般取n=10可以得到足夠準確的變換函數[26-31]。

本問題屬于平面應變問題，在z平面上直角坐標系中，由于隧道開挖引起的圍巖位移的表達式為[23]

(2)

φ0(ζ)、ψ0(ζ)的表達式為

(3)

(4)

(5)

式中：σ為ζ平面上單位圓的邊界值，即ρ=1；ζ=σ=eiθ；B、B′-iC′分別為與無窮遠處荷載有關的常數

(6)

(7)

通過式(1)、式(3) 和式(4) ，可以求得φ0(ζ)和ψ0(ζ)分別為[20]

(8)

(9)

式中：ak、Sk為系數。

(10)

(11)

其中，Lk為系數。

(12)

通過式(10)～式(12)，可以求解出式(8)、式(9)中的待定系數ak和Sk。

3 位移的黏彈性解

根據2節得到的圍巖彈性位移分量，采用彈性-黏彈性對應原理，通過拉普拉斯變換和拉普拉斯逆變換，可以得到圍巖位移的黏彈性解。在定量分析之前，根據圍巖的性質，確定合適的流變本構模型至關重要。本文假定圍巖體積變形是彈性的，形狀變形規律符合由Maxwell、Kelvin模型串聯而成的Burgers模型，對于其他模型，通過變換算子，同樣可以得出位移的黏彈性解。三維本構關系[32-33]

(13)

式中：Sij、eij分別為應力偏量、應變偏量；σii、εii分別為應力、應變第一不變量的張量形式；K為圍巖的體積模量；P′(D)和Q′(D)為黏彈性微分算子。

(14)

式中：Gm、Gk分別為Maxwell、Kelvin模型的剪切模量；ηm、ηk分別為Maxwell、Kelvin模型的黏性系數；s為拉氏空間的自變量。

在黏彈性分析中，相空間參數的變換表達式為

(15)

4 解析結果及討論

本文以鐵路建設通用參考圖Ⅳ級圍巖中時速250 km客運專線鐵路雙線隧道(板式無砟軌道)為例。彈性分析時，根據TB 10003—2016《鐵路隧道設計規范》[34]，選取Ⅳ級圍巖的彈性模量E=2 GPa，泊松比μ=0.32。黏彈性分析時，設圍巖滿足Burgers黏彈性模型，參數如下[8,35]：Gk=344.738 MPa，ηk=0.665 GPa·a，Gm=3 447.379 MPa，ηm=133.005 GPa·a，K=7 469.321 MPa，豎向荷載P=3 MPa。

求隧道的映射函數式(1)，采用搜索邊界映射點的方法[28,31]，主要分以下4個步驟：

Step1將單位圓和隧道邊界按等角度劃分360份，按角度一一對應，將單位圓上的點和隧道邊界上的點代入式(1)，得到360個線性方程組，按最小二乘法求解，得到初始映射函數。將單位圓上的360個點代入初始映射函數，得到對應的初始映射點和初始映射隧道。

Step2求出初始映射隧道邊界上相鄰兩點的距離與初始映射隧道周長的距離比，根據距離比，調整隧道邊界上映射點的位置。

Step3再根據隧道邊界上點與單位圓上點的對應關系，由式(1)，再次計算該對應關系下的第二次映射函數。

Step4如此循環迭代下去，一般迭代15次左右，就可以達到需要的精度，從而求出最終的映射函數表達式。

鐵路建設通用參考圖Ⅳ級圍巖中時速250 km客運專線鐵路雙線隧道(板式無砟軌道)映射洞形見圖2。

圖2 時速250 km客運專線鐵路雙線隧道映射洞形

該隧道映射函數的系數為

C1=0.653 4，C2=6.299 0，C3=-0.491 5，C4=0.306 7，C5=-0.148 3，C6=0.044 5，C7=0.003 8，C8=-0.014 9，C9=0.010 8，C10=-0.005 8，C11=0.003 8，C12=-0.002 9，C13=0.000 9，C14=0.001 9。

4.1 彈性位移的分布

當側壓系數λ=0.9時，根據式(2)得到的由于開挖引起隧道附近的彈性豎直位移u和水平位移v等值線圖見圖3。由圖3可見，由于結構和荷載關于x軸對稱，豎直位移u和水平位移v分別關于x軸正對稱和反對稱。豎向位移主要集中在隧道的頂部和底部，水平位移主要集中在隧道的腰部，豎直位移的影響區域大于水平位移的影響區域。開挖引起的彈性位移在隧道邊界最大，在隧道附近區域迅速下降，之后緩慢趨于零。

圖3 彈性u、v等值線 (單位：mm)

當側壓系數λ取0.3、0.6、0.9時，由于開挖引起沿隧道邊的彈性豎直位移u和水平位移v見圖4。圖4中橫坐標α(圖1)為隧道邊界的點與坐標原點連線跟x軸正向的夾角(0≤α≤180°)，逆時針轉為正，α=0°、180°分別為A點(拱頂)和B點(拱底)(圖2)。由于對稱，僅取左半個結構作為研究對象。由圖4(a)可見，豎直位移u為單調增長曲線，方向指向洞內，隨側壓系數的增大，拱頂和拱底的彈性豎直位移減小；由圖4(b)可見，水平位移v類似拋物線，在A、B點的水平位移為零，滿足對稱條件。當側壓系數(λ=0.3)較小時，沿隧道邊的水平位移為正，說明水平位移方向指向洞外，但值較小。當側壓系數λ=0.6、0.9較大時，沿隧道邊的彈性水平位移為負，說明水平位移方向指向洞內。此時最大的彈性水平位移值在同一點取得，對應點角度α=81.833 1°，點坐標(0.946 4，6.594 2)即圖2中C點(拱腰)。隨側壓系數的增大，拱腰的彈性水平位移值增大。由圖4還可見，隨著側壓系數等差變化，任一點的彈性位移也呈等差變化。

圖4 不同側壓系數時沿孔邊的彈性豎直、水平位移

4.2 黏彈性位移的分布

當側壓系數λ=0.6時，A、B、C點由于開挖引起的黏彈性豎直位移和水平位移隨時間變化曲線見圖5。由圖5可見，A點和B點的豎直位移、C點的水平位移隨時間變化明顯。在5年左右，變化速率減小。位移方向都指向洞內，說明隧道開挖后，一定要及時支護，否則會由于變形過大而破壞。A、B點的水平位移為零，與時間沒有關系，同樣滿足對稱條件。

圖5 A、B、C點的黏彈性豎直、水平位移

當側壓力系數λ=0.3、0.6、0.9時，由于開挖引起的拱腰C點黏彈性豎直位移和水平位移、及A點和B點的黏彈性豎直位移隨時間變化的曲線見圖6。

圖6 不同側壓系數時A、B、C點的黏彈性豎直、水平位移

由圖6可見，隨著側壓系數等差變化，圖6(a)和圖6(b)任一時刻的黏彈性位移也呈等差變化，如t=20 a時，變化值分別為0.088 0、8.903 1 mm。隨著側壓系數的增大，C點的黏彈性水平位移和豎直位移增大，但C點的黏彈性豎直位移值及其隨時間變化很小。A點和B點的黏彈性豎直位移隨側壓系數的改變基本沒變，這是因為A點和B點在豎向對稱軸上，主要受豎直荷載的影響。當λ=0.9，t=20 a時，A點沉降和B點隆起值分別為32.932 5、36.321 1 mm，拱腰C點的黏彈性水平位移為26.999 1 mm。拱底隆起大于拱頂沉降，均大于拱腰C點的黏彈性水平位移。

5 結論

(1) 隧道附近的彈性豎直位移和水平位移等值線圖分別關于豎直軸正對稱和反對稱。開挖引起的彈性位移在隧道邊界最大，在隧道附近區域迅速下降，之后緩慢趨于零。

(2) 隨側壓系數增大，拱頂和拱底的彈性豎直位移減小，拱腰的彈性水平位移值增大。沿隧道邊的彈性豎直位移方向都指向洞內。當側壓系數較小時，沿隧道邊的彈性水平位移方向指向洞外，但值較小。當側壓系數較大時，沿隧道邊的彈性水平位移方向指向洞內，而且此時最大值在拱腰處同一點取得。當側壓系數等差變化時，沿隧道邊界任一點的彈性位移也呈等差變化。

(3) 拱頂和拱底的黏彈性豎直位移、拱腰的黏彈性水平位移隨時間變化明顯，方向都指向洞內。在5 a左右，變化速率減小。說明隧道開挖后，一定要及時支護，否則會由于變形過大而破壞。

(4) 隨側壓系數增大，拱頂和拱底的黏彈性豎直位移變化不大，拱腰的黏彈性水平位移增大。當側壓系數等差變化時，任一時刻拱腰的黏彈性位移也呈等差變化。