借助GeoGebra對(duì)2020高考全國Ⅰ卷第21題的探究及拓展

?武漢大學(xué)附屬中學(xué) 齊黎明

1 問題的提出

(1)求橢圓E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

2 基于GeoGebra的探究

問題1～6將橢圓和點(diǎn)P一般化后，由于涉及運(yùn)算比較復(fù)雜，判斷上述結(jié)論存在一定的難度.因此筆者借助GeoGebra進(jìn)行探究，通過實(shí)驗(yàn)演示觀察結(jié)論是否成立，同時(shí)為后面的代數(shù)證明提供了更加直觀、形象的思路支持.下面以問題1為例進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究.

圖1

(2)設(shè)置兩個(gè)“滑動(dòng)條”控制變量m,t，在輸入框中輸入直線x=m，輸入P=(m,t)，利用直線工具，作出直線PA，利用交點(diǎn)工具作出直線PA與橢圓E的交點(diǎn)C；繼續(xù)利用直線工具作出直線PB，利用交點(diǎn)工具作出直線PA與橢圓E的交點(diǎn)D，最后利用直線工具作出直線CD，利用交點(diǎn)工具作出直線CD與x軸的交點(diǎn)N，如圖2.

圖2

圖3

3 問題的拓展與證明

通過對(duì)以上問題的實(shí)驗(yàn)探究，筆者將上述問題拓展到一般情形.

圖4

圖5

圖6

圖7

證明：可以轉(zhuǎn)化為結(jié)論3證明.

圖8

(a2k2+b2)x2+2kna2x+a2n2-a2b2=0，

令Δ>0，設(shè)S(x1,y1),T(x2,y2)，有

①

(m+x1)y2+y1(m+x2)=0，

化簡(jiǎn)得 2kx1x2+(km+n)(x1+x2)+2mn=0

②

圖9

4 探究后的反思

在網(wǎng)絡(luò)互聯(lián)的背景下，信息技術(shù)在人們?nèi)粘Ｖ械膽?yīng)用逐漸廣泛，并對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響.利用信息技術(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，會(huì)起到事半功倍的效果.在本文的課堂實(shí)驗(yàn)探究中，借助GeoGebra軟件，構(gòu)建橢圓模型，通過控制變量不斷改變動(dòng)直線和方程參數(shù)來演示圖形變化過程，讓學(xué)生觀察點(diǎn)的軌跡的運(yùn)動(dòng)情況，從而猜想出一般結(jié)論，為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评碜C明提供了實(shí)驗(yàn)支持.在GeoGebra可視化動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)過程中，給學(xué)生搭建了一個(gè)探究直線過定點(diǎn)問題的平臺(tái)，結(jié)合題目中直線與橢圓的多元聯(lián)系，通過動(dòng)態(tài)演示，把數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行直觀的表征，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，加深學(xué)生的體驗(yàn)，進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升[2].