神奇的“賈憲三角”

文／唐 佳

同學們，我們知道，完全平方公式用字母表示就是（a+b）2=（a+b）（a-b）。早在我國的北宋時期，數學家賈憲就給出了（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4展開后的公式。他在撰寫的《黃帝九章算法細草》中，提出了一個著名的三角——賈憲三角（如圖1）。不過該書的原書遺失了，但其主要內容被南宋數學家楊輝（約13世紀中）的著作所抄錄，使這部分內容得以傳世。

圖1

賈憲三角實際上是一個算表，相當于二項式定理系數表。在西方，這個三角被稱為帕斯卡三角。但帕斯卡三角比賈憲三角出現的時間晚500多年。

在賈憲三角中，完全平方公式展開后的系數，就對應著第3行的數字。根據第5行的數字，我們可以很方便地寫出二項式的四次方公式：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。

類似的，同學們不妨依據賈憲三角，試一試寫出（a+b）的五次方、六次方公式。

賈憲三角中給出的系數，其實是“取法”的個數。以（a+b）的四次方公式為例，按照四次方的定義，（a+b）的四次方就是4個相同的多項式（a+b）的乘積，依據多項式乘多項式的法則，計算（a+b）的四次方，需要每一個多項式的每一項乘其他多項式的每一項，乘得的結果都是4次單項式。這些單項式中，a和b的次數相當于分別從含有它們的多項式中取出來的個數，而取法就是該項的系數。比如4a3b這個單項式，就是從4個含有a的多項式中取出3個a，一共有4種取法，或者說從4個含有b的多項式中取出1個b，一共有4種取法。

關于二項式更一般的公式，我們將在高中深入學習。到那時，學完“取法”（組合數）相關的知識后，我們就更容易理解了。

同學們，數學故事精彩豐富，數學文化博大精深。我們在學習數學知識的同時，可以多了解歷史上相關的故事，從中獲得啟發。