突出過程性，強調探究性

楊牛扣

摘要：《全等三角形》一課，內容包括全等三角形的概念和性質，比較簡單。教學中，要把簡單的內容“教活”“教深”，就要基于知識的產生與發展、知識之間的聯系，突出過程性，強調探究性。具體地，從生活到數學、從一般（圖形）到特殊（三角形）、從整體（概念）到局部（性質）、從靜態到動態、從發現到應用，設計豐富的學習活動，讓學生在“做數學”的過程中充分探究。

關鍵詞：《全等三角形》;學習活動;“做數學”;過程性;探究性

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“為了幫助學生真正理解數學知識，教師應注重數學知識與學生生活經驗的聯系、與學生學科知識的聯系，組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導學生進行觀察、分析，抽象概括，運用知識進行判斷。”②中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：45，46。由此，學生也能充分感悟“蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中”②的數學思想（研究“套路”）。

蘇科版初中數學八年級上冊第1章第2節《全等三角形》一課內容包括全等三角形的概念和性質，比較簡單。教學中，為了幫助學生真正理解這部分知識，要把簡單的內容“教活”“教深”，就要基于知識的產生與發展、知識之間的聯系，突出過程性，強調探究性：不是簡單告訴學生抽象的定義和結論，并讓學生反復練習，而是從生活到數學、從一般（圖形）到特殊（三角形）、從整體（概念）到局部（性質）、從靜態到動態、從發現到應用，設計豐富的學習活動，讓學生在“做數學”的過程中充分探究。

下面，呈現筆者執教這節課的具體過程與說明，以及進一步的反思。

一、教學過程

（一）從生活到數學，復習全等圖形的概念

師（多媒體展示圖1—圖3）觀察這些圖片，你能看出形狀、大小完全一樣的圖形嗎？

（學生舉手發言，相互補充。）

師生活中存在許多形狀、大小完全一樣的圖形。它們能夠完全重合，因此，是全等圖形。同學們能再舉出生活中一些類似的例子嗎？

（學生舉例，教師引導學生通過定義判斷所舉的例子是不是全等圖形。）

師全等圖形美不美？

生（齊）美。

[說明：引導學生經歷從生活到數學的抽象過程，復習前一節課所學的全等圖形概念，為本節課全等三角形的學習做好鋪墊。]

（二）從特殊到一般，生成全等三角形的定義

師全等的圖形舉不勝舉。這節課讓我們聚焦最簡單、最基本的圖形之一——三角形。請同學們用復寫紙畫出兩個三角形，并用剪刀剪下其中一個三角形，然后觀察比較這兩個三角形。

（學生動手操作，觀察比較。）

師請用語言歸納這兩個三角形有怎樣的關系。

生它們大小相同，形狀一樣。

師為什么？你能驗證說明嗎？

生（把兩個三角形疊放在一起）因為它們能夠重合。

師僅是重合嗎？再操作看看，用一個更貼切的詞描述。

生（齊）是完全重合。

師同學們太棒了！確實，這兩個三角形是完全重合。類似于全等圖形的定義，在數學中，我們把兩個能完全重合的三角形叫作全等三角形，并用符號“≌”表示全等。（出示圖4）將同學們畫出的兩個三角形分別記作△ABC與△DEF，那么，它們是全等三角形就記作“△ABC≌△DEF”，讀作“△ABC全等于△DEF”。

生老師，能給我們講講符號“≌”的含義嗎？

師好的。“≌”是全等符號，“∽”表示形狀相同，“=”表示大小相等。

[說明：從一般的圖形到特殊的三角形，沒有讓學生直接抽象地得出全等的定義，而是跳過生活情境，設計數學實驗，讓學生在畫、剪、觀察比較、操作比較中，感知全等三角形的形狀、大小關系，歸納全等三角形的定義。在充分的體驗與思考中，學生能夠更好地認識全等三角形。]

（三）從整體到局部，明確全等三角形的性質

師剛才，我們從整體上認識了全等的兩個三角形的關系。現在，同學們再細心觀察一下，全等的△ABC與△DEF，各個元素有何對應關系？

（學生動手操作，觀察比較。）

生△ABC與△DEF重合時，點A與點D、點B與點E、點C與點F也分別重合。

生邊AB與DE、邊BC與EF、邊AC與DF分別重合。

生∠A與∠D、∠B與∠E、∠C與∠F分別重合。

師確實，兩個全等的三角形重合時，各個元素也對應重合。我們把對應重合的頂點稱為對應頂點;對應重合的邊稱為對應邊;對應重合的角稱為對應角。在這些元素中，頂點最基本——三角形由三個頂點的位置決定。為了清晰、準確地表示頂點的對應重合，你認為用符號書寫全等三角形的關系時，應該注意什么？

生將頂點一一對應地寫。如，因為點A與點D、點B與點E、點C與點F分別重合，所以寫△ABC≌△DEF。

生不能交錯。如，不能寫成△ABC≌△EFD。

師是的，必須把對應頂點的字母寫在對應的位置上。這樣，能直接看出誰和誰對應重合。而且，這樣的對應關系是唯一的。實際上，同學們應該能感覺到，頂點的對應重合決定了邊和角的對應重合。但是不同于頂點，邊和角有大小。由此，邊和角的對應重合還說明了什么？

生說明了邊和角對應相等。

師很好！這就是全等三角形的基本性質：對應邊相等，對應角相等。現在，請同學們用規范的幾何語言表達由全等的△ABC與△DEF可以得到什么。

（學生自由表達。教師規范板書，如圖5所示。）

∵△ABC≌△DEF（已知），

∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的對應邊相等）;

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的對應角相等）。

[說明：從整體的三角形到局部的元素，引導學生再次操作比較，觀察發現頂點、邊、角對應重合，從而得出“對應頂點的字母寫在對應的位置上”的書寫規范以及“對應邊相等，對應角相等”的性質。在培養學生抽象思維和語言表達能力的同時，深化學生對全等三角形的認識。]

（四）從靜態到動態， 強化全等三角形的本質

師請同學們將之前剪下來的三角形與未剪下的三角形疊合在一起，然后分別將剪下來的三角形沿未剪下的三角形的一邊所在直線平移一定的距離、翻折，以及繞未剪下的三角形的一個頂點旋轉180°。運動前后的兩個三角形還全等嗎？

（學生動手操作，觀察比較。）

生都是全等的。

師為什么？

生圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變了，但形狀、大小不變。

師哦！同學們用到了之前學過的圖形運動的知識。如果要用全等三角形的定義來解釋呢？

生運動前后的兩個三角形能完全重合。

師好的。那我們就來說一說怎樣讓它們重合。（出示圖6—圖8）這三張圖給出的是運動前后的兩個三角形。對于第一張圖，怎樣改變△ABC的位置，使它與△DEF重合？

生（齊）平移。

師對于第二張圖，怎樣改變△ABC的位置，使它與△DBC重合？

生（齊）翻折。

師對于第三張圖，怎樣改變△ABC的位置，使它與△DEC重合？

生（齊）旋轉。

師非常好！同學們能說出運動前后的兩個三角形的對應頂點、對應邊和對應角嗎？

（學生逐一齊答。）

師由此可見，全等三角形與位置有關嗎？

生無關。

師那與什么有關？

生與形狀、大小有關。

師對，這決定了它們能不能完全重合。通過這兩個活動，同學們應該能感受到全等三角形變中不變的本質特征以及圖形的運動與圖形的性質之間的關系。

[說明：從靜態到動態，聯系圖形的運動，讓三角形動起來，引導學生發現：三角形平移、翻折、旋轉后，位置變了，但形狀、大小不變;而通過同種類型的反方向運動，三角形可以回到之前的狀態（與之前的三角形完全重合）。由此，學生能夠強化對全等三角形本質特征的認識，發現兩個全等的三角形也可以看成一個三角形在某種運動過程中的兩個狀態。進而，學生能夠提升動靜結合的辯證思維，學會從圖形運動的角度認識圖形的關系。]

（五）從發現到應用，提升對全等三角形的認識

師接下來，我們看一看全等三角形能幫助我們解決什么問題？

（教師出示習題，引導學生逐一分析、解答。）

1.如圖9，若△OCA≌△OBD，你能找出兩個三角形對應相等的量嗎？這兩個三角形通過怎樣的運動可以重合？

2.如圖10，已知△ABN≌△ACM，若BM=10 cm，則CN的長為;若∠B=40°，則∠C的度數是;若∠B=40°，∠MAC=80°，則∠ANB的度數是。

3.如圖11，已知△EFG≌△NMH，EG和NH共線。

（1）FG與MH平行嗎？為什么？

（2）EH與NG的大小關系是什么？說明理由。

[說明：從發現到應用，通過一組練習，讓學生初步應用全等三角形的概念和性質解決問題，發現準確識別對應頂點、邊、角（基本圖形或基本元素）是關鍵。多樣的練習通過變化全等三角形的位置情況，豐富了全等三角形的外延，進一步提升了學生對全等三角形內涵和價值的認識。第1題融入了圖形的運動，重點培養學生的識圖能力。第2題、第3題綜合了等式的性質、三角形內角和、平行線的判定等知識，重點培養學生簡單的推理和計算能力。]

（六）課堂小結，梳理知識與方法

教師通過如圖12所示的思維導圖，幫助學生回顧本節課學習的過程與結果，梳理相應的知識與方法，形成系統、整體的認知以及良好的知識結構，進一步提升學生對全等三角形知識以及對學習（研究）路徑和方法（“套路”）的認識。

二、教學反思

（一）正確理解三維目標，突出過程性

教學的三維目標指的是“知識與技能”“過程與方法”“情感態度與價值觀”三個維度的目標。對此，可以這樣理解：第一個維度關注的是學習結果，第二個維度關注的是學習過程;前兩個維度關注的是智力因素，第三個維度關注的是非智力因素。分析三者關系，可以發現：過程是結果的基礎，有了好的過程，才有好的結果;非智力因素以智力因素為基礎，數學教育主體是智育，非智育是附加于智育上或融合于智育中的增值。所以，三維目標應以第二個維度為中心，交融互進、相互統一，最終指向人的發展。所以，本節課的教學，筆者突出了全等三角形概念和性質的形成、發展和應用過程，讓學生從過程中掌握知識，領悟方法，培養積極情感。

（二）充分設計學習活動，強調探究性

學生是學習的主體，教師要充分設計學習活動，讓學生經歷學習過程。學習活動要具有探究性，讓學生動手、動腦、多感官協調，自主發現知識，獲得深度理解。本節課的教學，盡管知識不多，也不太難，但是筆者基于知識形成、發展和應用的過程，充分設計了從生活具體到數學抽象、從一般觀察到特殊操作、從整體定形到局部定量、從靜態感受到動態體驗、從情境發現到變式應用等一系列探究活動，引導學生歸納、演繹，發現知識、解決問題、厘清困惑、提升思維。