問題驅動概念教學的實踐與反思
——以“等差數列前n項和”為例

丁永剛 (江蘇省徐州市第一中學 221140)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自江蘇省四星級高中重點班，數學基礎較好，有一定的自學能力、邏輯推理能力和數學運算能力．

1.2 課標要求

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《課標2017》)指出：探索并掌握等差數列的前

n

項和公式，理解等差數列的通項公式與前

n

項和公式的關系；在數列教學過程中，可以組織學生閱讀數列方面的研究成果，尤其是我國古代的優秀研究成果，感悟我國古代數學的輝煌成就．

2 教學實踐

2.1 細心觀察，大膽猜想

問題1

如何將下列古文“翻譯”成現代文？

今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉多一錢，共有百人，問共與幾錢？——《張邱建算經》

設計意圖

通過中國北魏時期《張邱建算經》中一道數學題導入所學內容，引導學生通過觀察、討論、“翻譯”來發現問題中的等差數列，

a

=1,

a

=2,

a

=3,…,

a

=100，需求

a

+

a

+

a

+…+

a

．“翻譯”的過程滲透數學建模方法解決實際問題的思想，借此引出本節課的第一個概念：等差數列{

a

}前

n

項和定義：一般地，我們稱

a

+

a

+

a

+…+

a

為等差數列{

a

}的前

n

項和，用

S

表示，即

S

=

a

+

a

+

a

+…+

a

.

回到古代的問題，轉化為數學語言，提出問題2．

問題2

如何求1+2+3+…+100？

學生活動 分組討論首尾配對求和的原理和方法，討論高斯求和的精髓和局限性．

設計意圖

適當滲透數學史，了解數學家 的故事．高斯求和的精髓在于首尾配對，體現了消項的思想，下面利用高斯求和法研究一個實際問題．

圖1 高斯 圖2

問題3

怎樣計算圖2中鋼管的總數？

設計意圖

利用高斯求和法計算聯想到梯形面積公 式幫助記憶公式，同時讓學生指出其中數量的含義：4(上底)為首項，9(下底)為末項，6(高)為 項數．引導學生討論，高斯求和也有局限性，項數必須是偶數項．當項數不確定時如何計算？引出問題4．

問題4

如何求1+2+3+…+

n

？

學生活動 小組討論，如何求和？

設計意圖

引導學生回顧前兩個問題，對

n

進行分類討論．師生共同得到指出結果中第一個

n

的含義是項數，1的含義是首項，后一個

n

的含義是末項．引導學生思考：能否找出一般的規律來適用于不同的等差數列，從而給出問題5．此過程重視培養學生從特殊到一般的邏輯推理素養．

問題5

猜想等差數列前

n

項和

S

=

a

+

a

+…+

a

的計算公式．

學生活動 思考并猜想結果能否與實際問題一致．

設計意圖

由問題4類比推理問題5，引發學生合理猜想，接著肯定學生的猜想，猜想出的結論需經過嚴格的證明，從而引出下一環節“合作探究，嚴格證明”．

2.2 合作探究，嚴格證明

問題6

如何證明等差數列的前

n

項和公式？

學生活動 討論一般情況下的等差數列如何推導求和公式，嘗試總結公式的記憶方法．

生1：(1)當

n

是偶數時，(2)當

n

是奇數時，

由(1)(2)得

問題7

審視問題3解法中兩幅圖與解法的關系，能否避開分類，重新證明問題6？

設計意圖

為“倒序相加法”的出現做鋪墊．生2：設{

a

}的首項為

a

，公差為

d

，則

S

=

a

+(

a

+

d

)+(

a

+2

d

)+…+[

a

+(

n

-1)

d

] ①．又

S

=[

a

+(

n

-1)

d

]+[

a

+(

n

-2)

d

]+…+

a

②

.

①+②，得2

S

=

n

[2

a

+(

n

-1)

d

]=

n

(

a

+

an

)．由此可得師：生2將數列中的每一項都用基本量首項

a

、公差

d

表示，這是研究等差數列問題的通法，將數列通項的順序顛倒后相加實現等差數列的求和．

問題8

如何改進生2的證法，使之更簡潔？

設計意圖

倒序相加已經呈現，但需要再次簡化過程．生3：由

S

=

a

+

a

+

a

+…+

a

①,得

S

=

a

+

a

-1+…+

a

②．①+②，得2

S

=(

a

+

a

)+(

a

+

a

-1)+(

a

+

a

-2)+…+(

a

+

a

)=

n

(

a

+

a

)．由此可得師：生3的證法更簡潔直觀，當數列首末兩項的和

a

+

a

為常數時，常用倒序相加法求數列的和，如何記憶此公式？生4：借助梯形面積公式記憶更牢固

.

設計意圖

小組討論，學生多人合作終于完成證明過程，可以讓學生感受倒序相加法的形成過程和使用條件，學生總結公式的記憶方法，完成知識建構．

2.3 新知初學，牛刀小試

問題9

在等差數列{

a

}中，

a

=2

n

-1，求

S

．(結果用

n

表示)

學生活動 學生以搶答的方式進行，口述解題過程與結果．

設計意圖

讓學生體會公式的簡單運用，小試牛刀，提升學習的熱情．

2.4 師生合作，公式運用

問題10

等差數列{

a

}中：(1)已知

a

=3，

a

=101，求

S

；(2)已知求

S

．

學生活動 學生回答解題思路與過程，教師黑板板演完整解題過程．

設計意圖

此題為公式的直接運用

.

對于 第(2)題，需先求

a

，若對于求和公式中的

a

利用

a

=

a

+(

n

-1)

d

，則這是本節課的第二個求和公式

.

強調每個量的含義，并分析兩個求和公式與通項公式，共有五個量，觀察問題10，知道其中任意三個量可求其余兩個量，即“知三求二”．

問題11

在等差數列{

a

}中，已知求

a

及

n

．

學生活動 學生在草稿紙上書寫解題過程，教師利用投屏技術，展示學生完整解題過程，讓學生講解思路，鼓勵學生一題多解．

設計意圖

本題是等差數列求和公式的逆向運用，訓練學生逆向思維能力．

問題12

已知等差數列{

a

}，填寫下表：

序號a1dnanSn112152-1327

學生活動 學生以小組為單位進行搶答．

設計意圖

此題是對于求和公式“知三求二”的鞏固練習．

問題13

在等差數列{

a

}中，已知第1項到第10項的和為310，第11項到第20項的和為910，求第21項到第30項的和．

學生活動 學生先獨立完成，然后小組討論，利用投屏技術展示完整解法．引導學生深入思考：此題除了基本量法之外，還有別的解法嗎？

設計意圖

此題是公式的靈活運用，將題目條件化為基本量，這是解數列題的通法，強調通性通法

.

本題體現了化歸轉化思想，尊重學生思維發展的廣度，鼓勵創新解法．

2.5 課堂檢測，鞏固新知

問題14

在等差數列{

a

}中，

a

=2

n

+3，

S

=

an

+

bn

+

c

(

a

,

b

,

c

是常數)，求

a

-

b

+

c

．

學生活動 通過抽簽抽取學生答題，小組內部可提供幫助，10秒鐘內若沒有思路則重新進行抽簽．

設計意圖

本環節為課堂檢測環節，通過控件抽簽器(利用Int函數，抽取隨機數)抽取學生來答題，為求和公式性質的學習做鋪墊，以此方式調動學生的學習興趣，提高課堂學習的效率．問題9讓學生初次體驗計算成功的喜悅，問題10～12是公式的正用、逆用、變形用，層層推進，讓學生感受數學解題中的變化．

2.6 小結提升，反思升華

問題15

本節課你學到了哪些知識與技能、過程與方法？

生5：本節課我們學習了一種方法：倒序相加法；兩個公式：和三種思想：特殊與一般思想、方程思想、轉化與化歸思想．

3 教后反思

本課的授課對象整體水平較高，整個教學過程基本與課前預設一致，達到了預期的教學效果．

3.1 內容響應課標，突出重點

《課標2017》指出：在教學中可以組織學生收集、閱讀數列方面的研究成果，特別是我國古代的優秀研究成果……感悟我國古代數學的輝煌成就．本節課設計用到中國古代數學家張邱建的著作《張邱建算經》與高斯求和等數學文化內容，特別突出張邱建的研究，讓學生體驗深厚的民族自豪感．教學設計凸顯數學建模、邏輯推理、數學運算等數學學科素養的培養指向，在教學目標達成的同時，傳遞給學生數學學習的必備品質、學習能力和正確的價值觀念．

本節課的教學重點在于公式的推導，在問題3和問題4中讓學生充分感受高斯首尾配對算法的局限性，通過教材上的實例，感受倒序相加法的巧妙之處，從而在公式推導過程中自然呈現．本節課的教學難點在于公式的運用，問題9到問題12均為對公式的運用．在問題10第(2)題中，將通項公式代入求和公式，可引出本節課的第二個求和公式，通過對兩個公式與通項公式的分析，發現共有5個量，可“知三求二”．問題12為趣味競答環節，設置控件抽簽器，抽取學號，由學生現場抽題，激發了學生課堂學習的樂趣．

3.2 問題驅動探究，訓練思維

數學是思維的科學，而問題是數學的心臟，語言是思維的外殼．布魯納說過：“教學過程是一種提出問題和解決問題持續不斷的活動，思維永遠是從問題開始．”本節課共設計了15個問題組成問題串(有預設的問題，也有生成的問題，如問題7和問題8)，問題1讓學生對等差數列前

n

項和的概念產生直覺猜想，問題2解決問題1提出的問題，問題3是問題2的特殊情況，問題4是從問題2、問題3的特殊情況到一般情況，問題5是問題4的更一般情況，問題6到問題8是對問題5的證明過程的層層改進，為引出“倒序相加求和法”做鋪墊，由此獲得對“倒序相加求和法”的本質的認識，可謂是精心設計

.

問題13和問題14是公式的靈活應用，體現了公式的應用價值，問題15有效地促進學生反思，在總結知識、升華內容的同時，有效培養了學生的理性思考和概括能力

.

15個高質量的問題驅動學生對等差數列前

n

項和的求和公式進行了深入的探究，由此獲得對等差數列求和公式的本質認識，在問題串的驅動下，數學建構、數學探究過程嚴謹而又流暢，在潛移默化中訓練了學生的思維能力．

3.3 過程引領發展，提升素養

學生經歷“觀察—猜想—證明—運用”的探究過程，探究等差數列前

n

項和公式的多種證明方法，通過古代數學問題發現了數列求和，繼而提出如何求等差數列前

n

項和，通過小組合作，得出等差數列的前

n

項和公式

.

此過程中，學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力得到培養，其從特殊到一般的邏輯推理能力得到訓練，教師引領學生走上了科學研究的正確道路，提升了學生的學科核心素養．

3.4 知識表征多樣，促進建構

20世紀80年代美國數學教育學家杜賓斯基提出了一種關于數學概念教學的APOS理論，該理論的主要觀點是：學生學習數學概念就是心智結構建構的過程，具體可分為操作階段、過程階段、對象階段和圖式階段．以此理論為出發點，本節課在設計教學流程時重視如何使學生在心智建構過程中發揮較好的主體作用．為此，筆者在設計教學過程時，向學生提供了圖形、文字、符號等多樣化的知識表征，創造出靈活變化的教學情境，激發學生的數學思考，給學生創造探索數學規律、發現數學本質的機會，使教學活動開展得富有成效，從而將探究式學習得到落實與推進．

3.5 知識鼓勵應用，升華思想

在引導學生探索并證明等差數列前

n

項和公式之后，筆者還啟發學生利用公式解決相關數學實際問題，體會和挖掘數學公式在解決實際問題中的作用．筆者一方面設計了配套的題組，使學生熟練掌握公式并加深對公式的理解；另一方面從形式上、結構上引導學生思考除了“知三求二”還有哪些應用與推廣，隨著后續章節的不斷推進，學生會在后續學習中不斷領會知識應用中滲透的相關數學思想．