數(shù)學(xué)概念的形式化與教學(xué)思考
——以初中數(shù)與代數(shù)的概念為例*

韓詩貴 (江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 214177)

形式化是數(shù)學(xué)的基本特征，在數(shù)學(xué)中無處不在，它貫穿于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用等過程中．所謂數(shù)學(xué)形式化是一種用符號或符號的方法或技術(shù)來改進(jìn)數(shù)學(xué)表達(dá)，對數(shù)學(xué)語言、理論進(jìn)行整理、修正、轉(zhuǎn)化和組織的過程．簡言之，數(shù)學(xué)形式化就是以符號為基礎(chǔ)的一種數(shù)學(xué)表達(dá)．我們知道，一切方法性學(xué)科都是形式化的，只有暫時(shí)舍棄各種具體內(nèi)容而專門研究其形式，才能使方法性學(xué)科獲得獨(dú)立發(fā)展，并走在應(yīng)用前面．?dāng)?shù)學(xué)是工具性學(xué)科，也是方法性的學(xué)科，這決定了它必然也是形式化的學(xué)科．

在初中階段的數(shù)與代數(shù)中，常見的數(shù)學(xué)形式化有概念形式化、公式(或法則)形式化、計(jì)算(或推理)形式化等．其中，概念形式化是其他形式化的基礎(chǔ)．所謂概念形式化就是在自然語言符號化的基礎(chǔ)上，舍棄概念包含的具體內(nèi)容，抽象出的一種形式化的邏輯關(guān)系或結(jié)構(gòu)．簡而言之，概念形式化就是用符號語言表征概念的一種形式．本文結(jié)合初中數(shù)與代數(shù)中的具體實(shí)例，談?wù)劯拍钚问交男纬蛇^程，以及如何幫助學(xué)生理解概念形式化等問題．

1 概念形式化的形成

在初中數(shù)與代數(shù)中，概念形式化通常是概念內(nèi)容的一般化的結(jié)果．例如，2

n

,2

n

+1分別是偶數(shù)和奇數(shù)的形式化，也是具體偶數(shù)和奇數(shù)的一般化結(jié)果．又如，數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值，用符號“| |”表示絕對值，“|

a

|”表示絕對值概念的形式化．像這樣的形式化常常是先以自然語言定義概念，引進(jìn)字母后才有一般化的結(jié)果．另外，還有一些概念的定義中包含了一般化的結(jié)果

.

如“式子叫做二次根式”“形如

y

=

kx

+

b

(

k

,

b

為常數(shù)，且

k

≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)”，等等，在具體教學(xué)中，等形式從定義中逐漸分離，應(yīng)用到與概念相關(guān)的問題中．

2 與概念形式化相關(guān)的內(nèi)容及教學(xué)思考

概念形式化簡約了概念，使數(shù)學(xué)表達(dá)更清晰、更流暢．概念形式化與符號密切相關(guān)，與概念的內(nèi)容密切相關(guān)．而概念定義、概念性質(zhì)、概念應(yīng)用等相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程，是理解概念形式化的過程，也是概念形式化從理性抽象走向理性具體的過程．

2.1 概念形式化中的符號

由于概念形式化是基于符號的一種數(shù)學(xué)表達(dá)，所以理解相應(yīng)的符號的意義及其運(yùn)算關(guān)系成了理解概念形式化的基礎(chǔ)．例如，理解一次函數(shù)的形式化

y

=

kx

+

b

，需要理解這里的

k

,

b

為實(shí)數(shù)，且

k

不等于零，

x

,

y

表示變量，還需要理解

kx

表示

k

與

x

相乘(省略了乘號)，甚至“+”“=”等運(yùn)算符號．又如，二次根式的形式化中，需要理解

a

的適用范圍，還需要理解符號的雙重意義：一則是對象意義，即代表一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，像表示4的算術(shù)平方根；二則是操作意義，代表一個(gè)操作過程，如代表求4的算術(shù)平方根的運(yùn)算，即

2.2 概念的形式與內(nèi)容

我們知道，任何事物都有內(nèi)容，也有形式．概念的形式化可認(rèn)為是概念的形式．例如，

ax

+

bx

+

c

=0是一元二次方程的形式，其內(nèi)容包括

x

=2,

x

(19-2

x

)=24,5(1+

x

)=9

.

8,

x

+(

x

-1)=25等具體方程．從哲學(xué)的角度看，形式和內(nèi)容是對立統(tǒng)一的．

首先，內(nèi)容是易變的，而形式通常是穩(wěn)定的．例如，上述例子中，具體的一元二次方程是不同的、可以變化的，但它的形式卻是穩(wěn)定的、不變的．

其次，同一內(nèi)容可能不止一種形式．如和

y

=

kx

都可認(rèn)為是反比例函數(shù)的形式．第三，內(nèi)容決定形式，形式反作用于內(nèi)容．譬如，

ax

+

bx

+

c

=0是概念形式化抽象的結(jié)果，也是由具體方程

x

=2,

x

(19-2

x

)=24,5(1+

x

)=9

.

8,

x

+(

x

-1)=25等高度概括的結(jié)果，所以說，一元二次方程的形式化依賴其具體內(nèi)容．反過來，對一元二次方程形式化的理解和應(yīng)用有助于進(jìn)一步理解概念，有助于準(zhǔn)確識別具體的一元二次方程．第四，形式與內(nèi)容有時(shí)還會相互轉(zhuǎn)化．例如，5(1+

x

)=9

.

8相對于具體問題是形式，但是對于

ax

+

bx

+

c

=0而言，它卻是內(nèi)容．又如，等分別是不同函數(shù)的形式，但它們又都是函數(shù)

y

=

f

(

x

)的內(nèi)容，而

y

=

f

(

x

)是其形式．

可見，概念內(nèi)容與其形式化相互影響，重視概念的內(nèi)容有助于理解概念形式化．

2.3 概念形式化與概念定義

我們認(rèn)為，概念形式化與概念定義都是概念的表征形式．在概念的教與學(xué)中，概念定義常常是概念學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，而縱觀概念形式化的形成過程，概念定義通常也是其形式化的起點(diǎn)．所以，重視定義的教學(xué)是概念學(xué)習(xí)的需要，也是理解概念形式化的需要．

首先，重視相關(guān)素材的選擇

.

例如，在二次函數(shù)定義的教學(xué)中，選擇具有典型性、代表性的函數(shù)有助于學(xué)生提煉、概括定義，同時(shí)，也有助于學(xué)生形成概念的形式化．其次，素材反映的內(nèi)容應(yīng)該貼近學(xué)生的實(shí)際，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)

.

例如，二次函數(shù)定義的教學(xué)中，選擇的實(shí)例最好取材于學(xué)生的生活或?qū)W生感興趣的問題，另外，問題的類型最好也是學(xué)生熟悉的、容易理解的，這樣才有更充裕的時(shí)間突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，提高定義教學(xué)的效率，加深概念形式化的理解．第三，重視概念定義的形成過程

.

教學(xué)中，結(jié)合具體的實(shí)例概括定義的過程是發(fā)展學(xué)生抽象能力的過程，通常也伴隨著概念形式化的抽象過程．因此，避免直接講授定義，避免機(jī)械背誦定義，重視學(xué)生對概念定義的個(gè)性化理解，是定義教學(xué)的需要，也是學(xué)生理解概念形式化的基礎(chǔ)．

2.4 概念形式化與概念性質(zhì)

概念性質(zhì)的學(xué)習(xí)常常離不開概念的形式化．

首先，形式化簡化概念性質(zhì)的表征．例如，絕對值的性質(zhì)：(1)正數(shù)的絕對值是它本身；(2)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；(3)0的絕對值是0．我們常常用概念的形式化簡化性質(zhì)，即：(1)當(dāng)

a

>0時(shí)，|

a

|=

a

；(2)當(dāng)

a

<0時(shí)，|

a

|=-

a

；③當(dāng)

a

=0時(shí)，|

a

|=0．其次，形式化優(yōu)化概念性質(zhì)的證明與探索．例如，一次函數(shù)的性質(zhì)：在一次函數(shù)

y

=

kx

+

b

中，如果

k

>0，那么函數(shù)值

y

隨自變量

x

增大而增大；如果

k

<0，那么函數(shù)值

y

隨自變量

x

增大而減小．又如，一元二次方程求根公式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識的證明與探索均是以一元二次方程的形式化為起點(diǎn)．

2.5 概念形式化與概念應(yīng)用

學(xué)習(xí)者理解概念的形式化，感悟形式化的力量，以及對形式化的認(rèn)識從理性抽象到理性具體等過程，主要是在應(yīng)用中完成的，或者說是在不同情景、不同層次中應(yīng)用多次才能完成的．從心理學(xué)的角度看，概念形式化的應(yīng)用有低層次和高層次的區(qū)別．概念形式化的低層次應(yīng)用主要體現(xiàn)在知覺和記憶等方面，表現(xiàn)為概念形式化的簡單辨析、識別等．

例如，下列函數(shù)中，有哪些符合

y

是

x

的反比例函數(shù)？

(4)

這樣的判斷是對概念形式化結(jié)構(gòu)和內(nèi)涵的辨析，較少會涉及其他概念或命題．而概念形式化的高層次應(yīng)用體現(xiàn)在思維和創(chuàng)新能力等方面，表現(xiàn)為概念形式化在問題解決中的應(yīng)用．由于問題解決涉及的概念、命題較多，所以這樣的應(yīng)用通常是一個(gè)比較復(fù)雜的過程，需要學(xué)習(xí)者根據(jù)實(shí)際問題提供的信息去激活、提取和篩選與之相關(guān)的知識和方法，并將其與當(dāng)前問題聯(lián)系起來．

圖1

例如，一次函數(shù)的應(yīng)用問題：某長途汽車客運(yùn)公司規(guī)定旅客可免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李，當(dāng)行李的質(zhì)量超過規(guī)定時(shí)，需付的行李費(fèi)

y

(元)與行李質(zhì)量

x

(kg)之間的函數(shù)圖象如圖1所示．求旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量．解決問題時(shí)，通常設(shè)

y

=

kx

+

b

，可得求得函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)

y

=0時(shí)，

x

=10．問題解決的過程應(yīng)用了一次函數(shù)的形式化，也應(yīng)用了一次函數(shù)圖象、二元一次方程組等知識

.

當(dāng)然，也可能會有學(xué)生這樣求解析式進(jìn)而求解．也就是說，高層次應(yīng)用常常是一個(gè)個(gè)性化的過程，也是與其他已有知識或結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系的 過程．可以說，概念應(yīng)用是概念形式化從理性抽象走向理性具體的必經(jīng)過程，它具有無法替代的作用．

3 結(jié)語

在初中數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，隨著學(xué)生符號意識和符號應(yīng)用能力的增強(qiáng)，形式化逐漸成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的主要內(nèi)容．形式化優(yōu)化了思維過程，提高了思維效率．其中，概念形式化是基礎(chǔ)，常常也是概念教與學(xué)中無法回避的過程．因此，概念形式化是概念學(xué)習(xí)的需要，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、為未來發(fā)展奠基的需要．