穩基礎 重能力 求本質
——2021年新高考I卷評析*
2022-04-21 14:20:26顧曉峰江蘇省錫山高級中學214174
中學數學雜志 2022年4期
顧曉峰 (江蘇省錫山高級中學 214174)
在經歷“八省聯考數學”的“驚心動魄”后，2021年新高考數學I卷最終回歸平靜．沒有讓學生發懵的三項數列遞推，沒有陌生的臺體公式，也沒有抽象難懂的曲率，試卷命題遵循新課標的“四基”要求，秉持“立德樹人”的核心目標，在繼承2020年新高考I卷(山東卷)命題風格的同時也作出了一些創新．試卷的諸多亮點值得品味與反思，其中呈現出的新動向與新變化也將深刻影響2022年高考數學的復習教學．
1 試卷分析
2021年新高考I卷由教育部考試中心命制，為山東、河北、湖北、湖南、江蘇、廣東、福建七省使用．同2020年新高考I卷一樣，試卷不分文理，且以2017版數學課程標準為本確定考試范圍，在試卷結構上大體保持一致，但也出現了一些變化：
(1)多選題分值由原來“部分選對得3分”調整為“部分選對得2分”，增加了該題型的區分度；
(2)壓軸填空題變為雙空題，既擴大了考查知識的范圍，也利于學生逐步探究并盡量得分，在豐富命題形式的同時照顧到了學生心態；
(3)未出現結構不良的開放性試題；
(4)除立體幾何題外，解答題中其余考點的位置均發生了變化，其中三角函數題由原來第一題后移至第三題，變化較大．
考試內容整體分布合理，試題堅持體現基礎性、綜合性、應用性和創新性的特點，難度把握上科學調控，具有很好的選拔性，本文將分三個層面對試題進行評析．
2 試題評析
2.1 穩固基礎——立足主干知識方法的覆蓋
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1
考點分布2021年新高考I卷必修和選擇性必修考點分布如表1、表2所示．
表1 2021年新高考I卷必修考點分布
主題單元試題分布主題一 預備知識集合1常用邏輯用語相等關系與不等關系從函數觀點看一元二次方程與一元二次不等式主題二 函數函數概念與性質13冪函數、指數函數、對數函數三角函數4,6,10,19主題三 幾何與代數平面向量及其應用10復數2立體幾何初步3,20主題四 概率與統計概率8統計9
表2 2021年新高考I卷選擇性必修考點分布
主題單元試題分布主題一 函數數列16,17一元函數導數及應用7,15,22主題二 幾何與代數空間向量與立體幾何12,20平面解析幾何5,11,14,21主題三 概率與統計計數原理概率18統計主題四 數學建模活動與探究活動數學建模活動與數學探究活動16
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考點分析與2020年新高考I卷對比，試卷加大了對三角函數、解析幾何、導數、概率和空間向量與立體幾何的考查，體現命題對核心主干知識的回歸．如解析幾何涉及了四題，且分別考查了圓、橢圓、雙曲線與拋物線，考查形式涵蓋了所有題型，難度設置從容易到中檔再到較難．試卷不再對相等與不等關系、初等函數和計數原理進行單獨考查，弱化了統計、立體幾何初步的相關內容，表明命題考慮到了知識的作用，凸顯出預備知識與部分基礎知識的工具性，符合新課標的要求．
試題不僅對基礎知識覆蓋全面，也強化了對數學基本思想方法與技能的考查：分類與整合(第4,12,15,19題等)，數與形結合(第7,11,12,16題等)，化歸與轉化(第5,7,10,19題等)，函數與方程(第7,19,21,22題等)．試題的解決以通性通法為主，淡化特殊技巧，其中第1～6,9～10,13～14,17～18和19～22題的第(1)問均屬于容易題，側重考查了知識、公式、概念和基本性質的直接應用．縱觀整張試卷，其穩健固本、立足基礎的特點顯現得淋漓盡致．
2.2 重視能力——凸出關鍵能力的考查
關鍵能力是評價學習者認識、分析與解決問題水平的核心指標，基于數學新課程改革的核心素養要求以及《中國高考評價體系》的理論指引，一般將高考數學關鍵能力的考查定位于四項：閱讀理解、信息整理、語言表達與批判性思維．
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1
信息閱讀與整理例1
(全國I卷第16題)某校學生在研究民間剪紙藝術，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規格為20 dm×12 dm的長方形紙，對折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm× 6 dm兩種規格的圖形，它們的面積之和S
= 240 dm，對折2次共可以得到5 dm×12 dm, 10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三種規格的圖形，它們的面積之和S
=180 dm，以此類推，則對折4次可以得到不同規格的圖形的種數為；如果對折
n
次，那么dm．本題是以中國數學文化為載體的信息題，首先列舉對折3次、4次后的情形，進一步歸納得到對折
n
次后，共有n
+1種規格的圖形，并且每種圖形的面積都是從而這實際是一個“等差×等比型”數列，可利用錯位相減法求和．本題綜合考查了邏輯推理、數學建模與數學運算的能力，難點在于將文字語言(折紙的步驟方法)翻譯為圖形語言(列舉不同規格的圖形)，再整理成符號語言(數列的通項與求和)．通過對閱讀到的信息逐步整理(篩選、加工和總結)，理解問題的數學意義并選擇合適的模型予以解決，是解決創新性問題的必備能力．2
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2
批判性思維批判性思維是數學理性思維的高度表現，它促使學生面對新問題情境時，能夠綜合運用已有知識進行獨立分析，多角度理解，主動尋找問題解決的途徑，并能夠審視過程的嚴謹性與合理性．
例2
(全國I卷第7題)若過點(a
,b
)可以作曲線y
=e的兩條切線，則( )．A．e<a
B．e<b
C．0<a
b
x
,e)，然后表示切線并轉化為關于x
的方程e(1-x
+a
)=b
有兩個不等根，再構造f
(x
)=e(1-x
+a
)，畫其草圖研究它與直線y
=b
何時有兩個交點．問題的解決需要學生對導數的幾何意義與利用導數研究函數單調性的知識深入理解，同時熟練運用數形結合、函數方程的思想對問題進行轉化，這對批判性思維能力的要求較高．其實對于一部分學生來說，還可以發現過(a
,b
)要能作y
=e的兩條切線，則(a
,b
)一定在曲線y
=e的下方且在x
軸上方，這就直接得0<b
例3
(全國I卷第19題)記△ABD
的內角A
,B
,C
的對邊分別為a
,b
,c
，已知b
=ac
，點D
在邊AC
上，BD
sin∠ABC
=a
sinC
．(1)證明：BD
=b
；(2)若AD
=2DC
，求cos∠ABC
．本題第(1)問直接使用正弦定理便可解決，屬基礎題，但第(2)問將不少學生“卡住”，究其原因是無法整合已知條件．其實，BA
,BD
,BC
分別是c
,b
,a
，點D
為AC
邊上靠近C
的三等分點，目標指向∠ABC
，這些“蛛絲馬跡”幫助我們聯想起利用向量的“定比分點公式”能將它們整合在一起，再于△ABC
中對∠ABC
用余弦定理，聯立各關系式最終得出a
,c
的關系．除了利用向量知識外，也可以通過作輔助線(如過D
作DE
∥BC
交AB
于E
)再算兩次余弦值(如cos∠BED
,cos∠ABC
)來獲得a
,c
關系式．本題的難點在于如何通過條件構建兩個關于a
,b
,c
,∠ABC
的關系式，這要求考生能有效識別信息要素間關系，對三角、向量、平幾等知識協同應用.
這是對批判性思維的深度考查．多項選擇題是近兩年來在新高考中新增的題型，因其需對各選項逐個檢查判斷或進行比對排除，故能較好地檢測學生的批判性思維能力．比如2021全國I卷第11題，一些考生習慣性地以為在選項C與D中應該二選其一，但∠PBA
無論最大還是最小，PB
都與圓相切，這意味著PB
是相同的，故基于理性判斷應大膽兼選．第12題可以相對容易地排除選項A和C，在不計算選項D的情況下便可選BD．2
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2
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3
語言表達如果說閱讀理解是信息的輸入過程，那么語言表達就是信息的輸出過程．高考數學的語言表達強調書寫的規范性、過程的條理性與結構的嚴密性，閱卷教師將依據呈現出的內容來判斷學生對基本知識、定理與公式的理解，對思想方法的掌握與理性思維水平的高低，因此語言表達能力顯得尤為關鍵．
圖1
例4
(全國I卷第20題)如圖1，在三棱錐A
-BCD
中，平面ABD
⊥平面BCD
，AB
=AD
，O
是BD
的中點．(1)證明：OA
⊥CD
；(2)若△OCD
是邊長為1的等邊三角形，點E
在棱AD
上，DE
=2EA
，且二面角E
-BC
-D
的大小為45°，求三棱錐A
-BCD
的體積．本題第(1)問要求準確使用面面垂直的性質定理以及線面垂直的定義，證明過程需做到規范、簡明、邏輯鏈連續完整，這是語言表達的基本要求．第(2)問如若選擇建立空間直角坐標系解決，則要求學生能準確表述并證明建系的過程，且由于逆向設問(已知二面角大小)，需先設出A
的坐標，通過建立方程求得AO
長，再利用體積公式求解．當然，第(2)問也可以過點E
作EF
∥AO
交BD
于F
，過F
作FG
⊥BC
交BC
于G
，連結EG
，再嚴格論證∠EGF
為二面角的平面角，并結合有關平幾知識推出AO
的長．無論何種做法，都需要言明從立體幾何轉化為空間向量(或平幾)操作的合理性，且只有流暢而嚴謹的表達才能清晰地展現思維的過程和結果．2.3 追求本質——回歸原始概念和典型問題的理解
數學是建立在原始概念基礎上的學科，數學的學習應是對概念的內涵與外延深入挖掘后再加以應用．倘若失去對概念本質的認識，那么解題便成為“無本之木，無源之水”，因此高考命題不斷關注著對數學本源性的考查．
例5
(全國I卷第8題)有6個相同的球，分別標有數字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則( )．A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
本題考查了相互獨立事件的定義，這恰恰擊中許多學生備考中的盲點．依據定義，對任意兩個事件A
與B
，如果P
(AB
)=P
(A
)P
(B
)，則稱事件A
與事件B
相互獨立．從本質上說，事件A
與B
相互獨立的標準是事件A
(或B
)發生對事件B
(或A
)發生的概率沒有影響，其強調的是對概率的影響，因而在解題時應分別檢驗兩事件各自發生的概率之乘積與同時發生的概率是否相等，也就是必須回歸到原始定義，而不能憑生活經驗直覺判定．新高考不僅重視對原始概念的深度理解，還熱衷于對典型問題進行再創新．比如2020年全國I卷壓軸題考查了直線過定點與“隱圓”問題，2021年全國I卷的壓軸題也有“熟悉的味道”．
例6
(全國I卷第22題)已知函數f
(x
)=x
(1-lnx
)．(1)討論f
(x
)的單調性；(2)設a
,b
為兩個不相等的正數，且b
lna
-a
lnb
=a
-b
，證明：本題第(1)問未涉及參數討論，較好處理，但第(2)問讓人望而卻步．其實條件“b
lna
-a
lnb
=a
-b
”具有某種對稱感，加之目標出現故對式子兩邊同除以ab
，則原式轉化為即即若設則問題轉化為在f
(x
)=f
(x
)下，求證2<x
+x
x
>2”部分的證明是“比較常規”的，可利用對稱化構造處理(至于“x
+x
3 教學建議
2021年是全國新高考I卷命題第二年，試題呈現出的共性特點或許是未來高考數學的風向標，試題表現出的動態變化也提醒我們在教學中需要與時俱進．基于2021年與2020年全國I卷的分析，對2022年高考復習教學提出幾點建議：
(1)回歸教材，認真回顧和理解概念的生成與發展，關注具有“源于教材但又高于教材”特點的問題．以本為本，保證主干知識復習的全面性，如解析幾何中四類曲線都有可能成為考點．
(2)適當弱化新定義型問題的訓練，重視數學應用型、數學文化型問題解題素養的提升．如加強學生閱讀理解的積極性和有效性，設置與生活文化相關的問題情境并滲透數學知識與方法，培養學生解決實際問題的能力．
(3)2021年全國I卷中有不少試題可從多角度解決(如第4，6，7，12，13，14，19，20題等)，這要求在備考復習中規避“題海戰術”，給予學生充足時間思考，重視對問題的源與流進行深入研究，甚至可以舉一反三，培養學生的批判性思維．
(4)2020年、2021年全國I卷的最后三道解答題考查的知識點均為立體幾何、解析幾何與導數，在復習過程中可加強對這三大板塊中典型問題的研究．這兩年均在解答題的三角題與數列題中的一題上設置了些障礙(2020年數列題、2021年三角題)，學生需增強歸納、總結的探究能力與知識方法之間綜合應用的能力．同時，在復習(尤其是一輪復習)中重視師生互動與板演，密切關注學生口頭和書面語言表達的嚴謹性與規范性．
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