構造向量求數列的和

215600 江蘇省梁豐高級中學

江蘇省張家港市羅建宇名教師工作室 趙穎穎

向量是溝通幾何與代數的橋梁，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎

.

在中學教學實踐中，向量常作為工具來解決幾何問題，也能解決一些代數問題，向量的運用多見于等式、不等式、函數等問題(參見文[2]-文[9])

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筆者構造向量求幾類典型數列的和，作為向量在解決代數問題中的補充，用以倡導在高中數學知識間進行相互論證，發展數學學力

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一、 構造向量推導等差數列前n項和公式

問題1

設數列{

a

}是公差為

d

的等差數列,求數列{

a

}的前

n

項和

.

解析：

當

d

=0時，易得

.

下面推導當

d

≠0時的求和公式

.

記則所以所以所以所以所以即

評注：

從向量的視角看，等差數列對應向量的加減法運算，問題1的解決是在構造向量的基礎上，結合向量的模的計算得以推導等差數列前

n

項和公式

.

類似地，利用上述對向量的模的計算方法，可以求數列{

n

}(

m

∈

N

)的前

n

項和，簡析如下

.

記則所以所以所以所以即

同理，所以所以由得即

類似地，依次構造并利用二項式定理，可分別求數列{

n

}，{

n

}…的前

n

項和

.

二、 構造向量推導等比數列前n項和公式

問題2

設數列{

a

}是公比為

q

的等差數列,求數列{

a

}的前

n

項和

.

解析：

當

q

=1時，易得

.

下面推導當

q

≠1時的求和公式

.

記則所以則有所以故有所以即

評注：

從向量的視角看，等比數列對應向量的數乘運算，問題2的解決是在構造向量的基礎上，結合向量相等(坐標相等)的概念得以推導等比數列前

n

項和公式

.

類似地，利用上述對向量相等概念的理解，可求一類原先用“裂項”求和法求解的數列的前

n

項和，以最簡單的數列為例簡析如下

.

記則所以故有則所以即

三、 構造向量求“等差×等比”數列前n項和

問題3

設數列{

a

}是公差為

d

的等差數列，數列{

b

}是公比為

q

的等比數列，求數列{

a

·

b

}的前

n

項和

.

解析：

同上，這里只需解析當

q

≠1時的求和

.

記且則則有故所以即

評注：

問題3的解決常用經典的“錯位相減法”求和，這里是在構造向量的基礎上綜合運用有關向量的線性表示，結合向量數量積運算求得“等差×等比”數列的前

n

項和公式

.