連續變量量子密鑰分發的新型協調設計

竇 寅，張梅香，周玲霞

(揚州大學 信息工程學院，江蘇 揚州 225009)

0 引言

量子計算機的問世，使得傳統加密體系受到嚴重威脅,人們將目光聚集到新興的量子加密領域。作為量子通信兩大重要分支之一，量子密鑰分發(QKD)為未來的加密通信提供了可靠的理論支撐。量子密鑰分發按照相干態信息的類型可以分為2大類：連續變量量子密鑰分發(CVQKD)和離散變量量子密鑰分發(DVQKD)。由于初始技術發展受限，研究DVQKD，單光子的檢測更為容易，但制備成本較高。零差和外差檢測技術[1]的誕生，使得連續的光束作為相干態信息被引入系統，CVQKD擁有更好的發展潛力[2]。

傳統的CVQKD中，需要利用多維協調[3]來提高性能。在后處理部分[4]，接收端為了恢復接收到的碼字信息，需要發送端提供必要的輔助參數。然而,這些參數的傳輸為信息泄露留下了隱患。本文分析了后處理的數據協調流程，利用虛擬信道模型分析，成功證明了輔助譯碼參數|y|的傳輸是非必要的，并給出了新的傳輸方案。

1 相干態CVQKD協議

相干態的CVQKD系統是由BB84協議[5-6]演變而來，是基于準備和測量的相干態QKD協議。此外，基于糾纏態的QKD協議[7]為通信雙方Alice和Bob提供絕對安全的通信，且可以抵御來自竊聽者Eve的攻擊。在相干態的CVQKD系統中，按照協議內容可以分為3個部分[8]：量子傳輸、信息協調和隱私放大。

量子傳輸階段，Alice和Bob利用量子信道進行相干態信息傳遞，由Alice首先發送一連串的光束，作為初始的量子信息|qk+ipk。Bob利用檢測技術隨機地檢測來自Alice的qk和pk，得到{y1,y2，…，ys}，并與Alice溝通，Alice通過y篩選出合適的qk和pk，選定雙方的相干態信息，完成相干態協議。在量子信息傳輸過程中，當存在竊聽者Eve時，Bob通過參數估計，從接收信息中檢測到異常，從而放棄本次通信，確保整個系統的安全。

信息協調階段，初始時采用正向協調技術[9]，即Alice作為發送端，Bob作為接收端的收發模式，但一直存在著-3 dB的技術限制。隨后提出了反向協調技術[10]，成功克服了-3 dB的技術限制[11]，即Bob作為信息協調的發送端，Alice作為接收端。在后處理階段，常用的技術包括多維協調、球面映射和信道編譯碼。其中，影響系統性能的因素主要包括2點[12]：① 多維協調選用的維數，最高為8；② 采用的信道編譯碼的糾錯能力?？梢钥闯?，對于整個CVQKD系統，后處理階段存在著重要的地位。本文研究主要圍繞后處理階段展開。

隱私放大[13]階段，在完成密鑰協調后，為了擴大通信雙方的密鑰量，進一步增強安全性。采用哈希函數進行全域散列，使得雙方的密鑰更長，安全性更高。

2 后處理的數據協調過程

2.1 傳統的數據協調方案

圖1 基于反向協調的多維協調CVQKD系統框圖

(1)

系統使用反向協調方案。首先由Bob隨機生成一串序列u|u1,u2,…,uk|作為初始的信息序列。對u進行信道編碼得到碼字c，在本文的CVQKD系統中，使用極化碼[14]作為信道編碼。對編碼后的碼字c進行球面映射，得到映射后的碼字c′，計算過程如下：

(2)

隨后，Bob通過已有的信息進行旋轉變換，即將映射后的碼字c′與相干態信息y′進行加密處理，計算過程如下：

(3)

式中,αi(y′,c′)=(Aiy′,c′)，Ai是d維正交矩陣的族[15]。

(4)

傳統的分析模型[16]中,信道噪聲可以用ε表示，由式(4)可以看出：

(5)

ε～N(0,σ′2)，

(6)

(7)

在極化碼譯碼階段，需要計算出接收碼字對應的對數似然比(LLR)：

(8)

可以看出，為了計算LLR值，Alice需要Bob提供M(y′，c′),輔助譯碼參數d，|y|,以及極化碼碼字長度N，信息長度K，極化碼凍結位的位置信息Ac。參數|y|在每一次循環中均不相同，需要Bob反復計算，消耗了大量的計算資源，也影響著通信雙方的工作效率。

2.2 虛擬信道模型的數據協調方案

本文提出了一種新的數據協調方案，并從理論上證明了Bob提供的輔助譯碼參數中，參數|y|的傳遞是非必要的。

文獻[17]從傳統的數據協調框架出發，嘗試一種新的數學模型。建立虛擬信道模型，以Bob的c′為輸入，Alice的v為輸出，直接分析虛擬信道的噪聲參數。虛擬信道模型的系統框圖如圖2所示。

圖2的虛擬信道可以理解為，輸入c′輸出v的一次傳輸的關系，模型概念如圖3所示。

圖2 所建立的虛擬信道在CVQKD系統中的位置

圖3 c′為輸入，v為輸出的虛擬信道模型

按照圖3的示意，模型的輸入和輸出的差值是虛擬信道的噪聲：

(9)

用ε′和ε來區分虛擬信道分析和傳統信道分析模型中的噪聲參數：

(10)

(11)

將式(10)進行規范化處理，得到：

(12)

依據式(12)，得到：

(13)

通過式(13)發現，信道噪聲參數與多維協調的維度d存在著很大關系，這也符合系統性能隨著多維協調維度d的增加得到改善的結論。

將式(6)與式(13)聯立，可以看出t分布于正態分布之間存在著一定的轉換關系。再參考文獻[19],通過研究學生-t分布與標準正態分布的分布函數以及概率密度函數，給出了二者的轉換公式。

自由度為n的學生-t分布t(n)的概率密度函數為：

(14)

自由度為n的學生-t分布的分布函數為：

(15)

標準正態分布的概率密度函數：

(16)

標準正態分布的分布函數：

(17)

文獻[19]通過對式(14)～(17)進行研究分析，略去o(n-8)，得出t分布的概率密度函數：

(18)

當學生-t分布的自由度n趨近于+∞，f(t,n)等價于標準正態分布φ(t)。圖4給出了不同自由度的學生-t分布與標準正態分布的密度函數曲線。從圖中可以看出,隨著自由度的增加，學生-t分布逐漸與正態分布的密度函數趨于一致。

圖4 標準正態分布和學生-t分布的概率密度曲線

將文獻[19]中的結論與本文的多維協調維數相結合，可以近似出不同維數d時的正態分布噪聲參數。計算結果如下：

(19)

將式(19)的結論帶入式(13)，可以得到：

(20)

取出式(20)的方差并與式(7)聯立，可以近似估算出輔助譯碼參數|y|。不同維數d的輔助譯碼參數|y|估算結果如下：

(21)

可以得出結論，Bob分享的輔助譯碼參數中，|y|的傳輸是非必要的，Alice可以通過多維協調的維數d估算出|y|的值。

將傳統方案與本文方法的存儲器開銷對比發現，在傳統方案中，每次循環，為重新計算|y|，需要進行N次乘法以及N-1次加法。本文提出的估算方案，只需要在最初依據維數進行一次估算，之后的循環過程中，可以直接調用存儲器里的估算數值，其運算存儲器的開銷可以忽略不計。

3 性能分析

通過前面的介紹發現，信息處理階段，輔助譯碼參數|y|的傳輸是非必要的。為了進一步論證這一觀點，進行了多次的仿真實驗。

仿真實驗對比了不同碼長、不同碼率下的傳統模型和本文模型的性能，并給出了分析。本文分別仿真了碼長為28和210的實驗結果，并對比了相同碼長下，碼率為1/2和1/4的性能。系統中的信道編碼的譯碼算法均使用串行抵消(SC)譯碼算法[14]。

文獻[12]成功證明了多維協調的維數d對于系統性能的影響，即維數d越大，系統性能越好。所以本文的仿真實驗以維數8作為基礎參數進行。

實驗1：反向協調的CVQKD系統，多維協調維數d=8，極化碼的碼率R=1/2，碼長N分別為256，1 024的仿真性能對比。

圖5對比了3種協調方案下，碼長N=256，碼率R=1/2的仿真性能。圖6對比了碼長N=1 024，碼率R=1/2的仿真性能。

(a)碼長256、碼率1/2，誤碼率比較

(a)碼長1 024、碼率1/2，誤碼率比較

由圖5和圖6可以看出，碼率為1/2時，即使默認|y|=1，CVQKD系統依然能保持較為良好的譯碼性能。而本文提出的數據協調方案，在不傳輸參數|y|的基礎上，進一步估算出|y|的值，成功減少了性能損耗，與傳統數據協調方案的性能更為接近。

本文更換了極化碼的碼率進行了實驗2。與實驗1相比，實驗2降低了信道編碼的碼率，為系統帶來了更好的性能增益，也更為貼合實際的CVQKD系統需求。

實驗2：反向協調的CVQKD系統，多維協調維數d=8，極化碼的碼率R=1/4，碼長N分別為256，1 024的仿真性能對比。

圖7對比了3種協調方案，碼長N=256，碼率R=1/4時的仿真性能。圖8中對比了碼長N=1 024，碼率R=1/4時的仿真性能。

(a)碼長1 024、碼率1/4，誤碼率比較

由圖7和圖8可以看出，隨著碼率的下降，無論是傳輸|y|的傳統數據協調方案還是估算|y|的數據協調方案的性能都獲得了進一步的提升。說明信道編碼為CVQKD系統帶來的增益依然適用于本文提出的協調方案。

通過上述的性能仿真可以看出，忽略|y|的協調方案在性能上與傳統協調方案存在差距，本文通過估算|y|的數值，成功減少了這個性能差距。信息協調階段，輔助譯碼參數|y|的傳輸是非必要的，可以利用數學推理，擬合出參數|y|的近似值，成功減少了輔助譯碼參數，使得系統的可靠性進一步提升，并且降低了缺少|y|對系統性能造成的影響。

4 結束語

本文分析了CVQKQ的后處理計算流程，通過建立虛擬信道的數學模型，構建虛擬信道噪聲參數，得知了虛擬信道噪聲服從自由度為d的學生-t分布。并對比了傳統后處理計算數學信道噪聲模型，聯立2次模型的結果，成功將參數|y|擬合為常量。由于多維協調的影響，使用不同維數進行協調時，虛擬信道的噪聲參數有所不同，所擬合的參數存在差異。本文仿真了八維協調的CVQKD系統性能，并與傳統的數據協調方案進行對比，仿真表明，傳輸信道中輔助譯碼參數|y|是非必要的。通過2組仿真實驗，說明信道編碼的性能增益依然適用于本文提出的方案。接下來考慮設計適用于本方案的信道譯碼方案以進一步提升性能。