基于隨機共振及圖譜理論的齒輪故障特征提取

劉新廠，孫 琦

(1.成都工業學院 汽車與交通學院，成都611730； 2.西南交通大學 機械學院，成都611730)

齒輪箱齒輪傳動系統將牽引電機的扭矩傳遞給輪對驅動列車運行，是機車的重要組成部分[1-2]。齒輪箱齒輪傳動系統工作條件十分惡劣，不僅受到傳遞載荷、齒輪嚙合的周期性內部激勵以及輪軌界面激勵影響，而且還要適應輪對、構架之間復雜的相對運動，極易發生齒根裂紋故障。表1 為某機務段某型機車牽引從動齒輪齒根裂紋統計表[3]，從表中可以看出齒根裂紋故障具有逐年遞增的趨勢。表2為某機務段某型機車牽引從動齒輪齒根裂紋故障在齒輪故障中所占百分比[3]，從表中可以看出齒根裂紋故障是齒輪所有故障中最易出現的。因此，車輛牽引傳動系統的齒根裂紋故障檢測與診斷研究是保證列車安全運行的關鍵。

表1 某機務段某型機車牽引從動齒輪齒根裂紋統計[3]

表2 某機務段某型機車牽引從動齒輪齒根裂紋故障在齒輪故障中所占百分比[3]

當齒輪傳動系統出現故障時，采集到的信號中所包含的故障信息十分微弱，通過各種信號增強方法將信號中包含的故障信息進行增強是齒輪傳動系統故障診斷的有效方法。國內外學者在信號增強方面也做了一些研究。1987年，McFadden[4]提出了一種齒輪嚙合振動時域平均信號處理方法，并將其應用于齒輪早期故障檢測中。2004年，姚竹亭和潘宏俠[5]采用時域同步平均法對齒輪箱故障信息進行增強，取得了比較不錯的效果。2013年，Lei 等[6]提出了一種自適應隨機共振方法對行星齒輪箱故障進行診斷。自適應隨機共振方法利用蟻群算法的優化能力，自適應地選擇與輸入信號相匹配的最優隨機共振系統。試驗結果表明采用自適應隨機共振方法可以有效地降低噪聲，突出微弱特性，從而準確診斷故障。2015年，Chen 等[7]提出了一種基于集合經驗模態分解和自適應隨機共振相結合的行星齒輪弱故障特征信息提取方法。2017年，李繼猛等[8]為了從含有微弱齒輪故障信息的振動信號中提取沖擊成分，采用了基于自適應隨機共振的信號增強方法。2018年，姜宏等[9]為了凸顯齒輪早期微弱故障特征提出了一種雙矢時域變換方法，并且通過試驗數據對該方法的有效性進行了驗證。

實際采集到的齒輪傳動系統振動具有非平穩的特性。為了實現非平穩信號處理，一些學者開始采用小波變換以及改進的小波變換方法對非平穩信號進行分析[10－12]，并且取得了一定成果，但是小波變換及其改進算法在分析非平穩信號時，太過依賴母小波的選取。在1998年的時候，Huang 提出了一種自適應的信號處理方法叫做EMD (Empirical Mode Decomposition)[13]。這種方法在旋轉機械故障診斷中得到了很好的結果[14]。但是，EMD算法缺少理論基礎并且分解結果中存在模態混疊以及斷點效應。為了解決EMD分解過程中的模態混疊問題，學者們對EMD 算法進行改進，提出了EEMD (Ensemble Empirical Mode Decomposition) 算法[15]、CEEMD(Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition)

算 法[16]、CEEMDAN(Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition and Noise)算法[17]。為了更好地對非平穩信號進行分析，一些新的自適應信號分析方法被提出來，比如：LMD(Local Mean Decomposition)[18]、EWT(Empirical wavelet transform)[19]以 及VMD(Variational mode decomposition)算法[20]。

在過去的幾年中，圖譜理論在流形學習以及圖信號處理領域取得了巨大進展[21－22]。近些年，一些學者開始將圖譜理論算法應用到旋轉機械故障診斷領域。在2016年，Ou 利用GFT 方法提取旋轉軸承振動信號中的沖擊成分，實現了軸承故障檢測[23]。但是，高斯白噪聲信號經過圖傅里葉變換之后有很多成分集中在圖譜域的高階區域，所以當信號中含有較強的噪聲時，經圖傅里葉變換提取到的沖擊成分受到噪聲的影響，從而影響分析結果。

基于以上原因本文提出了一種基于隨機共振以及圖譜理論相結合的齒輪箱傳動系統齒根裂紋故障提取方法。首先，對采集到的信號采用復Morlet 小波梳狀濾波器進行解調處理；然后運用圖理論方法對仿真信號進行處理，提取信號中所含有的沖擊信號成分；最后利用隨機共振方法對提取的信號進行處理，達到消除信號中噪聲干擾、增強沖擊信號的目的。運用本文提出方法對仿真數據進行處理，證明了本文提出方法的有效性。

1 隨機共振算法以及圖傅里葉變換GFT(Graph Fourier Transform)

1.1 隨機共振理論

隨機共振就是把由弱周期信號以及噪聲組成的混合信號導入到非線性系統的信號處理單元中，通過非線性系統、弱周期信號以及噪聲的協同作用，使得噪聲能量向弱周期信號能量轉換，從而使得系統響應得到一定增長[24]。隨機共振結構示意圖如圖1所示。

圖1所示隨機共振模型主要含有3個因素，分別是微弱輸入信號s(t)、噪聲Γ(t)以及非線性系統[24]。

圖1 隨機共振示意圖[24]

雙穩態系統是研究隨機共振現象的基礎，具有雙勢阱性質的朗之萬方程是描述非線性雙穩態系統的典型模型。受微弱周期信號以及噪聲作用的一維Langevin 雙穩態系統模型可以通過式(1)進行描述，即：

式中：x為粒子的運動軌跡；s(t)為系統的輸入信號；Γ(t)為均值為0強度為D的高斯白噪聲；V(x)為非線性對稱勢函數，可以通過式(2)進行描述，即：

式中：參數a、b分別為非線性對稱勢函數的結構參數，它們的取值都為大于0 的實數。非線性對稱勢函數具有兩個極小值點以及一個極大值點。

1.2 圖傅里葉變換理論

機械振動信號、諧波信號等時間序列信號具有路圖的結構，所以這些信號可以運用路圖信號G={V，E，W}的表達方式進行表示。V={v1，v2，v3，…，vN}是頂點的集合，N是振動信號個數，E={e1，e2，e3，…，eN}是邊的集合，每條邊e都有V中的頂點對與之對應，即邊集E中每條邊是通過連結V中某兩個頂點得到的，所以邊集E={v1v2，v2v3，v3v4，…，vN-1vN}，W是一個鄰接矩陣，用來存放頂點間的關系。wij是W中第i行第j列的元素，可以通過公式(3)進行求解[23]：

圖傅里葉變換理論變換過程如下：

(1)將采集到的機械振動信號運用路圖信號G的表達方式進行表達，求解出參數V、E、W。

(2)求解拉普拉斯矩陣L。L的計算公式如式(4)所示。式中D是度對角矩陣，di為頂點的度數，通過式(5)求解得到。

(3)對拉普拉斯矩陣L進行標準正交分解，得到拉普拉斯特征值λl以及特征向量xl，計算公式見式(6)。

(4)圖信號是一個向量f∈Rn，f(n)表示f中第n個元素，定義為：V={v1，v2，v3，…，vN}→Rn(f(1)，f(2)，f(3)，…，f(N))。與傅里葉變換的定義類似，圖信號f(n)的GFT 是將其按照圖拉普拉斯矩陣特征函數(特征向量)展開。不同的是傅里葉變換的基函數是固定不變的，而圖傅里葉變換的特征向量因權值定義方式的不同而不同。示圖信號f(n)的圖傅里葉變換，定義式如下：其中：l為特征值和特征向量的階次，簡稱為階次。

通過圖傅里葉變換方法可以將振動信號中所包含的沖擊成分集中在圖譜域的高階次區域。但是，高斯白噪聲信號經過圖傅里葉變換之后有很多成分集中在圖譜域的高階區域，所以當信號中含有較強的噪聲時，由圖傅里葉變換提取到的沖擊成分受到噪聲的影響。圖2(a)是一個均方根為0.3 的高斯白噪聲的時域圖，圖2(b)是高斯白噪聲經圖傅里葉變換后所得的圖譜。從圖2(b)可以看出高斯白噪聲也具有高頻聚集性。基于以上原因本文提出了一種基于隨機共振以及圖譜理論相結合的輪對軸承故障診斷方法。

圖2 均方根為0.3的噪聲的時域圖和GFT圖譜

2 本文的方法

本文提出了一種基于隨機共振以及GFT 方法相結合的齒輪箱齒根裂紋故障診斷方法。首先，運用復Morlet小波梳狀濾波器對原始信號進行解調處理；然后，運用圖譜理論方法對仿真信號進行處理，提取信號中含有的沖擊信號成分；最后利用隨機共振方法對提取的信號進行處理，達到消除信號中噪聲干擾、增強沖擊信號的目的。本文提出方法的流程如下：

(1)構造復Morlet 小波簇梳狀濾波器。對原始信號進行傅里葉變換得到頻譜圖，通過頻譜圖對信號中的載波頻率以及故障特征頻率進行估計；構造復Morlet 小波簇梳狀濾波器，每個帶通濾波器的中心頻率與載波信號及其諧波信號頻率相同，通帶帶寬由故障頻率確定；

(2) 包絡信號求解。對原始信號以及復Morlet小波簇梳狀濾波器進行傅里葉變換，將得到的結果相乘，然后求解傅里葉逆變換即得到復Morlet 小波簇變換系數；對求解得到的復Morlet 小波簇變換系數取模即可獲得待分析信號的包絡信號。

(3) 采用GFT 提取信號中的脈沖分量。利用GFT 方法對包絡信號進行處理，可以得到包絡信號的圖譜系數。利用這些圖譜系數在GFT 圖譜的高階區域重建不同的脈沖分量。計算這些脈沖分量的希爾伯特包絡譜，找出故障特征頻率下包絡譜值最大的脈沖分量。

(4)通過隨機共振增強信號中的故障信號成分。對獲得的脈沖信號進行隨機共振處理，增強信號中故障特征，增強后的故障特征頻率可為故障診斷提供有力依據。

3 基于機車振動數據的齒根裂紋特征提取方法有效性驗證

本節通過隨機共振以及圖譜理論相結合的方法對在機車齒輪箱出現齒根裂紋故障情況下所采集到的含有故障信號機車電機振動信號進行分析，對基于隨機共振以及圖譜理論的齒根裂紋故障診斷方法的有效性進行驗證。

在機車齒輪出現齒根裂紋故障情況下的機車電機振動加速度信號通過對文獻[25]中含齒輪傳動系統的機車垂向動力學模型進行仿真得到。此動力學模型由機車子系統以及軌道子系統組成。機車子系統包含1個車體、2個構架、4個輪對、4個電機以及4個齒輪傳動系統。車體與構架之間通過二系懸掛系統連接；構架如輪對之間通過一系懸掛系統連接；齒輪箱的一端與構架連接，另外一端與輪對連接。機車子系統的各個組成部分具有點頭以及垂向2個自由度。軌道子系統由鋼軌、軌枕、道床、路基組成，它們之間通過彈簧阻尼元件連接。鋼軌被視為一個無限長的Euler梁，它與軌枕之間通過彈簧阻尼元件連接。軌道子系統的各個組成部分只具有垂直方向的1個自由度。齒輪傳動系統由電機、小齒輪、大齒輪組成。電機的轉子通過扭簧阻尼元件與小齒輪連接，小齒輪通過嚙合力帶動齒輪旋轉，大齒輪安裝在輪對上。齒輪傳動系統的各個組成部分只有自身旋轉1個自由度。車輛軌道耦合垂向動力學方程詳見文獻[25]。

仿真過程中，機車受到軌道垂向隨機不平順激勵作用，軌道垂向隨機不平順采用美國六級軌道譜如圖3 所示。仿真過程中列車運行速度為100 km/h，車輪半徑為0.625 m，大齒輪與輪對共軸所以大齒輪的轉速為7.077 r/s，大小齒輪齒數分別為120/23，所以小齒輪的轉速為36.9 r/s(大齒輪轉速乘以大小齒輪傳動比)，小齒輪的旋轉速度即為小齒輪的故障特征頻率，采樣頻率為20 kHz。通過仿真得到的齒根裂紋長度為9 mm 時機車電機振動信號時域圖如圖4 所示。通過圖4 可以看到通過仿真得到的機車電機振動信號中含有大量噪聲，使得齒根裂紋故障特征頻率淹沒在噪聲中。

圖3 軌道垂向隨機不平順激勵時域圖

圖4 電機振動加速度的時域圖

基于復Morlet小波簇梳狀濾波器也可以提取信號中沖擊成分，對本文分析方法與基于復Morlet 小波簇梳狀濾波器分析方法進行對比，進一步驗證本文方法的有效性。運用以上兩種方法對齒輪箱齒輪齒根裂紋長度為1 到9 mm 時采集到的機車電機振動加速度進行處理。

圖5 為齒根裂紋長度為1 mm 情況下基于本文方法提取的電機振動加速度信號中沖擊成分的時域圖以及頻譜圖。通過圖5(a)可以看出信號中有一些沖擊成分，但是沖擊成分之間的時間間隔不相等，與齒輪故障沖擊時間間隔也不相等。通過圖5(b)可以看出在信號故障頻率處有較為明顯的故障頻率成分，故障頻率幅值為0.165 7，信噪比為0.017 8。

圖6 為齒根裂紋長度為1 mm 情況下基于復中Morlet小波梳狀濾波器提取的電機振動加速度信號中沖擊成分的時域圖以及頻譜圖。圖6(b)中故障頻率fp=37 Hz處幅值為0.010 98。通過圖5(b)與圖6(b)的對比可以發現本文的方法優于基于復Morlet小波簇梳狀濾波器算法。

圖5 齒根裂紋長度為1 mm情況下根據隨機共振以及GFT方法提取信號圖

圖6 齒根裂紋長度為1 mm情況下根據復Morlet小波梳狀濾波器提取沖擊信號圖

圖7 為齒根裂紋長度為9 mm 情況下基于本文方法提取的電機振動加速度信號中沖擊成分的時域圖以及頻譜圖。圖7(a)中t2與小齒輪故障時間間隔相等，圖7(b)中可以清楚地看到信號故障頻率fp。圖7(b)中故障頻率fp的數值為0.488 1，信噪比為0.054 0。圖8(a)為齒根裂紋長度為9 mm 情況下基于復Morlet小波梳狀濾波器提取的電機振動加速度信號沖擊成分的時域圖以及頻譜圖。圖8(b)中故障頻率處幅值為0.280 3。通過圖7(b)與圖8(b)的對比可以發現本節的方法優于基于復Morlet小波簇梳狀濾波器算法。

圖7 齒根裂紋長度為9 mm情況下根據隨機共振以及GFT方法提取信號圖

圖8 齒根裂紋長度為9 mm情況下根據復Morlet小波梳狀濾波器提取沖擊信號圖

實際分析過程中分析了齒根裂紋長度從1 mm到9 mm(每增加1 mm計算1次)逐次增加的情況，通過分析發現當齒根裂紋大于5 mm 時采用基于隨機共振以及圖譜理論相結合的方法對含有齒輪故障信息機車振動加速度信號進行處理后，能夠有效地獲得信號中的沖擊成分，其在時域以及頻域都能有很好的表現，當齒根裂紋小于5 mm時基于隨機共振以及圖譜理論相結合的方法對含有齒輪故障信息機車振動加速度信號進行處理后，信號中的沖擊成分在頻域中也能很好表現出來，其在時域中的表現相對較差；而在齒根裂紋小于5 mm 的情況下，基于復Morlet小波簇梳狀濾波器算法提取得到信號中沖擊成分在頻域以及時域中都十分不明顯。通過本節方法與基于Morlet小波簇梳狀濾波器的信號提取方法比較可以看出本文方法的優越性。綜上所述，采用基于隨機共振以及圖譜理論方法對含有齒輪故障信息機車振動加速度信號進行處理后，能夠有效提取信號中的沖擊成分，為故障診斷提供有力依據。

4 結語

本文運用基于隨機共振以及圖譜理論相結合的方法對采集到的振動加速度進行處理，從而獲取信號中沖擊成分。

(1)圖傅里葉變化方法可以將信號中所包含的成分集中到信號的高階次去，是一種有效的信號沖擊成分提取方法。

(2)通過隨機共振方法，能夠對提取到的信號中噪聲成分進行有效抑制，進一步凸顯以及增強信號中的沖擊成分。