凱勒幾何兩大核心猜想被證明

2021年11月初，《美國數學會雜志》發表了中國科學技術大學幾何物理中心創始主任陳秀雄與合作者程經睿在偏微分方程和復幾何領域取得的“里程碑式結果”。

他們解出了一個四階完全非線性橢圓方程，成功證明了“強制性猜想”和“測地穩定性猜想”這兩個國際數學界60多年懸而未決的核心猜想，解決了若干有關凱勒流形上常標量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問題。

凱勒流形上常標量曲率度量的存在性，是過去60多年來幾何中的核心問題之一。關于其存在性，有三個著名猜想——穩定性猜想、強制性猜想和測地穩定性猜想。經過近20年眾多著名數學家的工作，強制性猜想和測地穩定性猜想中的必要性已變得完全清晰，但其充分性的證明在陳-程的工作之前被認為遙不可及。

求出一類四階完全非線性橢圓方程的解，就能證明常標量曲率度量的存在性。陳-程的工作恰恰就是在K—能量強制性或測地穩定性的假設下，證明了這類方程解的存在。這類方程的研究極為困難，此前，對此類方程幾乎沒有合適的處理工具。陳-程最重要的突破是給出了這類方程的先驗估計以及成功實現了陳秀雄提出的新的連續參數的策略。

美國數學家克勞德·勒布潤評價，“該系列論文是復微分幾何領域一個非凡的、根本的、完全出乎意料的進展。這些卓越的工作應該會在數學的其它領域包括與復微分幾何相去甚遠的領域產生影響。”法國科學院院士吉恩-皮埃爾·德瑪依認為，“他們的結果看來是對當代復微分幾何一個極其重要的貢獻。”