凱勒幾何兩大核心猜想被證明

2021年11月初，《美國數(shù)學(xué)會(huì)雜志》發(fā)表了中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)幾何物理中心創(chuàng)始主任陳秀雄與合作者程經(jīng)睿在偏微分方程和復(fù)幾何領(lǐng)域取得的“里程碑式結(jié)果”。

他們解出了一個(gè)四階完全非線性橢圓方程，成功證明了“強(qiáng)制性猜想”和“測地穩(wěn)定性猜想”這兩個(gè)國際數(shù)學(xué)界60多年懸而未決的核心猜想，解決了若干有關(guān)凱勒流形上常標(biāo)量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問題。

凱勒流形上常標(biāo)量曲率度量的存在性，是過去60多年來幾何中的核心問題之一。關(guān)于其存在性，有三個(gè)著名猜想——穩(wěn)定性猜想、強(qiáng)制性猜想和測地穩(wěn)定性猜想。經(jīng)過近20年眾多著名數(shù)學(xué)家的工作，強(qiáng)制性猜想和測地穩(wěn)定性猜想中的必要性已變得完全清晰，但其充分性的證明在陳-程的工作之前被認(rèn)為遙不可及。

求出一類四階完全非線性橢圓方程的解，就能證明常標(biāo)量曲率度量的存在性。陳-程的工作恰恰就是在K—能量強(qiáng)制性或測地穩(wěn)定性的假設(shè)下，證明了這類方程解的存在。這類方程的研究極為困難，此前，對此類方程幾乎沒有合適的處理工具。陳-程最重要的突破是給出了這類方程的先驗(yàn)估計(jì)以及成功實(shí)現(xiàn)了陳秀雄提出的新的連續(xù)參數(shù)的策略。

美國數(shù)學(xué)家克勞德·勒布潤評價(jià)，“該系列論文是復(fù)微分幾何領(lǐng)域一個(gè)非凡的、根本的、完全出乎意料的進(jìn)展。這些卓越的工作應(yīng)該會(huì)在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域包括與復(fù)微分幾何相去甚遠(yuǎn)的領(lǐng)域產(chǎn)生影響。”法國科學(xué)院院士吉恩-皮埃爾·德瑪依認(rèn)為，“他們的結(jié)果看來是對當(dāng)代復(fù)微分幾何一個(gè)極其重要的貢獻(xiàn)。”