利用X-Bar & R chart控制圖對混凝土強度波動控制的討論

李庚

（信陽市新縣月華加工有限公司，河南 信陽 464000）

統計過程控制（Statistical Process Control，簡稱SPC），指應用統計分析技術對生產過程進行實時監控，科學地區分出生產過程中產品質量的隨機波動與異常波動，從而對生產過程的異常趨勢提出預警，以便生產管理人員及時采取措施，消除異常，恢復過程的穩定，從而達到提高和控制質量的目的。SPC 管制圖建立在數理統計學的基礎上，是由美國貝爾電話公司休哈特工程師發明的一種非常實用的管制方法，他把統計學中的“發現異常”作為控制生產過程中的一種工具。因此，“發現異常”成為 SPC 管制圖的基礎。它利用有效數據建立管制界限，一般分上管制限（UCL）和下管制限（LCL），上管制限通常設為管制中心線 CL+3σ，σ 為標準偏差，下管制限設為 CL-3σ。如果該過程不受系統原因影響，那么，得到的觀測數據將不會超出管制界限。強度波動控制主要以平均值與移動極差的波動折線圖加上幾條水平控制線來分析需要控制的參數的波動情況。控制線與正態分布的關系見圖 2。

圖1 控制線與正態分布的關系

首先了解一下與 SPC 相關的幾個重要的概念：

（1）變差

任何一個工廠，無論其多么先進，從其生產線出來的同一種產品或多或少總會存在一些差異，這種差異就是變差。

（2）普通原因和特殊原因

導致普遍的、固有的、可接受的變差的原因，叫做普通原因。

若不再是常見的、普通的變差，而是有某種特殊原因導致的變差，比如員工的操作的失誤，我們把導致這種非普遍的、非固有的、異常的變差的原因叫做特殊原因。

（3）受控和不受控

如果一個過程僅僅只有普通原因引起的變差，我們就說這個過程受控，如果一個過程存在特殊原因引起的變差，我們就說這個過程不受控。

控制圖的使命就是幫助我們發現并消除導致過程變異的特殊原因，這是一個使過程從不受控變成受控的過程。

（4）中心極限定理

中心極限定理是 SPC 的重要理論依據。

這個定理是這樣的：“設 X1，X2，...，Xn為 n 個相互獨立同分布隨機變量，其總體的分布未知，但其均值和方差都存在，當樣本容量足夠大時，樣本均值的分布將趨近于正態分布”。

樣本容量與正態分布的關系見圖 2。

圖2 樣本容量與正態分布的關系

（5）合理的抽樣

抽樣就是從研究總體中選取一部分代表性樣本的方法。

合理抽樣涉及到幾個問題：樣本大小、抽樣頻率、抽樣類型（連續取樣、隨機取樣或其他結構化取樣）。抽樣大小（子組大小）會影響控制圖的敏感度，樣本越大能探測到的均值偏移越小。一般來說，混凝土的強度可以度量，計量取樣優于計數取量，我們采用計量型。計量型數據中最常用的是 X-Bar & R chart（均值—極差控制圖）。

（6）控制圖綜合觀察

控制圖所反應的是“過程”的變化。生產的過程輸入的要項為 5M1E（人、機、料、法、環、量），5M1E 的任何變化都可能對生產出來的產品造成影響。換句話說，如果產品的變差過大，那是由 5M1E 其中的一項或多項變動所引起的。如果這些變動會引起產品平均值或產品變差較大的變化，那么，這些變化就會在X-Bar & R chart 上反映出來，我們通過查找管制圖中記錄的重大事項就可以明了。

1 建立管制界限的條件

1.1 標準差的預估

利用鮑羅米強度經驗式以誤差傳遞的方法推導出標準差：

式中：

σ——標準差；

f——混凝土強度；

CVc——水泥強度誤差變異系數；

CVt——試驗誤差變異系數；

CVc/w——膠水比誤差變異系數；

m——一組試模的試塊數量；

a, b——影響系數；

C——水泥強度。

其中 CVc/w是由水泥用量變異系數和用水量變異系數共同組成，水泥用量誤差即水泥稱量誤差，用水量的誤差除了水的稱量誤差外，還有其他很多因素，所以攪拌站主要控制的是用水量的誤差。

CVc/w、CVc、CVt、三者中 CVt最小，CVc次之，CVc/w最大，按照公式做出了控制水平優秀、良好和普通三個等級，利用這三個等級分別求出了不同的標準差。如表 1。

從表 1 中可以看出：隨著控制水平的逐漸降低，標準差 σ 越來越大。相應可以求出混凝土強度的變異系數 CV = σ/f，代入公式 (1)，已知混凝土強度的截距 B（混凝土強度回歸后的截距 B），一組試件 m=3，以及 CVc、CVt和 CVc/w的上限值，代入式 (1)，得到了不同強度等級的標準差與變異系數 CV（上限值）圖（圖3），不同控制水平的條件見表 2。

表1 三個不同控制水平的標準差

表2 不同控制水平的條件

從圖 3 可以看出，標準差隨著混凝土強度等級變大從接近 0 開始逐漸變大，變異系數隨著強度等級變大從無窮大逐漸變小。

圖3 不同強度等級的標準差與變異系數

1.2 試件組數 n 與概率度

隨機抽樣必然存在客觀與主觀因素影響，當試件組數 n 足夠多，這種誤差影響才會降低。根據中心極限理論，當樣本容量足夠大時，樣本均值的分布將趨近于正態分布，客觀與主觀因素影響正態分布曲線集中分布正態分布的左右邊，對概率度造成影響。根據不同結構不同試件組數 n 得到的概率度統計表見表 3。

表3 不同結構不同試件組數 n 得到的概率度統計表

本文只討論方法 1。方法 1 按樣本最小值隨樣本容量增大而減小的統計規律確定。

對于 n 的選擇可以根據實際情況選擇，在這里我們取 n=30。

1.3 預測強度均值（配制強度）

由于混凝土強度的變異性和抽樣的隨機性，抽樣必然對試件強度有影響，影響因素有試件組數 n 和兩類錯誤 α 和 β。α 為抽樣檢驗的第一類錯誤，生產方損失，把低于驗收強度 fa的錯判為不合格，α 一般取 10%；β為第二類錯誤，使用方風險，將不合格漏判為合格。β 根據工程施工養護情況可以取 5% 和 10%，要求兩類錯誤越小，則配制強度越高，允許兩類錯誤越大，則配制強度越小。根據圖 4 確定了預測強度均值的計算公式（式 (2)）。根據工程類型和混凝土強度等級、試件組數 n，以及兩類錯誤 α 和 β 的取值，可以求得配制強度。

圖4 試件強度平均值的驗收強度 fa配制強度 fm 的確定方法圖示

2 X-Bar & R chart 控制圖

在這里不分析標準差很大的情況，只分析標準差最小的情況。根據 GB 50164—2011《混凝土質量控制標準》，C35 選取最小標準差 3.5MPa。

（1）C35 混凝土的 28 天強度 30 組數據見表 4。

表4 30 組混凝土的 28 天強度統計表 MPa

由表 3 得：預期強度為 35+2.18×3.5=42.6(MPa)，再算出上控制線為：42.6+3×3.5=53.1(MPa)，下控制線為：42.6-3×3.5=32.1(MPa)，上警戒線為 42.6+2×3.5=49.6(MPa)，合格下限為 35-0.5×3.5= 33.25(MPa)，實際平均值為 42.8MPa，實際標準差為 2.5MPa。根據表 4及算出的線值作圖，見圖 5。

圖5 C35 混凝土強度控制圖

從圖 5 明顯可以看出預測強度平均值與實際強度平均值距離相不大，但是預估強度平均值在實際強度平均值下面，說明有普通原因導致的變差，還是處于受控狀態。

（2）假如表 4 強度數據是 C30 混凝土 28 天強度，預估標準差為 3.5MPa，由式(2) 得：預估強度平均值為 37.4MPa，再算出上控制線為 47.9MPa，下控制線為26.9MPa，上警戒線為 44.4MPa，合格下限為 28.25。作圖見圖 6。

圖6 C30 混凝土強度控制圖

從圖 6 明顯可以看出預測強度平均值在實際強度平均值之下，而且距離相差很大，部分已經超出了上警戒線。這是由特殊原因造成的失控狀態，例如砂含水測量偏高，水泥強度測量偏低，外加劑多計量。

（3）假如表 4 強度數據是 C45 混凝土 28 天強度，預估標準差為 3.5MPa，由式 (2) 得：預估強度平均值為 52.4MPa，上控制線為 62.9MPa，下控制線為 41.9MPa，上警戒線為 59.4MPa，合格下限為43.25MPa。作圖見圖 7。

圖7 C45 混凝土強度控制圖

從圖 7 明顯可以看出預測強度平均值在實際強度平均值之上，而且距離相差較遠，并達到了合格下線邊緣，說明砂含水測量偏低，水稱計量出錯，操作加水，砂含泥量增大等問題，處于失控狀態，繼續下去會造成安全質量事故。

控制水平普通，選取標準差 σ=5MPa，同樣的強度數據，如圖 8 所示，預測強度平均值在實際強度平均值之上，距離相差不遠，說明控制水平良好。

圖8 標準差為 5 的 C35 混凝土強度控制圖

移動極差 Rs 數據詳見表 5。通過移動極差明顯可以看出每個值之間的波動情況（圖 9）。移動極差平均值為 2.1。移動極差沒有最低值，但限制上限值，我們需要做的就是不能超過上警戒線。

3 結語

混凝土的強度波動可以用 X-Bar & R chart 控制圖，三條線與預測均值的比較，方便明了，直觀反映控制水平。對于強度的預警作用非常明顯。在實施時主要做好標準差、概率度和配制強度的準確把握。

表5 移動極差表 MPa

圖9 移動極差波動圖