地效飛行器的縱向控制系統研究

羅 瑜，樊 赫

(1.陜西工業職業技術學院 電氣工程學院，陜西 咸陽 712000; 2.西北機電工程研究所，陜西 咸陽 712000)

0 引言

地效飛行器(ground effect vehicle)，是一種利用地面效應來實現超低空高速飛行的特種飛行器[1]。國內外有關學者對其展開了一定的研究，國內的一些大學及科研機構在積極開發地效飛行器，如哈爾濱工程大學自動化學院測控技術與慣性導航教研室于2010年完成了原理樣機的設計與制作[2]，并以地效飛行器為研究平臺進行了相關實驗，主要包括地效飛行器數學建模和仿真、導航系統軟硬件設計、數據融合算法以及飛行控制系統設計[3]。總的來說，目前，我國已經形成了具有自主知識產權的地效飛行器設計技術，先后研制出若干種小型地效飛行器[4]。但是從地效飛行器飛行控制技術發展來看，地效飛行器的相關控制研究較普通固定翼飛機較為欠缺。如何判斷地效飛行器的穩定性是地效飛行器設計的關鍵技術之一。它的穩定性跟常規的固定翼飛機有著不同之處，飛行高度會對地效飛行器的縱向氣動系數產生影響，從而影響縱向穩定性[4]。本文就某型地效飛行器的縱向系統控制進行了研究和設計，分析了縱向系統的穩定性，并在低空飛行包線內的多狀態點處，采用線性二次型調節器[2](LQR)進行縱向系統的增穩設計，并采用自抗擾控制方法進行了縱向高度的控制律設計。

1 地效飛行器的縱向運動方程

根據所研究的該型地效飛行器的發動機安裝位置，對如圖1所示的地效飛行器，進行巡航狀態下的縱向運動受力分析。

圖1 地效飛行器縱向受力指示圖

圖1中，L為升力，D為阻力,T為推力，為軸力矩。

可得到如下的方程：

(1)

在基準運動為定直平飛運動的條件下，根據小擾動原理，對式(1)無因次方程[5]進行線性化處理，用狀態空間方程可描述為：

(2)

A=

(3)

從A陣可以看出，一般情況下，在地效區時，CLz，CDz，Cmz三者都不等于零，因此該陣的最后一列不全為零。可以看出，縱向的其他狀態變量會受到高度變量的影響，這是因為高度變量會影響地效飛行器所受的升力，阻力和俯仰力矩[6]，可以看出與普通固定翼飛機有所不同。

2 縱向靜動穩定性判定及分析

根據前述分析，地效飛行器縱向系統矩陣A的特征方程為：

|λIn-A|=0 (n=5)

(4)

將特征方程展開為：

A1λ5+B1λ4+C1λ3+D1λ2+E1λ+F1=0

(5)

忽略速度的變化，則特征方程變為：

Aλ4+Bλ3+Cλ2+Dλ+E=0

(6)

其中：

(7)

2.1 靜穩定性判定

地效飛行器的靜穩定性是指地效飛行器處于平衡狀態時，受到外界小擾動而偏離平衡狀態[7]，在干擾消失后，不加操縱能產生氣動力和氣動力矩，使其具有回到原來平衡狀態的趨勢。地效飛行器靜穩定性的判定跟自身的氣動導數有關。靜態穩定性可用一定約束條件下的氣動全導數來表示。根據數學知識可知，偏導數是約束條件下最全面最嚴格的全導數[8]。因此，靜態穩定性就是求解不同約束下的氣動偏導數的組合。

圖2 高度對升力系數的影響

從圖2和圖3可知：在地效作用(高度小于7.5米)的區域內，DCL，DCm不為0，地效作用區外(自由空間)，DCL，DCm幾乎等于0。地效區內的升力系數隨高度的減小而增大；在地效區內升力系數是高度的非線性函數，且高度越小，升力上升速率越大；地效區內，俯仰力矩系數隨著高度的增大而幅值減小，變化緩慢，直至離開地效區俯仰力矩不再隨高度變化。

圖3 高度對俯仰力矩系數的影響

由此可見，地效飛行器在低空飛行時，氣動系數隨高度變化明顯，是高度的非線性函數，且氣動力和力矩是氣動系數的函數，因此高度會作用于升力、阻力、俯仰力矩，從而影響地效飛行器縱向系統的特征根的分布，進而對系統的穩定性有影響[13]。

廣義上系統穩定性的數學表達式為：

(8)

式中，Y為廣義恢復力，X為廣義位移量。

根據上述定義，在定直平飛的基準運動條件下，對于地效飛行器有：

(9)

分別表示其高度穩定性，迎角穩定性，速度穩定性。

這三項的無因次[14]表達式為：

(10)

(11)

由于地效飛行器進行低空飛行時，忽略速度變化，它的縱向運動方程中的氣動系數本質上是迎角α和無因次高度z的非線性函數，則有：

dCL(α,z)=CLαdα+CLzdz

(12)

又因為：

Cm(α,z)=0?Cmαdα+Cmzdz=0

(13)

所以：

CLzCmα-CLαCmz>0

(14)

令：

E′=CLzCmα-CLαCmz

(15)

則有：

(16)

同理可以得到：

(17)

因此可以看出：E′=CLzCmα-CLαCmz>0表示地效飛行器具有定速穩定性。同時這說明，在不考慮速度的變化情況下，從單一的偏導數Cmα<0和CLz<0都不能表示地效飛行器的縱向靜穩定性，需要保持E′>0。若平衡位置x0(α0,z0)受某種擾動后到達x1(α1,z1)，假設有α1>α0，z1>z0，由氣動系數公式可知，盡管Cmα<0和CLz<0都成立，但當Cα1>Cα0，CL1>CL0時，使得在x1(α1,z1)不具備恢復到原平衡位置x0(α0,z0)的趨勢，也就是說系統在x0處不具有靜穩定性。同時區別于普通固定翼飛機，普通的固定翼飛機可通過Cmα<0即能判斷靜穩定性，從而僅靠迎角焦點與重心的相對位置就能判斷其靜穩定性[16]。根據上述分析，相比普通固定翼飛機，地效飛行器的靜穩定性判定就較為復雜。

在忽略速度變化靜穩定性分析的基礎上，假設推力為定值時，對式(10)中的第一式進行分析可知：

(18)

類似的，可以得到：

(19)

(20)

由地效飛行器的特性可知，CLz<0，CDz>0，所以式(19)第一項小于零，因此在E′=CLzCmα-CLαCmz>0成立的條件下，高度穩定性，迎角穩定性，速度穩定性判定可以歸結為：

(21)

因此根據對地效飛行器的靜穩定性定義分析可知，可將地效飛行器具有高度穩定性，迎角穩定性，速度穩定性的判定條件表達為：當表達式E′>0，F′>0同時成立時，可以判定地效飛行器具有高度穩定性，迎角穩定性，速度穩定性。另外從狀態方程來看，時不變線性系統靜穩定的充要條件是特征方程的常數項大于零。也就是方程式(5)中的常數項系數F1>0，忽略速度變化時為式(6)中的常數項E>0。所以從狀態方程判定靜穩定性的條件為E>0，F1>0，其中，E為定速靜穩定性，F1為變速靜穩定性。

綜上分析，可以看出E與E′，F1與F′僅差一個系數，即從定義判斷與從狀態方程中的常數項為正判斷靜穩定性是一致的。因為E>0與E′>0等價，F1>0于F′>0等價。可以求得E，F1是隨飛行高度變化的，因此得到結論：即靜穩定性是隨著高度的變化而變化，不同飛行高度下，地效飛行器縱向系統的靜穩定性是不同的。

2.2 動穩定性判定

(22)

在忽略速度變化時，式(22)判據為：

(23)

因此可以判定靜穩定判據E>0,F1>0是動穩定判據的必要條件。由于直接根據穩定性定義計算系數過于復雜，這里采取根據配平狀態，直接求系統的特征根在復平面內的分布情況直接判定系統的動穩定性。當系統的全部特征根都分布在左半s平面時，可以判定系統具有動穩定性。

2.3 典型狀態點處系統的動穩定性分析

在典型狀態點處對系統進行動穩定性分析。在巡航狀態下，縱向線性小擾動方程為：

(24)

式中，x=[△v△α△q△θ△h]T，u=[δeδT]T，y=[△v△α△q△θ△h]T分別為縱向小擾動方程的狀態變量，控制量和系統輸出。△v為速度(m/s)；△α為迎角(rad)；△q為俯仰角速度(rad/s)；△θ為俯仰角(rad)；△h為高度(m)；△δe為升降舵偏角(rad/s)；δT為油門桿偏角(rad)。

從時域角度出發分析系統的動穩定性。根據前述的內容，考慮到重點研究地效飛行器在低空巡航狀態下的穩定性，因此選取飛行高度為3 m,5 m,7 m,8 m,10 m,30 m，速度為78 m/s處分別進行配平，分析地效飛行器縱向運動的特征根如表1所示。

表1 典型狀態下縱向線性系統的特征根

從表1中可以得到以下結論：在這6個典型狀態點處，飛行高度從h6到h1依次減小，可以看出，當地效飛行器飛離地效區(飛向非地效區，非地效區指的是飛行高度大于7.5 m)的過程中，短周期運動由發散變成穩定，長周期運動由原來的阻尼震蕩變得不穩定。在非地效區，氣動導數不受高度影響，運動方程中△v,△α,△q,△θ四個狀態變量不受飛行高度的影響，不考慮它在高度上的變化，這時也不具備高度穩定性，對應特征根中λ5=0。隨著接近水面，地效作用使得氣動導數受高度影響作用明顯，運動方程△v,△α,△q,△θ,△h五個狀態變量受到高度的影響，這符合前面分析的小擾動模型中的A陣最后一列不為零。另外從長短周期根的變化可以看出，地效影響隨著高度的減小而增強。

3 縱向LQR增穩控制設計及仿真

經上述分析可知，地效飛行器在巡航狀態時不具備動穩定性，為了解決地效飛行器在受到外界干擾時，能通過控制的涉入[21]，使其恢復原定的航行狀態，使得地效飛行器具有良好的穩定性[22]，因此需要設計增穩來提高飛機的動穩定性。通常飛機的縱向增穩都是采用迎角和俯仰角反饋來增大系統阻尼，從而增強系統的動穩定性。該方法設計的增穩雖然簡單直觀，但是魯棒性不強[23]。線性二次型技術由于具有良好的魯棒性，在常規布局的固定翼飛機上已有廣泛應用，但在地效飛行器上目前應用較少。這里采用常規LQ方法[24]設計巡航時典型狀態下的地效飛行器增穩，來改善地效飛行器的靜穩定性和動穩定性。

3.1 縱向LQR增穩控制設計

如何設計控制律實現受控系統性能指標最小的最優控制問題即為LQR問題。LQR方法是目前算法中最為成熟應用最為廣泛的一種控制方法，設線性時變系統的狀態方程和輸出方程為：

(25)

式中，狀態變量x(t)∈Rn×1，輸出變量y(t)∈Rl×1，控制變量u(t)∈Rm×1，時變系統矩陣、增益矩陣和輸出矩陣分別為A(t)∈Rn×n、B(t)∈Rn×m和C(t)∈Rl×1。令系統的輸出期望向量為yr(t)∈Rl×1。并定義系統的輸出誤差向量為：

e(t)=yr(t)-y(t)

(26)

設受控系統的性能指標函數為：

(27)

式中，F∈Rl×l為半正定常數加權矩陣，Q(t)∈Rl×l為半正定時變加權矩陣，R(t)∈Rm×m為正定時變加權矩陣，t0和tf分別為系統響應初始時刻和終止時刻。

對于地效飛行器，為了保證系統在受到外界干擾時，使其恢復干擾前的狀態，必須進行增穩控制。那么通過適當的反饋保證地效飛行器具有良好的穩定性問題可以看作是狀態調節器的設計問題。對于式(2)描述的地效飛行器的縱向線性定常系統，其中系統的狀態方程和輸出方程為：

(28)

式中，A∈Rn×n為系統矩陣，B∈Rn×m為控制矩陣，C∈Rl×n為輸出矩陣，D為對應的l×m零陣。x(t)為系統的狀態變量，u(t)為系統的控制變量。

對地效飛行器設計增穩，選用式(27)中的tf→∞的狀態調節器模型，終端時刻tf→∞，是為了得到常值反饋增益矩陣，這時F=0，式(27)中第一項終端性能指標失去意義，又因為系統是時不變的，性能指標的權矩陣Q(t)和R(t)就為常矩陣Q和R，同時系統完全可控，那么選定二次型能指標函數為：

(29)

為了使地效飛行器的縱向系統滿足性能指標J最小，首先構造Hamilton函數：

(30)

其次通過求微分的方法求出最優控制信號u(t)：

u(t)=-R-1BTP(t)x(t)

(31)

可組成對應矩陣Riccati微分方程：

(32)

因為上述Riccati微分方程求解比較困難，這里假設P(t)是一個常數矩陣，所以P(t)的一階微分趨于零，所以上式變成：

0=PA+ATP+Q-PBR-1BTP

(33)

那么，在已知A、B、Q、R，就較容易求解上式Riccati微分方程的對稱正定解P。再依據u(t)=-R-1BTPx(t)=Kx(t)，求得u(t)。其中，K為最優常值的反饋增益陣。這里采用Matlab中lqr函數來求解Riccati微分方程。求解K的過程中，Q的選取是根據對自然模態特性的分析，依據各狀態變量在各模態中所起的重要程度的不同來進行加權，R的選取是根據操縱面的限制條件來定。

針對式(2)所示的地效飛行器縱向線性系統，搭建如圖4的模型，進行多狀態反饋，采用最優二次型的設計方法來求取反饋矩陣K。

圖4 地效飛行器縱向線性模型

3.2 縱向增穩控制仿真結果分析

為了驗證LQR狀態調節器的增穩效果，這里選取地效飛行器飛行高度為3 m，飛行速度為78 m/s的巡航狀態為例，采用了LQR狀態調節器方法設計地效飛行器的縱向增穩控制律。可以求得該狀態下的線性方程系數矩陣為：

易知，該狀態下是動不穩定的，所以用狀態調節器增穩。根據系統的速度和俯仰角速率在模態中起主要作用，以及保證產生合適的舵偏角。這里分別選取加權陣Q和R為：Q=diag([20,5,50,10,0.5])，R=100。

可求得反饋矩陣K為：K=[0.41242.7765-1.4301-4.79740.0458]。增穩后閉環系統特征值分別為λ1=-5.3196，λ2=-0.1025，λ3,4=-2.1954±2.4214i，λ5=-0.8185。則閉環系統在受迎角為5°的擾動時，縱向各個狀態的響應曲線如圖5所示。

圖5 反饋后受迎角擾動縱向各參數的響應曲線

從圖5和閉環系統的特征根可以看出，采用LQR增穩后，地效飛行器的縱向穩定性增強，對于外界干擾能夠很快恢復，控制舵偏角也符合實際要求，不超過±25°，增穩后的地效飛行器縱向靜、動穩定性得到了明顯的改善。經過調參，可以得到在不同高度下的最優反饋陣K如表2示。

表2 不同高度下的最優反饋陣

可以看到，盡管高度從h1到h6不斷增加，地效飛行器飛行在h1到h3之間時，處于地效區，最優反饋陣可選定為一個值；h4及其以上高度屬于非地效區，最優反饋陣K可選定為另外一個值，因此可以考慮在地效區和非地效區分別選定一個最優反饋陣K，來滿足不需要在不同高度下不停地切換最優反饋控制律。在飛行高度為3 m，飛行速度78 m/s所設計LQR增穩的Q，R陣用于高度為5 m，7 m，速度均為78 m/s的狀態下施加迎角為5度的擾動時，地效飛行器縱向閉環系統各狀態的響應曲線如圖6所示。

圖6 反饋后迎角擾動下縱向參數的響應曲線

仿真結果表明：飛行高度為3 m，速度為78 m/s處所設計LQR增穩控制具有較強的魯棒性，對于高度為7 m時的控制性能稍弱，是因為該狀態點位于臨界地效區。同理，可以對高度為30 m，速度為78 m/s時所設計的Q，R陣進行魯棒性驗證。

4 高度控制設計及仿真分析

對地效飛行器的高度控制是在俯仰角穩定回路的基礎上加上外回路實現的。這里外回路采用一階自抗擾控制(ADRC)[25]，將實際高度信息與指令高度信號作差，將高度差通過高度控制輸入到俯仰角控制系統，改變航跡傾斜角u來控制地效飛行器的飛行高度，直至穩定到指令高度，實現高度的穩定與控制。

4.1 高度控制設計

地效飛行器的縱向外環高度運動可以用以高度Δh為輸出，俯仰角Δθ為輸入的一階微分方程來描述，將迎角α看做擾動控制量，引入一階自抗擾控制器[26]，實現高度控制。由于：

ΔH=-ΔVΔα+ΔVΔθ

(34)

對此一階系統引入二階線性擴張狀態觀測器觀測縱向外環可能存在的擾動總和，引入線的一階ADRC由3個部分構成[27]。

其中：擴張狀態觀測器：

(35)

線性誤差反饋控制律：

(36)

控制量：

(37)

4.2 高度控制仿真結果分析

在內環俯仰姿態控制的基礎上，采用S-Function函數建立高度環一階擴張狀態觀測器，則縱向高度控制仿真模型如圖7所示。

圖7 地效飛行器高度通道自抗擾控制仿真模型

這里選定飛行速度為78 m/s，飛行高度為3 m的狀態進行配平得到該狀態點下系統的線性模型，給定指令爬升高度5 m，分別采用PID和自抗擾控制進行高度控制。采用PID控制時，由于高度通道是在俯仰通道的基礎上進行設計的，所以必須把高度輸入值轉化成相應的俯仰角度。當得到俯仰角需要改變的角度后，進行俯仰通道控制，則飛行高度也會隨之而發生改變。地效飛行器爬升下滑階段的被控制量為爬升高度Δh，則控制量Δθ則為PID控制的控制量可示為：

(38)

其中：Δhc為俯仰角的指令信號，kp為比例系數，ki為積分系數。

采用自抗擾對高度進行控制是在俯仰通道的基礎上對高度進行一節ADRC控制，對高度環的一階ADRC的三個模塊進行調參，進行控制器效果仿真驗證。其中設置一階高度環ADRC參數：h=0.002，boh=65，β01h=9 000，KhP=10.5，KhD=1.73。綜合PID和自抗擾仿真，可得高度的階躍響應如圖8所示。

圖8 PID控制和自抗擾控制的爬升高度響應

對比圖8兩條響應曲線，可以發現，相比于PID控制，自抗擾控制下的高度響應迅速準確，且超調較小，在15 s以內能很快地進入穩態。且于階躍響應，具有良好的控制效果。

5 結束語

本文針對地效飛行器縱向系統不穩定的問題，分析了地效飛行器縱向的靜穩定性和動穩定性判定條件，并在典型狀態下狀態點進行了動穩定性的分析。依據LQR控制進行了LQR縱向增穩系統的設計，針對選取的狀態點縱向運動的動不穩定，設計了LQR增穩控制，并在飛行包線內選取了其他的狀態點進行仿真驗證。針對縱向高度穩定控制的問題，采用自抗擾進行了高度控制律設計并進行仿真驗證。仿真結果表明，所設計的LQR增穩和自抗擾高度控制具有良好的魯棒性、準確性和快速性。