基于經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)的剖面重構(gòu)及其物理意義分析

鐘瑋琪，屈 科，梁 羿

（廣東海洋大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，廣東 湛江 524088）

聲速剖面是重要的海洋水聲環(huán)境參數(shù)之一，是評估海域穩(wěn)定性的基礎(chǔ)指標(biāo)，也是海洋聲場分析的必要先驗(yàn)信息。獲取精確的聲速剖面，對海洋環(huán)境監(jiān)測、聲源定位和軍事方面的應(yīng)用都具有重大意義。聲速剖面是有關(guān)深度和聲速的函數(shù)，也可以用時(shí)間或空間隨深度變化的矩陣形式來描述，聲速剖面的矩陣越大，精度越高。然而，使用深度和聲速的數(shù)值關(guān)系模擬實(shí)際聲速剖面需要大量的參數(shù)，參數(shù)增加的同時(shí)也增大了逆問題求解的難度，因此需要采用一定的降維技術(shù)盡可能使用較少的模態(tài)更為簡單、有效地重構(gòu)聲速剖面。經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)方法（Empirical Orthogonal Function，EOF） 就被證實(shí)是十分有效的途徑之一。為了降低聲速剖面在水聲學(xué)逆問題中未知參數(shù)的維度，通常將海洋聲速剖面表示為恒定的背景剖面與擾動項(xiàng)的疊加，通過經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)方法提取樣本擾動的主成分，然后可以通過若干階EOF 和投影系數(shù)描述聲速剖面。

經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)分析方法也稱為特征向量分析或主成分分析，是分析矩陣數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特性、提取主要數(shù)據(jù)特征的一種方法，能夠?qū)㈦S時(shí)間變化的變量場分解為僅依賴時(shí)間變化的時(shí)間函數(shù)和不隨時(shí)間變化的空間函數(shù)。DAVIS R E[1]證明了EOF 是描述聲速剖面最有效的基函數(shù)。沈遠(yuǎn)海等[2-3]、張鎮(zhèn)邁等[4]研究表明在淺海使用經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)描述和重構(gòu)聲速剖面的可行性和有效性。在實(shí)際中聲速剖面難以使用連續(xù)函數(shù)表示，傳統(tǒng)聲速剖面重構(gòu)方法對樣本數(shù)量有一定要求，因此，通過正交分解一定數(shù)量聲速剖面樣本序列的時(shí)間向量和空間向量，可以有效地描述聲速剖面，通常情況僅需要前幾階就可以獲得足夠的精度[5-7]，并且此方法可以避免描述聲速垂直結(jié)構(gòu)多參數(shù)的問題，在反演海水聲速剖面算法執(zhí)行過程中具有較高的時(shí)效性[8]。以上研究都表明了即便是在淺海聲速剖面變化劇烈的情況下，采用經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)表示聲速剖面仍然具有較高的實(shí)用性。孫文舟等[9]解析了聲速剖面EOF 第一模態(tài)時(shí)間系數(shù)和空間函數(shù)的變化規(guī)律，分析了引起聲速剖面變化的主要因素；蘇林等[10]分析了經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)系數(shù)分布特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)內(nèi)波環(huán)境下對聲速剖面的實(shí)時(shí)預(yù)測。從上述研究工作可以總結(jié)出，經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)可以有效地應(yīng)用于聲速剖面時(shí)空變化分析[11]、聲速場模型構(gòu)建[12-13]和海洋活動監(jiān)測[14-15]等領(lǐng)域。

EOF 方法作為一種數(shù)值統(tǒng)計(jì)方法，可將復(fù)雜的參考模型方程投影到少數(shù)主成分上來降低問題的維度。由于EOF 模態(tài)是樣本矩陣的主成分，并沒有物理表達(dá)式，其物理意義不直觀，難以從中獲取海洋動力學(xué)信息[16-18]。為了提升對EOF 方法反演結(jié)果的解析，本文采用經(jīng)驗(yàn)正交分解法，對2001 年中美聯(lián)合實(shí)驗(yàn)（The Asian Seas International Experiment，ASIAEX）在南海北部測量的溫度鏈數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，對第一、二階投影系數(shù)的物理意義進(jìn)行發(fā)掘分析。結(jié)果表明前兩階主要模態(tài)與海洋動力學(xué)參數(shù)密切相關(guān)，通過第一、二階投影系數(shù)的變化可以對海洋動力活動進(jìn)行有效監(jiān)測。

1 基于EOF 的聲速重構(gòu)

本文所采用的數(shù)據(jù)選自2001 年ASIAEX 于南海北部進(jìn)行聲學(xué)實(shí)驗(yàn)中的溫度鏈數(shù)據(jù)。ASIAEX 是中國、美國、俄羅斯、日本、韓國、新加坡之間的綜合科學(xué)合作，其主要實(shí)驗(yàn)在2001 年4—8 月進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)包括兩項(xiàng)內(nèi)容，第一個(gè)是在東海的海底相互作用實(shí)驗(yàn)，第二個(gè)是在南海的體積相互作用實(shí)驗(yàn)。本次數(shù)據(jù)取自2001 年5 月3 日至2001 年5 月17 日的南海實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)在浮標(biāo)投放點(diǎn)（21°55.285′N，117°35.088′E）進(jìn)行采樣時(shí)間為1 min 的測量。浮標(biāo)的每根繩子放置11 個(gè)溫度傳感器，傳感器之間的間隔約為10 m。溫度剖面的深度范圍為21.7～135.1 m。圖1 顯示了72 h（5 月7 日00∶00 至5 月10 日00∶00）溫度剖面的變化，可以觀察到頻繁強(qiáng)烈的線性和非線性內(nèi)波活動，觀測到的內(nèi)孤立波振幅約為70 m。

圖1 5 月7 日00 ∶00 至5 月10 日00 ∶00 溫度數(shù)據(jù)

由于影響淺海聲速的主要因素是淺海海水溫度，因此聲速的計(jì)算采用Chen-Millero-Li 聲速經(jīng)驗(yàn)公式[19]。由于實(shí)際采樣過程中存在實(shí)驗(yàn)條件的限制，導(dǎo)致每條聲速剖面的采樣并不能完全保持在等深度處，所以利用三次樣條插值法[20]將聲速內(nèi)插到垂直標(biāo)準(zhǔn)層后得到聲速剖面。

假設(shè)已獲得N 條聲速剖面，每條剖面有M 層垂直標(biāo)準(zhǔn)層，聲速剖面矩陣為C。計(jì)算聲速剖面矩陣C 中每層的平均聲速值，聲速剖面矩陣還可以表示成平均聲速剖面與聲速擾動X 的和。通常先將聲速剖面矩陣進(jìn)行預(yù)處理，即標(biāo)準(zhǔn)化處理或轉(zhuǎn)化為聲速剖面的殘差形式。若對聲速剖面矩陣C 進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，那么R 被稱為相關(guān)系數(shù)矩陣；若將C 進(jìn)行聲速剖面殘差處理，那么R 被稱為協(xié)方差矩陣。然后計(jì)算X 與其轉(zhuǎn)置矩陣的交叉積，則X 的協(xié)方差矩陣如下。

對協(xié)方差矩陣求解特征值向量，將R 分解如下。

式中，E 是R 的特征值矩陣，將E 按從大到小的順序進(jìn)行排列。每個(gè)非0 的特征值都對應(yīng)一個(gè)特征向量，得到F= [f1f2… fn]，F(xiàn) 是特征值對應(yīng)的特征向量矩陣，即EOF 的空間函數(shù)。取前q 個(gè)EOF 系數(shù)，則聲速剖面可以表示如下。

1.1 重構(gòu)結(jié)果及誤差分析

對獲得的所有樣本組成的聲速剖面矩陣進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)正交分解，可得出各階EOF 函數(shù)和方差貢獻(xiàn)率。圖2 為分解得到的前五階歸一化EOF 函數(shù)。表1中第一階EOF 重構(gòu)聲速剖面的方差貢獻(xiàn)率為70.06%，前三階EOF 的方差累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到93.46%，前五階可以達(dá)到97.45%。在南海北部海內(nèi)波波動劇烈的條件下，前三階累計(jì)貢獻(xiàn)率也已經(jīng)達(dá)到96%以上[21]，足夠較好地重構(gòu)聲速剖面。因此，從EOF 重構(gòu)聲速剖面方差貢獻(xiàn)率的角度考慮，本文使用前五階足夠反映聲速剖面的主要特征。

圖2 前五階歸一化EOF

表1 EOF 的方差貢獻(xiàn)率及累計(jì)方差貢獻(xiàn)率

僅僅使用前幾階擬合聲速剖面和實(shí)際所測聲速剖面必然存在誤差，因此，為分析重構(gòu)剖面的準(zhǔn)確性，將重構(gòu)的均方根誤差定義如下。

式中，Czi為實(shí)測聲速；Ci為擬合聲速；M 為深度上的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。

式中，RMSEi為單個(gè)剖面均方根誤差；N 為剖面?zhèn)€數(shù)。

圖3 為重構(gòu)聲速剖面的均方根誤差，清晰地顯示了應(yīng)用EOF 重構(gòu)聲速剖面的均方根誤差均在2.50 m/s 以下，誤差的最大值是2.19 m/s；在統(tǒng)計(jì)結(jié)果后，平均均方根誤差為0.83 m/s，42%的重構(gòu)均方根誤差在平均均方根誤差以下，即聲速剖面的重構(gòu)可以達(dá)到較好的精度。

圖3 不同剖面序號重構(gòu)效果的均方根誤差

海水?dāng)_動主要是由內(nèi)波、湍流等動力活動所引起的，對剖面有一定影響。如圖4 所示，選取3 種特殊情況中的3 個(gè)具有代表性的剖面進(jìn)行誤差分析。當(dāng)海水具有較大擾動時(shí)，海水向上運(yùn)動的重構(gòu)剖面的均方根誤差為0.29 m/s，其余兩個(gè)剖面誤差略大于平均誤差。選取的3 個(gè)剖面的均方根誤差均接近平均均方根誤差，表明了在海水有較小和較大擾動的情況下，EOF 重構(gòu)聲速剖面仍有較好的效果。

圖4 振幅最小、振幅向下最大和振幅向上最大的實(shí)測剖面（紅色線）與重構(gòu)剖面（藍(lán)色線）效果圖

2 EOF 物理意義的分析

前二階EOF 模態(tài)的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率是86.11%，其中第一階模態(tài)占70.06%，在所有模態(tài)中所占權(quán)重最高，在重構(gòu)聲速剖面中起主導(dǎo)作用。從圖5 可見，第一階模態(tài)幅值最大值是在水深為69 m 處，在第一階模態(tài)幅值最大值時(shí)，第二階模態(tài)幅值為零，且第一階模態(tài)只有1 個(gè)極值，符號都為正值，此時(shí)表明了水質(zhì)子運(yùn)動方向相同。最大振幅出現(xiàn)的位置，在海水躍層中代表著等聲速線，且等聲速線都往同一個(gè)方向振蕩。第二階模態(tài)有兩個(gè)極值，且在第一階模態(tài)幅值最大水深處附近改變符號，可以解釋為等聲速線在躍層上方和下方運(yùn)動方向相反，代表了躍層內(nèi)聲速梯度的變化。

圖5 第一、二階模態(tài)歸一化幅值

將歸一化后的值A(chǔ) 定義如下。

式中，an為投影系數(shù)；amin為投影系數(shù)的最小值；amax為投影系數(shù)的最大值。

在忽略第二階以上模態(tài)影響的情況下，第一階投影系數(shù)可近似描述重構(gòu)剖面中1 522 m/s 的等聲速線。根據(jù)物態(tài)方程，鹽度穩(wěn)定時(shí)可認(rèn)為聲速和溫度變化成正比，等聲速線和等溫度線近似一致。如圖6 所示，將第一階投影系數(shù)和等聲速線的振幅進(jìn)行歸一化，可以注意到第一階投影系數(shù)與一階模態(tài)幅值最大深度等聲速線的變化趨勢相似，并且相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.96，這說明了第一階投影系數(shù)與該等聲速線具有很強(qiáng)的相關(guān)性。第一階投影系數(shù)與海水水層溫度的變化趨勢相近，因此還可以解釋為，第一階投影系數(shù)可以近似反映出海水水層的變化趨勢。

圖6 歸一化第一階投影系數(shù)及等聲速線變化

第二階模態(tài)具有兩個(gè)極值，通過求解得到兩個(gè)極值（39～95 m）的聲速梯度，將第二階投影系數(shù)和聲速梯度的振幅進(jìn)行歸一化處理，如圖7 所示。將聲速梯度與第二階投影系數(shù)進(jìn)行對比，可以明顯觀察到兩條曲線非常相似，變化規(guī)律基本一致。兩條曲線相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.99，具有十分強(qiáng)的相關(guān)性。因此，第二階投影系數(shù)可以描述二階模態(tài)兩個(gè)極值間的聲速梯度，從第二階投影系數(shù)可以得到等聲速線變化的方向和聲速隨深度變化的快慢。由于聲速梯度影響聲線折射的方向，在淺海中導(dǎo)致傳播損失變大，影響水下探測，使得聲吶系統(tǒng)探測距離變短。

圖7 歸一化第二階投影系數(shù)及聲速梯度變化

由圖8 可以看到內(nèi)波中聲速隨時(shí)間的變化及雙振蕩結(jié)構(gòu)。如圖8（a）所示，該時(shí)段出現(xiàn)了5 個(gè)顯著連續(xù)的內(nèi)孤立波，并且在出現(xiàn)內(nèi)孤立波的情況下，該時(shí)段還產(chǎn)生了類似正余弦變化、符號相反的雙振蕩結(jié)構(gòu)，如圖8（b）所示。將相鄰兩個(gè)點(diǎn)的振幅除以采樣時(shí)間得到投影系數(shù)的時(shí)間變化率，可以觀察到雙振蕩結(jié)構(gòu)的兩條曲線分別對應(yīng)著第一階投影系數(shù)與第二階投影系數(shù)的時(shí)間變化率，在內(nèi)波活動下第一階投影系數(shù)的時(shí)間變化率振蕩峰均略高于第二階投影系數(shù)，且隨著時(shí)間變化，內(nèi)波振幅深度減小，雙振蕩結(jié)構(gòu)的振幅也隨之減小。

圖8 內(nèi)波與雙震蕩圖

海洋內(nèi)波是由海水溫差、鹽差造成密度穩(wěn)定分層現(xiàn)象產(chǎn)生的水下波浪，而內(nèi)波通常發(fā)生在水體的內(nèi)部，在海水表面難以觀察。形成海洋內(nèi)波需要兩個(gè)條件，第一是穩(wěn)定的密度分層，第二是擾動源。在海脊、大陸架邊緣等特殊地形條件下，海洋密度躍層中內(nèi)潮波之間的非線性相互作用會產(chǎn)生大振幅的內(nèi)孤立波。由于黑潮入侵和季風(fēng)影響海洋環(huán)境，南海北部是內(nèi)孤立波活動的多發(fā)海域。內(nèi)孤立波在傳播過程中可以形成海水強(qiáng)烈的輻聚和突發(fā)性的波致流，嚴(yán)重威脅海洋工程活動與海洋石油工作。內(nèi)波活動還會影響聲速剖面，進(jìn)而影響水下目標(biāo)的探測與定位以及水聲通信。

在海水深度較淺的情況下，溫度是聲速的主要影響因素，并且溫度和密度相互影響。EOF 模態(tài)在不同深度上的幅值代表深度擾動的大小，在有理想流體媒質(zhì)中有聲擾動的條件下，物態(tài)方程可以描述聲場中聲速與密度的變化之間的關(guān)系。

式中，c0是聲速；P 是壓強(qiáng)；ρ 是密度，物態(tài)方程反映出海水受到聲擾動的壓縮特性。在理想流體媒質(zhì)中，壓強(qiáng)和密度的變化具有相同的方向。

密度擾動是引起內(nèi)波的原因之一，假設(shè)海水為理想流體媒質(zhì)，由于密度擾動層的密度分布是不穩(wěn)定的，擾動層中的海水密度比周圍的海水密度高，高密度海水必須向低密度海水混合，dρ ＜0，則dP＜0，海水膨脹。此時(shí)水體朝下方運(yùn)動，躍層上方幅度大于下方。水體運(yùn)動速度與一階模態(tài)近似，對應(yīng)等聲速線向下運(yùn)動，一階投影系數(shù)隨時(shí)間正向增大。躍層內(nèi)梯度變大，對應(yīng)二階投影系數(shù)隨時(shí)間負(fù)向增大。

在高低密度海水混合的過程中，一階投影系數(shù)變化率向上增大到峰值則開始減小，二階投影系數(shù)變化率則是向下增大到最大后開始減小，減小到某一時(shí)刻的變化率都為0 時(shí)，表明了海水混合的速率是由快到慢地恢復(fù)到一個(gè)密度平衡的狀態(tài)。

由于慣性的作用，平衡密度會出現(xiàn)繼續(xù)向下混合的現(xiàn)象。此時(shí)水體朝上運(yùn)動，等聲速線向上運(yùn)動，對應(yīng)一階投影系數(shù)隨時(shí)間負(fù)向増大。躍層內(nèi)梯度變小，二階投影系數(shù)隨時(shí)間正向增大。

當(dāng)海水停止混合時(shí)，海水密度已經(jīng)低于平衡密度，周圍高密度海水又開始向低密度海水混合，dρ＞0，則dP ＞0，海水壓縮。與一階模態(tài)對應(yīng)的等聲速線依舊向上運(yùn)動，躍層內(nèi)梯度繼續(xù)變小。一階投影系數(shù)變化率則向下增大到最大后開始減小，二階投影系數(shù)變化率向上增大到峰值后開始減小，直至某一時(shí)刻變化率再次都為0 時(shí)，海水重新恢復(fù)到平衡密度，則開始新的周期，形成內(nèi)波。基于上述分析，內(nèi)波的雙振蕩實(shí)質(zhì)為密度層擾動的一個(gè)周期。

3 結(jié) 論

從聲速剖面的重構(gòu)效果而言，使用EOF 方法對聲速剖面進(jìn)行分解和重構(gòu)固然有效且重構(gòu)精度較高。然而，作為一種數(shù)值方法，EOF 并沒有實(shí)際的物理意義。本文應(yīng)用EOF 方法對聲速剖面進(jìn)行重構(gòu)，對第一、二階投影系數(shù)的物理意義進(jìn)行探討和分析，得出EOF 系數(shù)擾動與海洋變化規(guī)律結(jié)果如下。

（1） 一階EOF 模態(tài)與受溫度影響的聲速變化分布相關(guān)，第一階投影系數(shù)變化趨勢與等聲速線高度相關(guān)，實(shí)驗(yàn)相關(guān)系數(shù)為0.96。

（2） 二階EOF 模態(tài)主要控制二階躍層梯度，可以使用第二階投影系數(shù)描述二階模態(tài)兩個(gè)極值間深度的聲速梯段。

（3） 內(nèi)孤立波存在時(shí)，一、二階EOF 模態(tài)具有相關(guān)性。在溫度和密度的影響下，等聲速線和梯度聯(lián)合擾動的過程可以用前兩階隨時(shí)間變化的投影系數(shù)表示成雙振蕩結(jié)構(gòu)。因此可以通過雙振蕩結(jié)構(gòu)作為內(nèi)孤立波的識別特征，進(jìn)行監(jiān)測和預(yù)警。