空間宏微機械臂振動抑制最優軌跡規劃

尹旺 王翔

(北京空間飛行器總體設計部，北京 100094)

隨著空間機械臂在航天領域的廣泛應用，復雜多樣的空間任務對機械臂的綜合性能提出了更高的需求，如快速響應、高精度、小自重和大工作范圍等[1]。因此一些國家試圖在大機械臂的末端再附加一個小的機械臂，大的機械臂稱為宏機械臂，小機械臂稱為微機械臂，研究表明這種宏微結構能大大改善機械臂的性能。加拿大的空間站遙操作機械臂系統(SSRMS)與其末端的專用靈巧機械臂(SPDM)、日本的實驗艙遙控機械臂系統(JEMRMS)以及中國天宮空間站上的核心艙機械臂(CMM)和實驗艙機械臂(EMM)均采取了宏微機械臂的設計[2]。

為了減輕自重，節約發射成本，宏機械臂的臂桿通常采用低密度的碳纖維材質，這種大跨度、輕質的宏機械臂通常會表現出一定的柔性特性。中國空間站上的宏微機械臂采用的是分時獨立控制的方式，即先由宏機械臂完成大范圍的轉移—將微機械臂帶到期望的工作區域，然后由微機械臂執行細微操作，此時的宏機械臂相當于為微機械臂提供一個平臺[3]，由于兩者之間存在動力學耦合，因此微機械臂的運動會激起柔性基座的彈性振動，而基座的彈性振動反過來又會影響微機械臂末端的操作精度。文獻[2]指出載荷照料是實驗艙機械臂的主要任務之一，而機械臂末端的高精度定位是完成載荷出艙、安裝、拆卸和回收的首要前提，因此減小機械臂在運動過程中產生的振動是工程中需要解決的難題。

文獻[4]設計了一種被動三自由度變剛度的基座用來模擬柔性宏機械臂，該柔性基座能模擬宏機械臂在各種不同構型下的剛度特性。文獻[5]中基于阻抗控制算法為宏機械臂設計了相應的微機械臂，試驗表明該宏微機械臂系統能完成柔順運動。文獻[6]中為JEMRMS系統設計了自適應控制器，在系統模型存在不確定性的情況下仍能對宏機械臂的彈性振動進行有效抑制。文獻[7]針對冗余自由度機械臂安裝在柔性基座的模型，應用奇異攝動方法對柔性基座的彈性振動進行了抑制，并通過試驗驗證了算法的有效性。文獻[8]同樣采用奇異攝動方法對空間機械臂的彈性基座進行了抑振，算法的實質是將機械臂動力學模型從時間尺度上分解為快、慢兩個子系統，并分別進行控制。文獻[9]針對柔性基座機械臂提出一種基于反作用零空間的復合控制方法，使機械臂在運動過程中幾乎不對柔性基座產生擾動。考慮到基座在重力作用下發生彈性位移，文獻[10]為柔性基座機械臂設計了一種柔順控制律，在不需要基座運動信息的情況下仍能補償末端執行器的靜態偏差。

以上研究從主動控制算法層面提出了柔性基座彈性振動，一方面控制算法較為復雜，有待進一步在軌驗證，另一方面振動抑制效果受限于機械臂構型及運動軌跡。本文以基座彈性振動為優化目標進行軌跡規劃抑振的研究，基座的振動得到抑制之后機械臂末端的定位精度會相應提高。

1 系統動力學方程

不失一般性，以作平面運動的三連桿柔性基座機械臂為例，建立柔性基座機械臂的動力學模型，系統結構如圖1所示。其中：微機械臂的基座(M)通過彈簧和阻尼器與慣性空間連接，彈性系數和阻尼系數用k和c表示。為表示機械臂各連桿之間的相對位置關系，建立各連桿的固連坐標系oixiyizi(i=1,2,3)，坐標系{i}的原點位于第i個連桿的關節處，連桿xi沿著臂桿指向下一關節，zi垂直紙面向外，通過右手螺旋定則確立yi，連桿的相對轉角θi定義為xi-1繞zi到xi旋轉的角度。圖1中：oMxMyMzM為柔性基座M的固連坐標系，omxmymzm為機械臂末端坐標系，o0x0y0z0為慣性坐標系，基座相對于基坐標系的彈性位移記為δ。

圖1 柔性基座機械臂系統

為簡化模型，作出以下假定：①彈簧只在水平方向作伸縮運動；②不計彈簧的分布質量；③微機械臂各連桿為均質剛性桿，連桿i長度為li；④動力學模型中不考慮重力影響。

1.1 機械臂運動學

微機械臂連桿i的質心在慣性系下位置矢量可表示為

(1)

(2)

連桿i的角速度可表示為

(3)

1.2 柔性基座機械臂動力學

(4)

式中：mi和Ii分別為連桿i的質量和轉動慣量，M為基座質量，等式右邊第1項為微機械臂的平動動能，第2項為微機械臂的轉動動能，第3項為柔性基座的動能。

由于不計重力作用，因此系統中的勢能僅為線性彈簧伸縮存儲的彈性勢能

(5)

式中：δ為基座振動位移。

另外，系統中阻尼器產生的耗散能可表示為

(6)

將式(4)～(6)求得到的動能、勢能以及耗散能代入到第二類拉格朗日方程得到柔性基座機械臂的動力學方程為

(7)

式中：Hb∈R1為柔性基座的質量特性；Hbm∈R1×3為柔性基座和微機械臂之間的慣性耦合矩陣；Hm∈R3×3為微機械臂的慣性矩陣；cb∈R1和cm∈R3×1為非線性項；τ∈R3×1為微機械臂的關節驅動力矩矢量。

由式(7)的上半部分得到柔性基座在平衡位置附近的彈性振動方程為

(8)

(9)

式中：s1=sinθ1；c1=cosθ1；s12=sin(θ1+θ2)；c12=cos(θ1+θ2)；s123=sin(θ1+θ2+θ3)，c123=cos(θ1+θ2+θ3)。

2 關節空間的軌跡規劃

關節空間的軌跡規劃是指機械臂只需要完成空間點到點的運動，對末端的運動軌跡沒有要求。規劃流程是首先獲得參數化的關節軌跡，以參數化的變量為個體，以目標函數作為評價函數，最后采用優化算法對優化參數進行調整。本文采用四級龍格-庫塔法對式(8)所示的基座振動方程進行數值求解，即可求得基座振動位移δ的時間歷程，并以基座最大振動幅值作為目標函數。

2.1 參數化關節軌跡模型

為了使機械臂關節的運動軌跡更加光滑同時不至于使軌跡方程過于復雜，本文用分段函數描述關節的運動軌跡，該分段函數分別為4次、3次、4次的多項式，本文簡稱為“4-3-4”形式的運動軌跡，分段函數的表示達式為

(10)

式中：a0，a1…a4，b0、b1…b3，c0，c1…c4為分段多項式的待定系數，關節軌跡曲線的大致形狀如圖2所示。假設各關節的運動軌跡滿足初始及終止時刻速度和加速度為零，同時分段軌跡函數的連接處速度和加速度連續，在該條件約束下能唯一確定各關節的運動軌跡。

圖2 “4-3-4”參數化軌跡曲線

現將該軌跡函數參數化，引入如下的設計參數，也是后續的優化變量。已知機械臂運動的總時長tf以及各關節的起始角度θj0和終止角度θjf(j=1,2,3)，引入一組待定參數γj和βj，γj和βj的取值均在0和1之間，為了方便表示，將所有待定參數組合在一起，表示成λ=[γ1γ2γ3β1β2β3]，當優化參數λ給定后，3個關節的運動軌跡唯一確定，因此關節的軌跡規劃問題轉化成待定參數的優化問題。

(11)

式中：γj=(tj2-tj1)/tf；βj=(θj2-θj1)/(θjf-θj0)。

2.2 基于遺傳算法的優化分析

2.2.1 仿真條件

由于遺傳算法是一種簡單、高效的全局優化算法，僅僅以目標函數作為搜索信息就能得到最優解，因此本文選用遺傳算法，以微機械臂運動過程及運動結束后基座的振動幅值為優化目標，通過對關節的軌跡參數λ進行優化實現抑振目的。該優化模型的數學表達式為

(12)

2.2.2 仿真結果分析

圖3 目標函數的變化曲線

優化后的待定參數代入式(10)和(11)，即可得到關節1、關節2和關節3的角位移函數，如圖4所示，從圖中可見各關節的轉動軌跡光滑連續，在始末時刻的速度和加速度為0，工程上易于實現。

圖4 關節的角位移曲線

當微機械臂各關節的運動規律已知時，根據式(8)可求得柔性基座的彈性位移，如圖5所示。從仿真結果可以發現，微機械臂基于對照參數組以及5次多項式的軌跡進行運動，激起的基座振幅達到0.156 m和0.073 m，相比之下，按照優化后的關節軌跡進行運動振動幅值僅為0.039 m，表明文中的軌跡規劃方法能有效抑制柔性基座的彈性振動。圖6給出了微機械臂按照不同路徑進行點到點的運動時對基座的等效激振力，顯然，對照組的等效激振力幅值最大，五次多項式的幅值次之，基于優化軌跡運動產生的激振力幅值最低，這與圖5中基座的振動情況相一致。

圖5 柔性基座的振動位移曲線

圖6 微機械臂運動產生的激振力

3 冗余機械臂自運動優化

由于冗余自由度微機械臂具有“自運動”能力，使其具有很強的靈活性，因此在抑制基座的彈性振動方面也有很大優勢。當機械臂末端需要跟蹤特殊軌跡時，可以對機械臂逆運動學中的自運動項進行優化，在保證末端跟蹤軌跡的同時，最小化基座振動。

機械臂末端廣義速度與關節角速度之間的關系為

(13)

式中：J(θ)為機械臂的雅克比矩陣，隨著機械臂關節角的變化而變化。由矩陣理論知，式(13)的逆解為

(14)

式中：J+=JT(JJT)-1稱為雅克比矩陣的偽逆；h為優化系數，為保證關節的連續順滑，令h按照機械臂末端的速度曲線進行變化，即為四次多項式函數。等式右邊第1項是最小范數解；第2項是冗余自由度機械臂的自運動項，指機械臂關節在零空間內產生自運動但不會引起末端的運動，機械臂在零空間的速度項只會引起機械臂構型的變化而末端的狀態不受影響。因此本部分以自運動項作為優化項對機械臂運動過程中產生的基座反作用進行優化。

3.1 仿真條件

(15)

3.2 仿真結果分析

圖7 自運動優化前后的基座振動曲線

由圖8可知最小范數解的物理含義是機械臂各關節以最小的運動量完成末端軌跡跟蹤，圖9表明當冗余機械臂中自運動項不為零時會增加各關節的運動量，盡管在運動時間相同的情況下，后者引起的基座振動幅值仍小于前者，實質上是通過選擇合適的“自運動”使微機械臂產生較小的激振力，于是柔性基座受迫振動的幅值也較小，圖10為微機械臂的剛性運動對柔性基座產生的等效激振力。

圖8 基于最小范數解的運動軌跡

圖9 最優自運動的運動軌跡

圖10 微機械臂運動產生的激振力

雖然基于自運動項對機械臂的某項指標進行優化時是以犧牲關節的運動量為代價的，盡管如此，基于自運動的優化方法在工程中仍有一定應用價值，因為機械臂運動所消耗的電能在太空中來源于可再生能源。相比于關節運動所消耗的電能，減小宏機械臂彈性振動，提高組合臂末端的操作精度有更大意義。

4 結束語

本文從軌跡優化層面，采用了兩種方法對宏微機械臂振動抑制問題進行了研究。首先針對“4-3-4”形式的關節軌跡函數設計了振動抑制目標優化函數，對微機械臂進行了軌跡規劃；然后將遺傳算法與冗余自由度機械臂的逆運動學理論相結合，對逆運動學中的自運動項進行優化。仿真表明兩種方法都能對柔性基座的振動抑制起到良好的效果。需要指出的是，文中所建立的柔性基座機械臂動力學模型是簡化后的理想模型，對于我國空間站上搭載的大、小組合機械臂系統，大臂末端可以等效成具有六自由度彈性振動的柔性基座，小機械臂具有七自由度，其動力學方程極其復雜，本文從原理上提出并驗證了利用運動軌跡優化進行振動抑制方法的有效性，后續可進一步針對復雜機械臂動力學模型驗證本文方法的有效性。