基于數據插值預測路基沉降及誤差分析

宋光浩

（1.河北省地質礦產勘查開發局第八地質大隊，河北 秦皇島 066000）

沉降預測的常用方法是選取擬合模型，通過實測數據計算擬合參數，根據擬合參數預測未知點沉降狀態，這種預測方法計算快捷、原理簡單，但限制于擬合模型的特點，將已知數據代入模型中依然存在誤差，在預測已知點之間的沉降情況時效果通常不好[1-8]。數據插值法具有與已知點完全符合的特性，很多研究對插值法在沉降預測中的適用性展開了探討，李諄[9]提出一種基于三次樣條插值和灰色GM（1，1）模型的組合預測算法，通過三次樣條插值法處理原始非等間距數據，將其轉變為等間距序列，繼而用傳統GM（1，1）模型進行預測，克服了單一預測模型的局限性；王征博[10]建立基于分形插值的預測模型，并將此算法應用于橋墩沉降數據的預測中；王彥之[11]分別采用三次樣條插值技術和1stOpt軟件進行仿真插值，并對結果進行比較。上述研究缺少對常用插值方法適用性的總結，尤其是在內插預測中插值方法的優劣比較，因此本文使用幾種數據插值方法進行沉降預測研究，探討插值法在預測沉降中的適用性與精度，并與常見的2種擬合方法進行對比[12-15]。

1 常用的插值法

設一組二維數據，自變量xi(i=0，1，2，3，…，n)，因變量yi(i=0，1，2，3，…，n)，插值函數為f(x)，其中n為已知數據的個數。

1）線性插值。線性插值表達形式比較簡單，其系數僅為一次，可以認為是一次多項式插值法，其求解式如式（1）所示：

2）三次樣條插值。三次樣條插值中，將區間[a，b]分成n個區間，[(x0，x1)，(x1，x2)，…，，(xn-1，xn)]，共有n+1個點，其中區間[a，b]的端點即為x0和xn，三次樣條方程滿足以下3個條件：在每個小區間上f(x)都是一個三次方程；f(x)與已知數據相符合；f(x)曲線光滑，f(x)與其一次二次導數都是連續的；則此三次方程可以組成如式（2）所示的形式：

4）三次多項式插值。三次插值多項式的一般形式如式（4）所示：

式中，αi為待定系數，可由2個端點的函數值及其導數值列4個方程聯立求解。

5）拉格朗日插值。拉格朗日插值多項式的基本形式如式（5）所示：

式中，lk(xj)表示自變量x取第j個時的第k個插值基函數，具體形式如式（6）所示：

6）牛頓插值。牛頓插值法公式如式（7）所示：

式中，f(x0，x1)表示差商，例如，

2 路基沉降案例驗證

路基沉降案例使用文獻[16]的實測數據。圖中可知路基沉降共有380 d，其中0~120 d為路基的填筑期，120~220 d為恒載期，220~380 d為穩定期，本次計算選用K12+505樁號的斷面進行計算，由20 d起始，每間隔40 d作為已知數據，則已知數據由20 d至380 d共計10組，將空缺的9組數據作為模型內插的已知數據，分別使用線性插值、三次樣條插值、分段三次埃爾米特插值、三次多項式插值、拉格朗日插值和牛頓插值法進行內插預測。已知數據如表1所示，其中備注為已知點的是作為已知數據的10組點，備注未知點式作為待內插數據的9組點。

表1 已知數據

根據已知點對待定點進行插值，列舉成果時略過10組已知點，僅比較9組未知點，為方便比較，將文獻[16]中的GM（1,1）與Verhulst的成果也合并列出，內插成果表如表2所示。

表2 內插成果對比/mm

由上表可知，插值法內插成果明顯優于擬合方法的擬合成果，內插成果與真值相差維持在3 mm以內，但擬合成果在許多時間上與真值出入較大，例如第40 d。幾種內插方法中，拉格朗日與牛頓插值成果在小數點后兩位相同，其實際計算結果并不相同，但其區別很小，在小數點后10位才有所差別，在這種近似的誤差下，考慮到牛頓插值法對新引入數據的差商接續性，應當舍棄拉格朗日插值的預測方法（拉格朗日插值對新數據沒有接續性，加入新數據就需要重新計算參數，牛頓插值法由于存在差商表，繼續沿表計算即可獲得加入新數據的內插結果）；線性插值精度較于其他幾種內插方法精度明顯偏低，三次樣條插值、分段三次埃爾米特插值及三次多項式插值精度區別不大，因此引入平均相對誤差進一步評價其精度。相對誤差成果如表3所示，其中最后一行為平均相對誤差；表3成果曲線如圖1所示，其中縱軸為相對誤差，橫軸為天數。

圖1 相對誤差曲線

表3 平均相對誤差對比

由表3可見，內插方法中三次樣條插值精度最高，平距相對誤差僅為0.55%，分段三次埃爾米特插值、拉格朗日插值與牛頓插值精度相對，均為0.61%~0.62%，三次多項式插值與線性插值精度最低（三次多項式插值本質也是線性插值），說明線性插值方法不能很好地內插預測沉降曲線；兩種擬合方法精度偏低，其平均相對誤差與內插方法相差一個數量級。

3 結語

本文由實測數據等間隔分割得到實驗數據，對比了常用的數據內插方法及文獻中的擬合成果，結果表明，數據內插方法能夠比較準確地預測路基沉降值，其中三次樣條插值精度最高，分段三次埃爾米特插值、牛頓插值和拉格朗日插值精度次之；數據內插方法具備與已知點相符合的特性，其預測精度遠高于常規擬合方法。推薦在實際應用中高精度需要時選擇三次樣條插值，當工程尚未結束時，考慮到數據的持續使用應當選擇牛頓插值或埃爾米特插值。

本文僅對比了數據內插時的預測情況，驗證了內插方法對比擬合方法具備的優勢；后續研究將在有關數據外插方法與擬合模型的對比方面展開，當數據外插時，插值法不再具備與已知數據符合的優勢（外插數據在已知范圍以外），其與擬合方法的應用取舍制需進一步探討。