高考數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧研究

摘 要：圓錐曲線是高考數(shù)學(xué)的必考知識點(diǎn)，相關(guān)習(xí)題難度較大.學(xué)生解題時如未掌握相關(guān)技巧，不僅計(jì)算量繁瑣，而且容易出錯.教學(xué)中為提高學(xué)生解答圓錐曲線習(xí)題的效率，應(yīng)做好常見解題技巧的總結(jié)，并結(jié)合具體例題為學(xué)生展示解題技巧的相關(guān)應(yīng)用，啟發(fā)學(xué)生更好地解題.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);圓錐曲線;解題技巧;幾何

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）10-0018-03

收稿日期：2022-01-05

作者簡介：姬彩生（1986.9-），女，江蘇省徐州人，碩士，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

眾所周知，高考中時間緊迫，要想取得理想成績，提高圓錐曲線解題效率尤為關(guān)鍵.為避免學(xué)生在解題中少走彎路，教學(xué)中既要啟發(fā)學(xué)生認(rèn)真審題，又要做好相關(guān)解題技巧的灌輸，使學(xué)生真正消化吸收，在解題中靈活應(yīng)用.

1 借助相關(guān)結(jié)論解題

解答圓錐曲線習(xí)題時利用相關(guān)的結(jié)論既能保證解題的正確性，又能節(jié)省解題時間，因此，教學(xué)中應(yīng)注重為學(xué)生講解有關(guān)圓錐曲線的相關(guān)結(jié)論，要求學(xué)生根據(jù)所學(xué)進(jìn)行推導(dǎo).同時，為學(xué)生展示結(jié)論在解題中的應(yīng)用，給其留下深刻的印象，提高其利用相關(guān)結(jié)論的解題意識.

結(jié)論 過原點(diǎn)的直線和橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓上一動點(diǎn)，直線PA，PB的斜率kPA，kPB均存在，則可得出kPA·kPB=-b2a2=e2-1.

該結(jié)論可要求學(xué)生自己進(jìn)行證明.

例1 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右頂點(diǎn)分別為A，B，直線l過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動點(diǎn)，直線AP和直線l交于點(diǎn)M，若OM⊥PB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（? ）.

A.12? B.22? C.33? D.53

解析 根據(jù)題意，設(shè)直線AP的斜率為k1，因?yàn)锳（-a，0），則其方程為y=k1（x+a）.

令x=a，則y=2k1a.

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，2k1a）.

則kOM=2k1aa=2k1.

因?yàn)镺M⊥PB，所以kPB=-12k1.

根據(jù)結(jié)論可得k1·（-12k1）=e2-1.

所以e2=12.

解得e=22，故選B項(xiàng).

2 借助幾何知識解題

解答部分圓錐曲線習(xí)題時運(yùn)用幾何知識可簡化解題過程，因此，教學(xué)中與學(xué)生一起總結(jié)與圓錐曲線相關(guān)的幾何知識，如線段的平行、垂直，三角形的相似等，并為學(xué)生展示幾何知識的應(yīng)用，使其體會借助幾何知識解題的便利，為其更好地運(yùn)用于解題中做好鋪墊.

例2 如圖1，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上，且線段PF和圓（x-c3）2+y2=b29相切于點(diǎn)Q，且PQ=2QF，則橢圓C的離心率為（? ）.

A.53? B.23? C.22? D.12

解析 根據(jù)題意可知圓的圓心坐標(biāo)M為（c3，0），設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，

則MF1=c+c3=4c3.

則FM=2c-4c3=2c3.

則|FM||FF1|=13.

而PQ=2QF，則|QF||FP|=13.

連接PF1，QM，則PF1∥QM.

由圓的方程可知圓的半徑r=b3.

所以PF1=b.

由橢圓定義可知PF=2a-b.

又因?yàn)辄c(diǎn)Q為直線PF和圓的切點(diǎn)，

則QM⊥PF.

所以∠F1PF=90°.

即PF2+PF21=FF21.

即（2a-b）2+b2=4c2.

又因?yàn)閏2=a2-b2，不難得出

c2=5a29，即e2=59.

則e=53，故選A.

3 借助坐標(biāo)運(yùn)算解題

坐標(biāo)運(yùn)算是解答圓錐曲線習(xí)題的重要思路之一.教學(xué)中為使學(xué)生掌握運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算解題的技巧，應(yīng)做好相關(guān)例題的優(yōu)選與精講，以更好地拓展學(xué)生的解題思維，使其具體情況具體分析，選擇最優(yōu)的解題方法.

例3

平行四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)均在雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上，直線AB，AD的斜率分別為12，1，則該雙曲線的漸近線方程為（? ）.

A.x±2y=0?? B.2x±y=0

C.x±y=0D.x±3y=0

解析 因?yàn)殡p曲線方程x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的圖象中心對稱，因此，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)B，D關(guān)于原點(diǎn)對稱.

設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），

則D（-x1，-y1）.

又因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的四個頂點(diǎn)均在該雙曲線上，所以

x20a2-y20b2=1，①

x21a2-y21b2=1.②

①-②，得

（x0-x1）（x0+x1）a2-（y0-y1）（y0+y1）b2=0.

整理，得b2a2=（y0-y1）（y0+y1）（x0-x1）（x0+x1）.

又因?yàn)锳B，AD的斜率分別為12，1，

即b2a2-kAB·kAD=0.

則b2a2=12.

所以ba=22.

所以雙曲線漸近線方程為x±2y=0.

故選A.

4 借助參數(shù)方程解題

使用參數(shù)方程解答圓錐曲線習(xí)題可很好地提高解題效率.教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生講解直線以及圓錐曲線參數(shù)方程，使其明確不同參數(shù)表示的含義，更好地把握參數(shù)方程本質(zhì)，尤其為學(xué)生示范參數(shù)方程在解題中的應(yīng)用，使其把握相關(guān)的應(yīng)用細(xì)節(jié).

例4 過拋物線方程y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為π6的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若1|AF|-1|BF|=1，則實(shí)數(shù)p的值為（? ）.

A.12?? B.1?? C.3?? D.2

解析 根據(jù)題意可設(shè)直線的參數(shù)方程為x=p2+32t，y=12t（t為參數(shù)）.

將其和拋物線方程聯(lián)立整理，得

t2-43pt-4p2=0.

設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，

則t1+t2=43p，t1t2=-4p2<0.

所以1|AF|-1|BF|=1t1-1t2

=|t2|-|t1||t1t2|=

|t1+t2||t1t2|

=43p4p2

=3p=1.

所以p=3，故選C.

高考中圓錐曲線習(xí)題類型靈活多變，解題思路也不盡相同.為提高學(xué)生解答不同題型的能力，在傳授解題技巧的同時，認(rèn)真講解解題技巧的具體應(yīng)用，使學(xué)生深入理解，把握相關(guān)解題技巧的細(xì)節(jié)，使其遇到相關(guān)題型，能夠快速、高效、正確求解.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李 璟]