例談利用空間向量計(jì)算空間中距離的方法

李喜春

摘 要：本文將對空間中的距離進(jìn)行定義及分類，介紹利用空間向量計(jì)算空間中距離的方法，并借助例題展示各類方法的使用.

關(guān)鍵詞：空間向量;空間中的距離;計(jì)算方法

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）10-0027-03

1 空間中距離的定義及分類

1.1 當(dāng)兩個(gè)幾何要素處于完全分離的形態(tài)，就可以定義它們之間的距離.距離是用于度量兩個(gè)分離的幾何要素之間最短線段的長度.

1.2 定義部分

（1）點(diǎn)到點(diǎn)的距離，是指兩點(diǎn)之間線段的長度.

（2）點(diǎn)到直線的距離，是指點(diǎn)與直線之間垂線段的長度.

（3）兩條平行直線之間的距離，是指其中一條直線上任意一點(diǎn)與另一直線之間垂線段的長度.

（4）點(diǎn)到平面的距離，是指點(diǎn)與平面之間垂線段的長度.

（5）相互平行的直線與平面之間的距離，是指直線上任意一點(diǎn)與平面之間垂線段的長度.

（6）兩個(gè)平行平面之間的距離，是指其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)與另一平面之間垂線段的長度.

（7）異面直線之間的距離，是指兩條異面直線之間公垂線段的長度.

1.3 分類情況

（1）點(diǎn)到點(diǎn)的距離;

（2）點(diǎn)到直線的距離，包括點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線之間的距離;

（3）點(diǎn)到平面的距離，包括點(diǎn)到平面的距離、相互平行的直線與平面之間的距離以及兩個(gè)平行平面之間的距離;

（4）異面直線之間的距離.

2 使用空間向量計(jì)算空間中的距離

2.1 點(diǎn)到點(diǎn)的距離

思維方法 由已知兩點(diǎn)分別作為起點(diǎn)和終點(diǎn)得出向量，計(jì)算該向量的模，即為點(diǎn)到點(diǎn)的距離.操作步驟 （1）確定點(diǎn)A為起點(diǎn)，點(diǎn)B為終點(diǎn)，得出向量AB;

（2）計(jì)算AB;

（3）距離d=AB.

例1 如圖1，在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)N為D1B上靠近D1的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)C到點(diǎn)N的距離.

解析 以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA方向?yàn)閤軸正方向，DC方向?yàn)閥軸正方向，DD1方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系. 點(diǎn)C的坐標(biāo)為0，3，0，點(diǎn)N的坐標(biāo)為1，1，2，則CN=1，-2，2.

則CN=12+-22+22=3.

所以點(diǎn)C到點(diǎn)N的距離等于3.

方法小結(jié) 以兩點(diǎn)構(gòu)造向量，并以向量的模表達(dá)點(diǎn)到點(diǎn)的距離.

2.2 點(diǎn)到直線的距離

思維方法1 如圖2，過點(diǎn)P向直線l作垂線，垂足為點(diǎn)Q，計(jì)算PQ即為點(diǎn)P到直線l的距離.

操作步驟 （1）在直線上作點(diǎn)Q，使得PQ⊥l;（2）作出PQ;（3）計(jì)算PQ;（4）距離d=PQ.

思維方法2 如圖3，作直線上的一個(gè)方向向量AB，計(jì)算AP在方向向量AB上的投影，再通過勾股定理計(jì)算出PQ的長度，即為點(diǎn)P到直線l的距離.

操作步驟 （1）在直線上取定兩點(diǎn)A，B，得出向量AB，AP;

（2）計(jì)算AP在AB上的投影AP·ABAB;（3）計(jì)算PQ;（4）距離d=PQ.

例2 如圖4，已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，E，F(xiàn)分別是C1C，D1A1的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到直線EF的距離.

解析 以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA方向?yàn)閤軸正方向，DC方向?yàn)閥軸正方向，DD1方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則點(diǎn)A2，0，0，E0，2，1，F(xiàn)1，0，2.

則FE=-1，2，-1，F(xiàn)A=1，0，-2.

則FA在FE上的投影為FA·FEFE=16.

所以d=|FA|2-162=296=1746.

所以點(diǎn)A到直線EF的距離等于1746.

方法小結(jié) 通過向量的投影以及勾股定理的使用，即可計(jì)算點(diǎn)到直線的距離.

2.3 點(diǎn)到平面的距離

思維方法 如圖5，在平面內(nèi)取點(diǎn)A得出向量AP，計(jì)算平面的一個(gè)法向量n，再計(jì)算AP在n上的投影的絕對值，即為點(diǎn)到平面的距離.

操作步驟 （1）在平面內(nèi)取點(diǎn)A得出向量AP;（2）利用平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量n;（3）計(jì)算AP在n上的投影AP·nn;（4）d=AP·nn.

例3 已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，求點(diǎn)D到平面PBC的距離.

分析 通過平面PBC內(nèi)的兩條相交直線所在的向量，求出該平面的一個(gè)法向量n，再構(gòu)造點(diǎn)D與平面PBC內(nèi)一點(diǎn)的連線所在的向量m，最后計(jì)算m在n上的投影.則投影的絕對值即為點(diǎn)D到平面PBC的距離.

解析 以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA方向?yàn)閤軸正方向，DC方向?yàn)閥軸正方向，DP方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則DC=0，1，0，BC=-1，0，0，BP=-1，-1，1.

設(shè)平面PBC的法向量為n=x，y，z.

則x=0，-y+z=0.

令y=z=1，則n=0，1，1.

則距離為DC·nn=12=22.

方法小結(jié) 通過法向量和投影的使用，計(jì)算點(diǎn)到平面的距離.

2.4 異面直線之間的距離

思維方法 如圖6，設(shè)l1，l2是異面直線，n是l1和l2的公垂線段AB的方向向量，又C，D分別是l1和l2上的任意兩點(diǎn)，則CD在n上的投影的絕對值即為l1到l2之間的距離.

操作步驟 （1）在直線l1上取點(diǎn)A，C，在直線l2上取點(diǎn)B，D;（2）通過AC和BD計(jì)算公垂線段的方向向量n;（3）計(jì)算CD在n上的投影CD·nn;（4）d=CD·nn.

例4 如圖7，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，PC的中點(diǎn)，求異面直線DG到EF的距離.

分析 通過DG和EF所在的向量構(gòu)造公垂線段的方向向量n，然后計(jì)算DG上一點(diǎn)與EF上一點(diǎn)連線所在的向量m，計(jì)算m在n上的投影，則該投影的絕對值即為異面直線DG到EF的距離.

解析 ，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA方向?yàn)閤軸正方向，DC方向?yàn)閥軸正方向，DP方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D0，0，0，

G0，12，12，E1，12，0，F(xiàn)12，1，0.

則DG=0，12，12，EF=-12，12，0，DE=1，12，0.

計(jì)算出DG和EF公垂線段的一個(gè)方向向量n=1，1，-1，計(jì)算DE在n上的投影為DE·nn=32.

則異面直線DG到EF的距離為32.

方法總結(jié) 先對空間中的距離進(jìn)行定義及分類，明確空間中距離的類型，并逐一介紹空間向量在計(jì)算距離時(shí)的方法，在使用中主要涉及到向量投影、勾股定理、方向向量和法向量的使用.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[責(zé)任編輯：李 璟]