GeoGebra軟件與人教數字教材融合：緣起、功能與展望

陳曉娣

《教育信息化2.0行動計劃》提出，“要堅持信息技術與教育教學深度融合的核心理念，發揮技術優勢，變革傳統模式，推進新技術與教育教學的深度融合”。現行的義務教育和高中課程標準均明確提出信息技術與學科深度融合的要求。數字教材是技術與學科深度融合的產物，隨著技術發展，第三代人教數字教材不斷改進，將支持師生探究解決問題的專業數學軟件GeoGebra作為學科工具，并嵌入基于GeoGebra制作的數字資源。GeoGebra融入數字教材促進了數學學科教學方式變革。為探索數學數字教材研發新路徑，筆者梳理GeoGebra融合應用的脈絡，并結合“一元三次函數的圖象和性質探究”案例分析GeoGebra資源應用范式，以期在數字教材用戶體驗、內容規范適用、可審可控等方面不斷優化。

一、緣起：遴選建設數字教材的學科工具

教育技術研究要深入學科，只有應用為特定的學科量身定做的學科教學軟件才能真正展現信息技術的效果[1]。

（一）初期借助單一功能軟件開發數字教材

自2013年起，第二代人教數字教材各學科陸續開發上線，數學學科內嵌的動畫均是用Flash等軟件制作的動畫，它們能形象地模擬展示函數、圖形等的動態變化，幫助師生解決一些簡單的探究問題。伴隨著互聯網的發展和智能移動終端的普及，Flash動畫不能滿足跨平臺多終端播放要求，且存在插件停止更新的問題，使用率越來越低，逐漸被淘汰。

此外，畫板類的軟件在幾何教學中應用較多。例如，幾何畫板作為一款專業的數學軟件，憑借其強大的平面幾何功能在數學教學中廣泛應用，也常用來研究函數及圖象變化問題。后來，用戶使用正版幾何畫板軟件需要付費。該軟件在代數和概率統計等領域功能欠缺或不夠強大，不能脫離軟件環境開啟。受諸多因素影響幾何畫板應用前景也不容樂觀。

出于上述考慮，人教數字教材開發團隊期待“合適”的數學工具和可跨平臺運行的動畫資源，以更好地搭建信息技術與學科融合的橋梁。

（二）跨平臺多功能動態軟件與人教數字教材完美結合

2011年，GeoGebra軟件進入中國。它是一款跨平臺的動態數學軟件，將幾何（含3D）、代數、表格、概率統計等匯集成一個易于使用的軟件包，支持多個區域同時顯示并聯動。為了適用移動端支持內存系統運行，GeoGebra開發者按功能拆分推出了多款App，還增加了GeoGebra AR。目前， GeoGebra支持導出png、html等格式文件，適用多種應用場景，并設置了GeoGebra的腳本和Java Scrip的高級選項，支持用戶進一步開發、探索、應用。

數字教材研發團隊考察研究后，大膽創新人教數字教材與學科工具的結合方式，將GeoGebra軟件作為嵌入人教數字教材（數學）的學科工具，用于開發相關資源。2018年7月16日開始上線運行融合了GeoGebra的第三代人教數字教材。實踐證明，新工具新資源的應用能夠更好地支持合作、探究等教學活動。

二、功能：工具與資源一體、開放與封閉相結合，促進教學方式變革

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，“利用數學專用軟件等教學工具開展數學實驗，將抽象的數學知識直觀化，促進學生對數學概念的理解和數學知識的建構”。融合紙質教材、數字資源、閱讀工具、數據分析等功能于一身的人教數字教材，在教育信息化進程中發揮著“基礎資源、基礎應用、基礎連接、基礎服務”的作用。數字教材與GeoGebra的結合將發揮“1+1>2”的效能。

（一）數字教材與GeoGebra結合，助推信息技術與數學課程深度融合

數學教材作為數學課程呈現的載體，在信息技術與數學課程的融合方面應當發揮更重要的作用。GeoGebra軟件功能強大，2019年版的人教A版、B版兩套高中數學教材均以它為載體，介紹如何利用信息技術開展相應的教學活動。GeoGebra作為學科工具嵌入數字教材，用戶在安裝數字教材時即可選擇安裝，并直接在數字教材頁面調用、操作，也可以將自制的*.ggb類型資源上傳數字教材，在教材中打開、演示、調整、保存資源文件，避免切換界面。

GeoGebra與數學課程深度融合具有如下優勢：動態呈現，協助學生觀察分析及歸納；互動教學，激發學生的數學興趣；自主探究，提升學生數學思維能力，發展學生數學學科核心素養。例如，教學函數知識時，教師可用GeoGebra快速畫出函數圖象，通過改變參數值，引導學生比較、分析函數圖象變化規律，研究函數的性質等。又如，教師講授立體幾何時，可用GeoGebra全方位展示立體圖形，為學生理解和掌握圖形幾何性質（包括證明）提供直觀依據；教學平面解析幾何時，通過GeoGebra的演示，引導學生研究動點軌跡及參數的變化對方程所表示的曲線的影響等，深度理解曲線與方程的關系。如果學生有平板電腦等終端，教師還可以組織學生直接應用數字教材上的GeoGebra軟件進行自主探究。以上種種，都有力地說明在教學過程中恰當使用GeoGebra軟件可以促進信息技術與數學教學深度融合。

（二）GeoGebra助力數字教材數學課程資源開發

有了現代化教學手段并不等于擁有了現代化教育，技術本身只是工具，好的教學設計才是靈魂[2]。若想把“冰冷的美麗的”數學學術形態轉化為“火熱的思考”的教育形態，需要教師對數學課程內容進行挖掘與開發。

數字教材開發者依據紙質教材內容，在紙質教材編者的指導下，結合教師教學實際，基于GeoGebra設計制作配套數字資源，涵蓋《義務教育數學課程標準（2022年版）》四個模塊、《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》必修五個主題等多個領域的知識點或解決問題方案，供廣大師生使用。開發團隊制作的這些資源，既體現了必要的教與學過程，又實現了個性化的跳轉、選擇。對于高學段，開發的資源功能更強：能保證函數圖象繪制、圖形間位置關系、數據統計分析等的精確性，邏輯關系的嚴謹性等，實現數學的動態變化及推理演繹過程可視化，支持交互式、多樣化教與學。

（三）堅持封閉與開放相結合的原則促進教學方式變革

教材作為國家教育目標的重要承載體，既要不折不扣地體現國家意志，又要有利于教師對教材進行二次開發，給教學留出發揮、調整的空間。要處理好國家統一要求與教學靈活性之間的關系[3]。人教數字教材開發團隊堅持封閉與開放相結合的原則，實現兩者的辯證統一：設置了既有利于保護版權，又能支持教師個性化二次加工的GeoGebra資源。實踐表明，數字教材可以較好地解決教材的穩定性和開放性的矛盾[4]。

數字教材開發者通過研究分析，預判學生學習的路徑及突破重難點的方式方法，通過技術手段將用GeoGebra制作好的資源加密后內嵌在數字教材中。用戶可以隨意操作，但只要關閉退出，資源本身不會被修改，這就是封閉。

用戶使用GeoGebra軟件功能，進行個性化操作與修改，點擊保存按鈕即可將形成的新的動態圖形、圖象、數據等作為個性化的資源儲存在數字教材的個人空間以備后用，這就是開放。

例如，針對人教A版高中數學必修第二冊第132頁拓廣探索欄目第9題，即研究正方體中幾條面對角線之間的關系，數字教材開發者制作了“研究正方體的線線關系.ggb”資源（如圖1），支持用戶自行操作體驗將展開圖還原成正方體的過程，探究線線關系。此外，對于該資源開發者還設置了線段端點在所在面的邊上自由移動的功能，便于用戶研究更多個性化的面上的線線關系。如果教師想讓學生進一步研究更多的線線關系、線面關系，可以點擊右鍵，調用出GeoGebra的屬性界面（如圖2），將一些點的屬性修改成其他面的點[如將E點的定義從“描點（q4）”改成“描點（q3）”，再移動點E到圖上的A點處，F點也變換位置]，如果點擊“關閉”按鈕，數字教材上的資源不會被改變，而點擊“保存”按鈕，就會形成個性化資源存儲在個人收藏夾，研究的問題變成探究更多新的線線（體對角線和面對角線）關系。

從傳統課堂到“應用課件”再到“無課件課堂”，工具應用不斷步入新境界，這也是技術與教學深度融合的發展方向。有了這樣的封閉和開放功能，教師完全可以實現教育技術應用層面的預設與生成相融合，而基于此創新教學模式具有重大的理論價值和實踐意義。

（四）案例簡析

三次函數f （x）=ax3+ bx2+cx+d是典型的多項式函數，其圖象及性質的研究內容豐富，常作為與導函數有關的教材例題、習題、考題。由于三次函數含有的參數多，且圖象隨參數變化復雜，致使師生不能像一般初等函數那樣通過描點畫圖作簡圖來探究相關性質。教師使用融合了GeoGebra的數字教材，能夠很好地解決圖象繪制和研究性質等問題。基于此，人教A版高中數學選擇性必修第二冊第五章中的習題5.3第13題和信息技術應用欄目均提到用信息技術研究三次函數的圖象和性質（參數a、b、c、d對圖象的影響等）。

通常，師生是按如下做法探究三次函數圖象和性質：在GeoGebra中直接輸入f （x）=ax3+bx2+cx+d后，界面自動出現參數a、b、c、d四個滑條，通過改變滑條改變函數的圖象形狀和位置，使用GeoGebra的切線、極值點等功能研究相關的性質。以上操作存在的缺點是坐標系的單位長度不能隨著參數改變而變化，會出現圖象在當前界面顯示不完整的情況，不利于很多性質的直觀呈現。

數字教材開發者利用GeoGebra的功能，設計制作了包含“圖象與對稱性”“單調性與最值”“切線問題”三個自由跳轉模塊的“三次函數的圖象與性質”動畫資源（如圖3）。用戶拖動滑條改變參數，坐標系的單位長度會隨之變化，圖象始終能在當前界面以對稱中心對稱的形式呈現，并通過動畫效果演示對稱翻折變換。該動畫支持函數、導函數、表格數據聯動，用以展示單調區間、最（極）值點、零點等之間的關系。在切線問題模塊中，該動畫還拓展了點在曲線外的情況，并且給出相關的結論及證明。這樣的設計不僅為師生研究三次函數的圖象及性質提供了探究環境，而且明確了思路和方法，并擴大了研究問題的邊界。

三、展望：出版規范與用戶體驗的平衡兼顧

數字教材不同于一般的數字出版物和數字資源庫，它具有教育、出版、技術三重屬性。GeoGebra作為一款專業的數學軟件，從技術上解決了數學教學相關問題，且科學應用必然促進數字教材對教育的賦能，但它的一些功能設置會對數字教材的出版管理有一些影響。

（一）離線與在線問題

一般用戶如脫離GeoGebra軟件環境打開GeoGebra資源，必須以html格式上傳到官網或其鏡像網站，這顯然不能脫離網絡環境。數字教材的開發要考慮網絡不發達地區的實際情況，要支持離線使用，這對GeoGebra資源的輸出方式提出了新的挑戰。

目前，人教數字教材嵌入GeoGebra輸出H5動畫，有離線版和在線版兩種方式。離線版：需要在數字教材中捆綁離線閱讀器插件，會增加用戶安裝空間，并需后臺定期升級。在線版：需要訪問官網或鏡像網站上的js文件（即在線版閱讀器插件），對網絡環境有所要求。如此，開發者將離線和在線的選擇問題轉變為占用空間和強制網絡環境間的取舍問題。隨著5G技術的發展，高速的網絡必然成為不可或缺的教育教學環境支撐，GeoGebra輸出成H5動畫并順暢在線瀏覽將越來越近。

（二）專業、開放的軟件環境與教材出版規范及可審可控問題

GeoGebra作為專業的數學軟件支持用戶開展解決問題等探究活動，但它在文字呈現、排版等方面功能稍弱，如涉及復雜的文字屬性及排版設置，需要借助LaTeX語言命令控制。例如，用戶要設置表示點的字母B為斜體，需要用“$B$”或“$%n$”表示（第二種設置方式可以將名稱和標題保持同步修改）。用戶要將“服從標準正態分布”中的“標準正態分布”字體顏色設為藍色，則需要用“服從＼textcolor{blue}{標準正態分布}”表示。另外，GeoGebra僅有“襯線”和“不襯線”兩種字體，目前不支持其他字體的導入，因而無法滿足用不同字體區分不同內容的需求。用戶無法直接自如地輸入和排版，使用軟件仍存在一些困難。數字教材開發者需要在專業數學軟件和教材出版格式規范之間進行適當取舍。

2022年4月，《數字教材 中小學數字教材出版基本流程》《數字教材 中小學數字教材元數據》《數字教材 中小學數字教材質量要求和檢測方法》三項國家標準一起發布，并于2022年11月起正式實施。對于借助GeoGebra軟件開發的資源，其圖形或數據隨用戶操控的實時變化，以及靠算法程序控制的編碼不可外顯等問題，相關內容依據這三項標準是無法進行人工或機器審核的，那么數學學科的開放探究、動態變換類資源是否開發，是否可審可控，也需要開發者評估把握。

選擇專業的數學軟件、開放的探究環境教學有利于數學實驗活動的開展，但是用紙質教材的規范和標準來審核數字教材中的動態變化的資源（包含文字內容呈現效果、動態變化的數據或圖形位置關系等）是否合理，如何取舍、調整，是未來要研究的重要課題。

人教數字教材（數學）與GeoGebra的應用目前屬于起步和爬坡階段，二者從相遇到相知，從磨合到協同發展，已經取得一定的成效，要實現完美結合和普遍應用還需要不斷探索。筆者期待在加強資源設計及解讀、教與學方式的研究等相關的應用培訓和實踐后，逐步建立數字教材+GeoGebra生態圈，挖掘和壯大兩者的用戶群體，使其成為推動實現數學教育現代化的主力軍。此外，從數學工具角度看，GeoGebra只是其中有代表性的一種，期望其他同類數學工具快速成長，為數學教學及數字出版提供新的或更多的選擇。

參考文獻

[1] 張景中，葛強，彭翕成．教育技術研究要深入學科[J]．電化教育研究，2010（2）：8-13.

[2] 張志勇.GeoGebra環境下基于 APOS理論的數學教學研究[C]// 全國數學教育研究會2012年國際學術年會論文集，2012： 1225-1246.

[3][4]申繼亮.新時代教材建設面臨的挑戰、問題和趨勢［J］．課程·教材·教法，2019（9）：7-9.

（作者系人教數字出版有限公司高級編輯）

責任編輯：祝元志