賦s范數(shù)的Orlicz序列空間的β性質(zhì)

摘要：賦s范數(shù)的Orlicz空間是Orlicz空間的推廣，為研究賦s范數(shù)Orlicz空間的H性質(zhì)和β性質(zhì)，首先對s范數(shù)的一些基本性質(zhì)進行討論。然后，在此基礎(chǔ)上，給出了賦s范數(shù)的Orlicz序列空間具有H性質(zhì)判據(jù)是Φ∈δ2，并得到了賦s范數(shù)的Orlicz序列空間具有β性質(zhì)的充要條件為空間自反即Φ∈δ2∩δ-2。

關(guān)鍵詞：Orlicz序列空間;s范數(shù);H性質(zhì);β性質(zhì)

DOI：10.15938/j.jhust.2022.03.018

中圖分類號： O177.3文獻標志碼： A文章編號： 1007-2683（2022）03-0134-06

β Property in Orlicz Sequence Spaces Equipped with s-norm

CUI Yun-an，DONG Jia-qi

（School of Science， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080，China）

Abstract：Orlicz spaces equipped with s-norm is an extension of Orlicz spaces." In order to studing the H property and the property β in Orlicz space equipped with s-norm，some basic properties of the s-norm are discussed firstly. Then， based on this， Φ∈δ2which is the criteria of H property of Orlicz sequence spaces equipped with s-norm were given." In this paper， we get that the Orlicz sequence space equipped with s-norm have property β if and only if the spaces is reflexive，that is Φ∈δ2∩δ-2.

Keywords：Orlicz sequence spaces; s-norm; H property;β property

0引言

β性質(zhì)是Banach空間幾何理論的重要內(nèi)容之一，它可以被用來研究Banach空間的接近一致凸性和drop性質(zhì)[1]，且與H性質(zhì)等有密切聯(lián)系。1985年，吳從炘等已經(jīng)給出了賦Orlicz范數(shù)（或賦Luxemburg范數(shù)）的Orlicz序列空間具有H性質(zhì)的充要條件[2]，后王玉文、王廷輔等又給出了Orlicz空間具有H性質(zhì)和嚴格凸的判別準則[3-4]。2001年，P Kolwicz給出了Orlicz序列空間具有β性質(zhì)的判據(jù)[5]。時至今日，有關(guān)賦Orlicz范數(shù)[4-9]、賦Luxemburg范數(shù)[4-6]和賦p-Amemiya[10-14]的Orlicz序列空間的幾何性質(zhì)的研究已經(jīng)接近完備，我們將研究能夠涵蓋以上三種范數(shù)的新范數(shù)-s范數(shù)，本文主要討論賦s范數(shù)的Orlicz序列空間的H性質(zhì)和β性質(zhì)的刻畫問題。

1預(yù)備知識

本文中，設(shè)X為Banach空間，X*為X的對偶空間，S（X）和B（X）分別為X的單位球面和閉單位球，N和R分別為正整數(shù)集和實數(shù)集。

定義1Φ：R→R稱為Orlicz函數(shù)是指：Φ（u）是非負的偶的連續(xù)的凸函數(shù)且Φ（0）=0，limu→∞Φ（u）u=∞。

稱Ψ（v）=sup {|uv|-Φ（u），u≥0}為Φ（u）的余函數(shù)，顯然Ψ為Orlicz函數(shù)。

定義2設(shè)l0={x=（x（i））∈R}，稱IΦ：l0→R+為x關(guān)于Φ的模是指IΦ（x）=∑∞i=1Φ（x（i））。

由IΦ生成的序列空間記為

lΦ={x∈l0：λgt;0，IΦ（λx）=∑∞i=1Φ（λx（i））lt;∞}

hΦ={x∈l0：λgt;0，IΦ（λx）=∑∞i=1Φ（λx（i））lt;∞}

在Orlicz序列空間中定義Luxemburg范數(shù)：

‖x‖Φ=infkgt;0，IΦxk≤1

和Orlicz范數(shù)：

‖x‖oΦ=infkgt;01k（1+IΦ（kx））。

記

lΦ=[lΦ，‖·‖Φ]，hΦ=[h，‖·‖Φ];

loΦ=[lΦ，‖·‖oΦ]，hoΦ=[hΦ，‖·‖oΦ]。

下面我們給出賦s范數(shù)的Orlicz序列空間的概念及相關(guān)內(nèi)容[15]。

定義3稱s：[0，∞）→[1，∞）為外函數(shù)是指s為凸函數(shù)且滿足max{u，1}≤s（u）≤u+1，（u≥0）。

定義4設(shè)s為外函數(shù)，Φ為Orlicz函數(shù)，s范數(shù)定義如下：

‖x‖Φ，s=infkgt;01ks（IΦ（kx））

由定義可知，

infkgt;01kmax{u，1}≤infkgt;01ks（u）≤infkgt;01k（1+u）

從而有

‖x‖Φ≤‖x‖Φ，s≤‖x‖oΦ。

記

lΦ，s=[lΦ，‖·‖Φ，s]hΦ，s=[hΦ，‖·‖Φ，s]

為賦s范數(shù)的Orlicz序列空間。

定義5設(shè)s為外函數(shù)，s′+（u）為s的右導(dǎo)數(shù)，對0≤v≤1，定義：

w（v）=∫v0s′-1+（u）dt，

對0≤ult;∞，0≤vlt;∞，定義：

βs（u，v）=1-w（s′+（u））-vs′+（u），

對x∈lΦ，s＼{（0）}，定義：

k*（x）=inf{kgt;0：βs（IΦ（kx），IΨ（（p+（k|x|）））≤0}

k**（x）=sup{kgt;0：βs（IΦ（kx），IΨ（（p+（k|x|）））≥0}

記k（x）=[k*（x），k**（x）]，

當(dāng)k（x）≠且k∈（0，∞）∩k（x）時，

‖x‖Φ，s=1ks（IΦ（kx））。

定義6稱Orlicz函數(shù)Φ滿足δ2條件即Φ∈δ2是指Kgt;0，u0≥0，當(dāng)|u|≤u0時，有

Φ（2u）≤KΦ（u）;

稱Orlicz函數(shù)Φ滿足δ-2條件即Φ∈δ-2是指δ∈（0，1），和u0≥0，當(dāng)|u|≤u0時，有

2Φ（u）≤（1-δ）Φ（2u）。

定義7稱Banach空間X具有UKK性質(zhì)是指ε>0，δ∈（0，1），{Xn}B（X），且sep（Xn）=inf{‖Xn-Xm‖：n≠m}≥ε，Xnwx有‖x‖<1-δ。

定義8稱x∈S（X）為Banach空間X的H點是指（Xn）B（X），若Xnwx，‖Xn‖→‖x‖，有Xn→x。若X的單位球面上的每一點都是H點，則X具有H性質(zhì)。

定義9稱Banach空間X具有β性質(zhì)是指εgt;0，δ∈（0，1），x∈B（X），（Xn）B（X），且sep（Xn）≥ε，ngt;1，滿足Xn+x2lt;1-δ。

定義10稱Banach空間X是接近一致凸（NUC）的是指ε>0，δ∈（0，1），{Xn}B（X），sep（Xn）≥ε，有co（Xn）∩B1-δ（x）≠。

2主要結(jié)果及證明

本文所用引理如下：

引理1[3]由于s范數(shù)與Orlicz范數(shù)等價，所以對f∈（lΦ，s）*，f存在唯一的分解f=v+φ，其中v∈lΨ，s*，φ∈F，F(xiàn)為（lΦ，s∕hΦ，s）*上奇異泛函全體，即x∈hΦ，s，φ（x）=0。

引理2[3]Φ∈δ2Ψ∈δ-2。

引理3[3]若Φ∈δ2，則lΦ，s=hΦ，s。

引理4若Φ∈δ-2，則K={k：a≤‖x‖Φ，s=1ks（IΦ（kx））≤b，b≥agt;0}有界。

證明：令k（x）=[k*（x），k**（x）]，當(dāng)k（x）≠且k∈（0，∞）∩k（x）時，‖x‖Φ，s=1ks（IΦ（kx）），已知Φ∈δ-2，則lgt;1，hgt;1，使得當(dāng)i≥i0時，Φ（lu）≥hlΦ（u）設(shè)l=2，h=1+δ2，對b≥agt;0，x∈lΦ，s，使得a≤‖x‖Φ，s≤b，ugt;0，有

Φ（2u）≥（2+δ）Φ（u）。

則

a≤‖x‖Φ，s≤a2s（IΦ2ax），

從而s（IΦ2ax）≥2。

則

s（∑∞i=i0+1Φ（2ax（i）））≥

s（∑∞i=1Φ（2ax（i）））-s（∑i0i=1Φ（2ax（i）））≥

2-12i0→2（i0→∞）。

對k∈k（x），kgt;2al，m∈N，使lmlt;2ak≤lm+1

則Φ（lmu）≥（hl）mΦ（u），于是

b≥‖x‖Φ，s=1ks（IΦ（kx））≥

1ks（∑∞i=i0+1Φ（kx（i）））=

1ks（∑∞i=i0+1Φ（a2k·2ax（i）））gt;

s（∑∞i=i0+11k（hl）mΦ（2ax（i）））gt;

21k（hl）mgt;（hl）m·alm+1=ahml。

則mlt;logh（bla）=c，從而k≤2al1+c，即k有界。

引理5[1]1若X為Banach空間，則下列性質(zhì)有如下關(guān)系：

βNUCUKKH。

引理6[14]對任意外函數(shù)s和Olicz函數(shù)Φ，Orlicz序列空間lΦ，s具有半法圖性質(zhì)。

本文主要結(jié)果如下：

定理1設(shè)Φ為Orlicz函數(shù)，s為外函數(shù)，lΦ，s是賦s范數(shù)的Orlicz序列空間，以下3個命題等價：

1）lΦ，s為UKK空間;

2）lΦ，s具有H性質(zhì);

3）Φ∈δ2。

證明：

1）2）

顯然若lΦ，s具有UKK性質(zhì)，就一定具有H性質(zhì)。

2）3）

假設(shè)Φδ2，則x∈S（lΦ，s），滿足‖（0，…，0，x（n+1），…）‖Φ，s→1（n→∞）。

設(shè)Xnm=（0，…，0，x（n+1），…，x（m），0，…），

m1lt;m2lt;…lt;mi∈N，使

‖（0，…，0，x（m1+1），…x（m2），0，…）‖Φ，s≥12;

‖（0，…，0，x（m2+1），…x（m3），0，…）‖Φ，s≥12。

依此類推，

‖（0，0，…，x（mi+1），…x（mi+1），0，…）‖Φ，s≥12。

由IΦ（x）lt;+∞可知，

∑mi+1j=mi+1Φ（x（j））→0（i→+∞）。

令Xi=（0，0，…，x（mi+1），…，x（mi+1），0，…）∈hΦ，s，

則φ∈F，φ（Xi）=0。

v∈lΨ，s，v（x）=∑∞j=1v（j）x（j）lt;+∞;

v（Xi）=∑mi+1j=mi+1v（j）x（j）→0（i→∞），

從而xiw0，令

x0=（x0（1），…，x0（mi+1），…，x0（mi+1），x0（mi+1+1），…）

yi=（x0（1），…，x0（mi+1）k，…，x0（mi+1+1）k，x0（mi+1+1），…）

則

yi-x0=（0，…，x0（mi+1）k，…，x0（mi+1+1）k，0，…）-

（0，…，x0（mi+1），…，x0（mi+1+1），0，…）=

1kxi-（0，…，x0（mi+1），…，x0（mi+1+1），0，…）w0。

‖yi‖Φ，s≤1ks（IΦ（ky））=

1ks（∑mij=1Φ（kx0（i））+∑mi+1j=mi+1Φ（x0（i））+

∑∞j=mi+1+1Φ（kx0（i））+∑mi+1j=mi+1Φ（kx0（i））-

∑mi+1j=mi+1Φ（kx0（i）））=

1ks（∑mij=1Φ（kx0（i））+∑mi+1j=mi+1Φ（kx0（i））+

∑∞j=mi+1+1Φ（kx0（i）））+1ks（∑mi+1j=mi+1Φ（x0（i））-

∑mi+1j=mi+1+1Φ（kx0（i））=

1ks（∑mi+1j=mi+1Φ（x0（i））-∑mi+1j=mi+1+1Φ（kx0（i））+‖x0‖Φ，s。

當(dāng)k→∞時，

1ks（∑mi+1j=mi+1Φ（x0（i））-∑mi+1j=mi+1Φ（kx0（i）））→0。

從而，

limi→∞‖yi‖Φ，s=1，

limi→∞‖yi-x‖Φ，s≥limi→∞1kxiΦ，s≥12k→/0

產(chǎn)生矛盾，故Φ∈δ2。

3）1）

由Φ∈δ2，則εgt;0，δ1gt;0，使得‖x‖Φ，s≥ε4，有IΦ（x（i））≥δ1，對上述δ1，δ∈（0，1），使得‖x‖Φ，s≥1-δ，有IΦ（x（i））≥1-δ1。

設(shè)（Xn）B（lΦ，s），Xnwx且sep（Xn）≥ε。

若‖x‖Φ，s≥1-δ，則存在一個有限子集I∈N，使得‖x|I‖Φ，s≥1-δ。

由于Xnwx，則Xn（i）→x（i），又由I有限可知Xn（i）→x（i），則Xn→x。

若x=0，則顯然。

若x≠0，設(shè)kn有界，kn∈k（Xn），則kn存在收斂子列，不妨設(shè)kn→k。

由I為有限子集，則‖x|I‖Φ，s≥‖x‖Φ，s-δ。

k∈N，使‖x|I‖Φ，s≥1-δ且‖（Xn-Xm）|I‖Φ，s≤ε2，對m，ngt;k，m≠n，IΦ（Xn|I）≥1-δ1，‖（Xn-Xm）|N＼I‖Φ，s≥ε2。

由sep（Xn）≥ε，有‖Xn|N＼I‖Φ，s≥ε4或‖Xm|N＼I‖Φ，s≥ε4。

假設(shè)‖Xn|N＼I‖Φ，s≥ε4，則

‖Xn|N＼I‖Φ，s≥ε8，IΦ（Xn|N＼I）≥2δ。

由‖Xn‖Φ，s≤1，kngt;1，對n∈N，

1-2δ≥‖xn‖Φ，s-IΦ（xn|N＼I）≥

‖xn‖Φ，s-s（IΦ（xn|N＼I））≥

‖xn‖Φ，s-1kns（IΦ（knxn|N＼I））=

1kns（IΦ（knxn|I））→1ks（IΦ（kx|I））≥

‖x|I‖Φ，s≥‖x‖Φ，s-δ。

故‖x‖Φ，s≤1-δ，lΦ，s具有UKK性質(zhì)。

定理2設(shè)Φ為Orlicz函數(shù)，s為外函數(shù)，lΦ，s是賦s范數(shù)的Orlicz序列空間，以下3個命題等價：

1）lΦ，s具有β性質(zhì);

2）lΦ，s是接近一致凸（NUC）的;

3）Φ∈δ2∩δ-2。

證明：

1）2）顯然。

2）3）

已知lΦ，s是NUC的充要條件是lΦ，s是自反的UKK空間，且Φ∈δ2與lΦ，s具有UKK等價，只需證lΦ，s是自反的充要條件是Φ∈δ2∩δ-2。

必要性：

若lΦ，s自反，則hΦ，s自反，從而（hΦ，s）**=hΦ，s，由Φ∈δ2與Ψ∈δ-2等價得（hΦ，s）*=lΨ，s。

于是有

（hΦ，s）**=（lΨ，s）*=（hΨ，s）*（lΨ，s/hΨ，s）*=

lΦ，s+F=hΦ，s，

則F=且lΦ，s=hΦ，s，從而Φ∈δ2∩δ-2。

充分性：

若Φ∈δ2，則lΦ，s=hΦ，s，（lΦ，s）*=（hΦ，s）*=lΨ，s。

若Φ∈δ-2，則lΨ，s=hΨ，s，（lΨ，s）*=（hΨ，s）*=lΦ，s，于是（lΦ，s）**=lΦ，s，證畢。

3）1）

假設(shè)Φ∈δ2∩δ-2且lΦ，s不具有β性質(zhì)，則

ε0gt;0，δ∈（0，1），Xn∈S（lΦ，s），sep（Xn）≥ε0，有Xn+x2gt;1-δ。

令k∈k（x）=[k*（x），k**（x）]，kn∈k（Xn）=[k*（Xn），k**（Xn）]，則‖x‖Φ，s=1ks（IΦ（kx）），‖Xn‖Φ，s=1kns（IΦ（knXn））。

設(shè)k0=max{k，kn}（n∈N），由引理5可知，k0lt;+∞取λ=k0k0+1，由Φ是凸函數(shù)及Φ∈δ2∩δ-2可知，δ1∈（0，1），u0gt;0，當(dāng)u≥u0時，有Φ（λx）≤（1-δ1）λΦ（x），于是λ1∈（0，1），當(dāng)u≥u0時，有Φ（λ1x）=Φ（λλ1λx）≤（1-δ1）λ1Φ（x）。

當(dāng)knx≥u0時，令λn=kkn+k，則Φ（kkn+kknx）≤（1-δ1）λnΦ（knx）。

下面證limi0→∞supngt;0∑∞i=i0Φ（knxn（i））≤3k0δδ1，假設(shè)i0→∞時，∑∞i=i0Φ（knxn（i））gt;3k0δδ1，由s為外函數(shù)，即s為凸函數(shù)且對u≥0，max{1，u}≤s（u）≤u+1，有

2δ=2-2（1-δ）≥

‖x‖Φ，s+‖xn‖Φ，s-‖x+xn‖Φ，s≥

1ks（IΦ（kx）+1kns（IΦ（knxn）-

kn+kkkns（IΦ（kknkn+k（x+xn）））=

kn+kkkn（knkn+ks（IΦ（kx）））+

kn+kkkn（kkn+ks（IΦ（knxn）））-

kn+kkkns（IΦ（kknkn+k（x+xn）））≥

kn+kkkn（knkn+kIΦ（kx））+

kn+kkkn（kkn+kIΦ（knxn））-

kn+kkknIΦ（kknkn+k（x+xn））≥

kn+kkkn（∑∞i=i0knkn+kΦ（kx））+

kn+kkkn（∑∞i=i0kkn+kΦ（knxn））-

kn+kkkn（∑∞i=i0Φ（kknkn+k（x+xn）））≥

kn+kkkn（∑∞i=i0kkn+kΦ（knxn）-

∑∞i=i0（kknkn+kΦ（x+xn）-knkn+kΦ（kx）））≥

kn+kkkn∑∞i=i0（knkn+kΦ（kx）-

Φ（kkn+kknxn））-2δk0≥

kn+kkkn∑∞i=i0（knkn+kΦ（kx）-

（1-δ1）kkn+kΦ（knxn））-2δk0≥

δ1kn∑∞i=i0Φ（knxn）-2k0δ2k0≥

3k0δδ1k0-δ=2δ。

產(chǎn)生矛盾，故limi0→∞supn∑∞i=i0Φ（knXn（i））≤3k0δδ1。δ1=0（δ），使得‖∑∞i=i0Xn（i）ei‖Φ，slt;δ1，從而‖∑ioi=1（Xn（i）-Xm（i））ei‖Φ，slt;δ1。

n0∈N，當(dāng)n，mgt;n0時，

‖xn+xm‖Φ，s≤

‖∑i0i=1（xn（i）-xm（i））ei‖Φ，s+

‖∑∞i=i0（xn（i）‖Φ，s+‖∑∞i=i0+1（xm（i）‖Φ，s≤

3δ1=30（δ）

產(chǎn)生矛盾，故lΦ，s具有β性質(zhì)。

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（編輯：溫澤宇）