一類區間時滯切換系統的穩定性分析

劉玉忠, 吳得渤

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

有關切換系統的研究中,穩定性問題引起較多關注。2003年,Liberzon等[1]指出了關于穩定性的3個基本問題,有關穩定性的研究大多圍繞這3個基本問題展開。區間時滯系統可應用于絕對穩定控制,非線性延遲MIMO系統周期控制T不變性等[2-4],近20年來得到廣泛關注[5-9]。本文所考慮的區間時滯切換系統是在文獻[10]的基礎上增加了一個分布時滯形成的。趙立英等[10]通過時滯分解法,研究了時滯切換系統的穩定性問題。文獻[11]研究了混合時滯(離散和分布時滯)系統,通過引入wirtinger二重積分不等式證明具有混合時滯的系統是漸進穩定的。文獻[12]討論一類具有混合時滯的切換系統,目標是求出由有限數量的具有混合時滯(離散和分布時滯)的連續線性子系統組成的區間時滯切換系統指數穩定的充分條件。首先設計切換律,然后構造Lyapunov函數,通過Lyapunov穩定性原理得出漸進穩定條件,最后得出時滯上界的估值。本文在文獻[10]的基礎上進行改進,采用平均駐留時間方法并引入倒組合技術,得出了保守性更小的時滯上界。

1 問題的描述及預備知識

考慮如下系統:

(1)

其中:x(t)∈n為系統狀態;Aσ(t)Bσ(t)Cσ(t)是常數矩陣;σ(t):[0,∞)→M={1,2,…,m}表示切換信號;φ(t)∈是初值函數;t*=max{h,τ},h,τ為離散時滯。

定義1[13]若x(t)是系統(1)滿足‖x(t)‖≤k‖xt0‖c1e-λ(t-t0),?t≥t0條件的解,則稱系統(1)的平衡點x*=0在σ(t)下是指數穩定的。其中,常數λ>0,k≥1,‖?‖表示歐氏范數:

(2)

引理1(倒凸組合)[14]設f1和f2是2個標量,則對于任意的α(0<α<1),有

這里g是滿足如下條件的標量:

引理2[15]對于任意矩陣W∈n×n,其中W>0,v≥0,v∈ω:[0,v]→n,有

2 主要結果

定理1 對于常數α>0,h>0,τ>0,μ≥1,若存在矩陣Pi>0,Qi>0,Rji>0,(i∈M,j=1,2)和矩陣Si(i∈M),使得如下的不等式成立:

及滿足

Pi≤μPj,Qi≤μQj,R1i≤μR1j,Si≤μSj,Si≤μSj,?i,j∈M

(4)

且平均駐留時間滿足

則系統(1)對于任何滿足平均駐留時間的切換信號都是指數穩定的。

再進一步,系統狀態衰變為

其中

證明 構造如下Lyapunov函數:

V(t)=Vi(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)

(7)

其中

對V(t)求導,得

根據引理1,得

(10)

將式(10)代入式(9),根據式(6),有Φi<0,則

(11)

綜上可得,當t∈[tk,tk+1]時,根據式(11),有

V(t)=Vi(t)≤e-α(t-tk)Vtk(tk)

(12)

根據式(4),在切換時刻tk時,有

(13)

因此根據式(12)和式(13),并且

k=Nσ(t0,t)≤(t-t0)/Ta

有

(14)

根據式(2),式(5)～式(7)可得

(15)

由式(14)和式(15)可得

從而區間時滯切換系統(1)是指數穩定的。

3 仿真算例

考慮如下切換系統:

當取α=0.3,h=0.1時,解不等式(3)得τ=0.058 1,對稱正定矩陣P1,Q1,R11,R21分別為

對稱正定矩陣P2,Q2,R12,R22分別為

根據文獻[7]定理1,取R=S=0.2I,ξ=1.1,時滯上界為τ≤0.022 3。由本文定理1給出的線性矩陣不等式條件,系統(1)指數穩定并且時滯上界較文獻[7]的結果有所改進,并且可以得到時滯上界為τ≤0.058 1。

4 結 論

本文討論了區間時滯切換系統指數穩定問題,運用平均駐留時間法,定義分段Lyapunov函數,引入倒凸組合技術和Jensen積分不等式對求導后的分段Lyapunov函數進行放縮,得出系統指數穩定條件,并給出保守性更小的時滯上界。仿真算例檢驗了系統指數穩定條件的有效性。