從乘法分配律看七年級學生“去括號”與“合并同類項”的易錯點

鄧 清 韋 宏 廖怡寧 南寧師范大學數學與統計學院

數學運算能力是一種通過熟練地掌握與運用算理和算法，準確地得出運算結果的能力?！读x務教育數學課程標準（2011 版）》中明確指出，要重視對學生數學運算能力的培養?！叭ダㄌ枴焙汀昂喜⑼愴棥笔侨私贪嫫吣昙壣蟽浴罢健币徽碌膬蓚€重要內容，它是初中生代數學習的基礎，也是數學運算能力培養的重要著力點。而在“去括號”和“合并同類項”的數學運算過程中，學生總容易出現各種各樣的錯誤。戴再平認為，學生解決問題的易錯源在于相關知識存儲不足或理解的偏差。因此，為了提高學生數學運算能力，夯實學生初中代數學習的基礎，教師需從運算的相關知識或理解出發，分析“去括號”和“合并同類項”錯誤產生的原因并找出錯誤的根源，及時糾正運算偏差。

“去括號”與“合并同類項”是七年級數學運算的重要內容，學生在進行運算操作時容易出現兩類問題：“去括號”的漏乘和符號錯誤、“合并同類項”中添括號的符號錯誤。本文通過辯證認識乘法分配律與“去括號”“合并同類項”之間“源”與“流”的關系，分析算理根源之下學生易錯背后的認知偏差，結合學生的情況提出從乘法分配律算理出發的整體處理問題的策略，幫助學生形成和深化對“去括號”與“合并同類項”的正確認知，避免易錯、再錯。

整式的化簡是通過“去括號”和“合并同類項”來完成的，而“去括號”和“合并同類項”的實質是乘法分配律在數式中的應用。對于七年級學生而言，他們剛經歷了數系的擴充，引入了負數，同時將原有的運算律在自然數集的應用類比推廣到有理數集，這使得運算過程中需要重新審視“-”號的意義，不再單純以小學的減號來認識，而是強化對負數的認知。在學習整式時，學生初步接觸數系擴展之后的用字母表示數，這使得學生從小學單獨的數、用字母表示正數的概念認知進行了拓展，進一步豐富了學生數與代數的認知圖示，學生的抽象思維得到了更高層次的發展。但無論是負數引入帶來的“-”號的兩重含義，還是整式引入字母表示數等數學符號的增加，都是圍繞本質內容而呈現的外在表象和形式。運算中出現的眾多問題往往是由于學生局限于復雜外在的表象形式中，混淆了本質內容，形成了錯誤的理解。建構主義理論強調學習者的主動性，在接觸新知識之前，學生在以前的學習生活中就有了一定程度的認識，因此學生在接納新知識時并不是被動的，而是基于已有的水平和經驗，主動選擇和加工信息，從而實現新舊知識的完全融合。而運算錯誤并不全是偶然，有些是存在規律的，這些有規律的錯誤是因為學生在新舊知識融合中構建了自己獨有的概念。在此認知下，學生要掌握“去括號”和“合并同類項”的運算，需要結合已有的知識經驗，即乘法分配律在自然數集和有理數集中的應用，撥開表象的重重迷霧，從本質上認識新知識，將易錯背后的觀念化為正確認知。

一、知其源、悟之流

(一)乘法分配律之“源”

小學第一學段的主要內容是自然數四則運算，而真正學習到基本運算律內容是在第二學段。其實，運算律一直植根于自然數算法之中，在數的運算中不知不覺就有所運用。自然數集中的乘法分配律是從解決實際問題的過程中建模、抽象，概括得到概念及字母形式表達。但是，除了從實際生活中進行建模，學生若能從更高觀點來認識乘法分配律的來源，認知便能達到更高層次。乘法分配律之“源”與數的發展密不可分。數的發展歷來有兩種源源不竭的動力：解決現實問題的需要（外在需要）和數系理論發展的需要（內在需要），這兩種動力推動數的擴充。但是，數的發展中有一個恒定點，即保持運算律的有效性。也就是說，乘法分配律在數集的擴充中要保證有效性，這是“數與代數”的通性法則之一。在小學自然數集的乘法分配律中，滿足乘法對加法的分配律，而并不滿足乘法對減法的分配律，這是因為減法運算在自然數集中并不封閉。在七年級有理數中引入了負數，小學的減法和加法都可統一為有理數運算的加法。在引入新數、擴充數系的情況下，需要賦予乘法分配律在新數集以新定義，即有理數的乘法分配律。顯然，有理數的乘法分配律本質上是與自然數的乘法分配律一致的，這即為乘法分配律之“源”。

(二)知“源”而看“流”

對于“去括號”運算，實質上是根據乘法分配律順向展開。當括號前為正數時，“去括號”的分配規則與自然數集中乘法分配律一致；當括號前為負數時，則是將負數引入，變自然數集中的乘法運算為有理數集的乘法運算而形成的。比如，-9（a+b），此時由于有理數的乘法法則，這個式子經由乘法分配律展開后即為-9a+（-9b）=-9a-9b，根據符號的變化，而概括歸納出“去括號”的規律，即為“去括號法則”。這是“去括號”于乘法分配律中的“流”。

對于“合并同類項”運算，實質上是乘法分配律的逆向運用。在之前自然數集和有理數集之中的乘法分配律是數的應用，數（常數項）之間為同類，此時，由于整式中引入了字母表示數，多項式的每一項不再像數一樣是能夠直接合并的同類，需要根據單項式的字母組成和字母對應的指數，來對不同類型進行歸類?！昂喜⑼愴棥边\算根據乘法分配律的逆運算，把數與字母的乘積看作之前的數與數的乘積，從而提取公因式，即字母部分。此時，合并同類項便如同自然數集和有理數集中數與數之間的乘法分配律的逆用同理，把公因式提取，剩余部分“添括號”相加。用一個具體的例子表示，即

（1）自然數集：2×3+2×5=（3+5）×2

（2）有理數集：（-2）×3+（-2）×5=（3+5）×（-2）

（3）合并同類項：-3ab+5ab=（-3+5）ab

其中，合并同類項中“ab”的性質如同自然數集和有理數集中“2”和“（-2）”，即兩個因式里的公因式。運算之中，對同類項的相同字母及指數部分當作公因數一般進行添括號、提取，便可完成同類項的合并，這即為“合并同類項”于乘法分配律中的“流”。

二、從“源流”下分析易錯、尋對策

(一)易錯一：“去括號”中的漏乘和符號錯誤

例1：化簡7（x+5）-（x+1）錯解：原式=7x+5-x-1

例2：化簡（1）-（4x+1）；（2）-（-6x+12）

錯解：（1）原式=4x-1；（2）原式=-6x+12

例3：化簡3（x2-1）-2（x2-2x+1）

錯解：原式=3x2-1-2x2-2x+1

1.錯解分析

例1錯解屬于“去括號”的漏乘，學生在對7（x+5）進行去括號運算時，只把7分配給了x，而沒有分配給5，由此得到了7x+5；例2 錯解屬于“去括號”的符號問題，學生未能掌握去括號后各項符號的變化規律，表現為只換了第二項，或者只換了第一項；例3 為“去括號”的漏乘和符號問題的復合錯解情況。

在化簡整式的運算操作時，需要從算理根源——乘法分配律出發，靈活、準確地展開操作。對于學生的去括號運算，常常出現漏乘及符號變化的“就近分配”：在“分配”的過程中，括號外的數通常只分配給首項，而其他項沒有；當括號外的數為負數時，常常只對除首項之外的項分配而變號，或是對括號內含“-”號的項改變符號。究其原因是學生在算術過渡到代數時對乘法分配律理解不夠透徹，認知之中的分配并不是數與符號都乘以各項。從源頭來看，括號外的數與符號對括號內各項的分配實質上是統一的，都能歸結于乘法分配律。在引入負數之后，減法統一為有理數的加法，每一個多項式項與項之間是“+”的關系，而“-”號是這一項的負數屬性，與它自身相連。而在平時“去括號”的教學中，稍不注意，容易直接輸出給學生空洞的“去括號法則”的概念。學生的認知并沒有建立起新舊知識之間的良好聯系，使得理解產生偏差，在操作中總是不能正確分配。

2.解決策略

（1）疏通根源，強化負數的整體認知

根據建構主義，學生是從已有經驗與認知出發，對新知識同化而構建新的認知。為了給予學生更好地過渡，糾正學生的錯誤理解，不妨從算理本質引導和幫助學生深化對“去括號法則”的理解，整體看待符號與數，將其整體分配至每一項，在有理數的乘法運算下，得到正確的答案，矯正學生易錯。由此，可得：

例2正解：（1）原式=（-1）×4x+（-1）×1=-4x-1

（2）原式=（-1）×（-6x）+（-1）×12=6x-12

例3正解：

此時，符號的規律化為乘法分配律與有理數的負數乘法規則的結果，學生將晦澀生硬的“去括號法則”與已有的認知構建起了關聯，形成正確的理解。從理論源頭上充分認識“去括號”的操作依據，在深層次的理論認知基礎上，使得運算操作落地有根，運行有依，施展有方，有助于學生糾正易錯之下的理解偏差，達到對知識的通化理解。

（2）依據原理，分步落實

算理本質，是易錯知識矯正的依據，是靈活進行“去括號”運算的根基，但對于基礎薄弱、理解力、執行力較差的學生，也需要將算理分解出具體操作步驟，予以操作流程強化，于練習中滲透和體悟算理。由此，可以依據乘法分配律，將分配逐步展開：先分配括號外因數的絕對值部分，即通俗所稱的數字部分，再分配因數的符號。即例3 化簡3（x2-1）-2（x2-2x+1）的解答，可以進行如下的思路引導：

步驟1：先將3 分配給（x2-1）每一項，將2 分配給（x2-2x+1）每一項，可得

3（x2-1）-2（x2-2x+1）

=（3x2-3）-（2x2-4x+2）

步驟2：再對括號內的每一項進行符號的分配，其中第一個括號前為正號，直接去括號，而第二個括號前為負號，各項要變號，可得

3（x2-1）-2（x2-2x+1）

=（3x2-3）-（2x2-4x+2）

=3x2-3-2x2+4x-2

引導步驟如下：

題目：

3（x2-1）-2（x2-2x+1）

Step1：分配數字

=（3x2-3）-（2x2-4x+2）

Step2：分配符號

=3x2-3-2x2+4x-2

由此，依據乘法分配律形成“去括號”具體可行的操作步驟，引導學生依步驟操作，規范“去括號”的運算，此時，有助于基礎薄弱的學生進行具體運算的操作和展開，形成嚴謹周密的思維。在操作練習之中，逐漸體會和領悟運算的原理，當易錯背后的認知突破和矯正之后，達到對運算本質的理解，便可靈活進行“去括號”運算。

（二）易錯二：“合并同類項”中添括號的符號錯誤

例4：化簡2a-3a2-5a+a2

錯解：原式=-（5+2）a-（3+1）a2=-7a-4a2

1.錯解分析

例4 錯解屬于“合并同類項”中逆用乘法分配律進行添括號時的符號問題。當添括號之前為（-1）時，按照添括號法則（去括號法則的逆用）可知，括號內各項要變號。但是學生往往也會因為只就近改變首項，沒有改變其他項而產生去括號的錯解。在平常教學中，教師易于單一地將此易錯歸因于學生記憶不深刻、粗心等，而并未究其更深層次的原因：學生對新知的理解并未在頭腦中與舊知形成較好連結，對添括號運算本質的理解是模糊的。要幫助學生有效矯正對“合并同類項”易錯背后的理解偏差，首先要從乘法分配律出發，知道“合并同類項”的法理來源，從而判斷產生數學錯誤的現實背景；其次要根據法理來源尋找更能貼切學生認知的解題思路，幫助學生一步步理解法理依據，從而進一步強化正確概念。

2.解決策略：分析算理，厘清根源，合并運算

對于這道例題，學生在添括號時沒有對符號作相應的變化，這說明在學生的理解中每一項并不包括“-”“+”，即沒有把符號、數字、字母整體看待。對此，不妨通過整體看待每一項來輔助學生對“合并同類項”的乘法分配律逆用的理解。

由此，例4正解可表示為：

原 式=（2a-5a）+（-3a2+a2）=（2-3）a+（-3+1）a2；此時，將“-”理解為負號屬性，從而更明朗“合并同類項”的運算過程，降低易錯再錯的風險。

策略具體引導步驟：1.合并時添括號，括號與括號之間以加號連接；2.將同類項置于同一括號內；3.進行合并。注意：多項式的每一項已經包括符號，故移動時需視之為整體，整體進行加法交換律依據下的移動。

引導步驟如下：

題目：2a-3a2-5a+a2

Step1.分組，定括號

多項式可分為兩組同類項，由此定出兩個括號

=

（）+（）

step2.將同類項移動填入括號（連同符號）

↓=（-3a2+a2）+（2a-5a）

Step3.合并同類項

=（-3+1）a2+（2-5）a

=-2a2-3a

其實，“合并同類項”與“去括號”兩點易錯，實質上都是乘法分配律的原因，悟其一，則通其二，兩者的易錯根源都應從乘法分配律的來源分析和探求解決的策略，首先分步拆出可操作性的步驟，從理論和實踐方面給予學生充分的認知梳理。其次，為學生提供充分的運算實踐的機會，在運算之中逐漸強化運算的步驟，體會“去括號”“合并同類項”的運算法理，逐漸糾正學生對易錯的思維認知，提高學生運算的縝密性和養成依據原理和步驟自我監控運算過程的學習習慣。由此，在每一次的運算操作學習以及練習中，逐步滲透給學生數學的法理和邏輯步驟規范性要求，將提高學生的數學運算能力的目標分解細化，緩步趨近。

總而言之，“去括號”與“合并同類項”運算的易錯點需從“源流”即乘法分配律來分析，構建對整式加減運算算理本質的總體認知，從算理根源即乘法分配律出發整體處理運算以矯正易錯。在教學中，講解整式運算問題的原理時，既要有一定的理論高度，又要通俗易懂，用學生能接受的語言、操作策略讓學生明白復雜的法理依據。而在解題實踐之中，需提煉出錯解背后深層次的原因，從“源流”予以分析、探尋對策，深化學生的理解，形成正確認知，避免易錯、再錯。